時空代数

Setting of relativistic physics in geometric algebra

数理物理学において、時空代数（STA ）は、クリフォード代数Cl _1,3 ( R )、あるいは物理学における幾何代数 G ( M ⁴ )の応用である。時空代数は、「ディラック方程式、マクスウェル方程式、一般相対性理論を含む相対論的物理学のすべてに対して、統一された座標フリーの定式化」を提供し、「古典物理学、量子物理学、相対論的物理学の間の数学的な隔たりを縮小する」。^[1]

時空代数はベクトル空間であり、ベクトルだけでなく、双ベクトル(回転や特定の平面 (領域や回転など) に関連付けられた回転を記述する有向量) やブレード(特定の超体積に関連付けられた量) を組み合わせたり、回転、反射、ローレンツブースト を行うことができる。^{[2]時空代数は、特殊相対論における}スピノルの自然な親代数でもある。^[3]これらの特性により、物理学で最も重要な方程式の多くを特に単純な形式で表現することができ、それらの意味をより幾何学的に理解するのに非常に役立つ。^[4]

関連手法と比較すると、STAとディラック代数はどちらもクリフォードCl _1,3 ( R )代数であるが、STAは実数 スカラーを使用するのに対し、ディラック代数は複素数スカラーを使用する^[要出典]。STAの時空分割は、物理空間代数（APS、パウリ代数）アプローチに類似している。APSは時空をパラベクトル、つまり3次元ベクトル空間と1次元スカラーの組み合わせとして表現する^{[5] 。}

構造

STAベクトルの任意のペア⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠には、幾何 ${\displaystyle b}$積 ⁠ ⁠ ${\displaystyle ab}$、スカラー（「内部」）積 ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\cdot b}$、および外積（「ウェッジ」、「外部」） ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\wedge b}$が存在します。ベクトル積は、スカラー積と外積の和です。^[6]

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b.}$

スカラー積は実数（スカラー）を生成し、外積は二ベクトルを生成します。ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle b}$スカラー ${\displaystyle a}$積がゼロのとき直交ベクトルとみなされ、外積がゼロのとき平行ベクトルとみなされます。 ${\displaystyle b}$[ 7 ^]

直交基底ベクトルは、時間的ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$と3つの空間的ベクトル⁠ ⁠ です。ミンコフスキー計量テンソルの非ゼロ項は対角項⁠ ⁠です。⁠ ⁠の場合： ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

ディラック行列もこれらの性質を共有しており、STAは実数体上のディラック行列によって生成される代数と同等である。^[8] STAでは明示的な行列表現は不要である。

基底ベクトルの積は、1つのスカラー、4つのベクトル、6つの二重ベクトル、4つの擬似ベクトル（三重ベクトル）、および1つの擬似スカラーを含むテンソル基底を生成する。 [ 9 ]擬似スカラーはすべての偶数次STA要素と^交換可能だが、すべての奇数次STA要素とは反交換可能である。^[10] ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\gamma _{0}\gamma _{2},\gamma _{0}\gamma _{3},\gamma _{1}\gamma _{2},\gamma _{2}\gamma _{3},\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{I\}}$ ${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

部分代数

これはClにおける時空代数スピノルの図解である。^[0]
_(1,3)( R ) 八元数積の下でファノ平面として

_{e n}および STA 形式の関連する八元数の乗算表。

STA の偶数次元（スカラー、バイベクトル、擬スカラー）は、クリフォード代数 Cl _3,0 ( R )と同型な部分代数を形成し、これは APS 代数またはパウリ代数と同等である。 ^[11] STA バイベクトルは、APS ベクトルおよび擬ベクトルと同等である。STA 部分代数は、STA バイベクトルを 、STA バイベクトルを と改名することでより明確になる。[ 12 ] ^{[ 13]}パウリ行列 、は の行列表現である。^[13]の任意のペアに対して、非ゼロのスカラー積は、非ゼロの外積は次式で表される。^{[13] [14]} ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

代数から偶数部分代数への流れは、物理空間代数、四元数代数、複素数、実数へと続く。偶数STA部分代数Cl^[0]
_{(1,3)Cl 1,3} ( R )の実時空スピノルの( R ) は、基底元を持つユークリッド空間R ³のクリフォード代数 Cl _3,0 ( R ) と同型である。Cl における時空代数スピノルの図を参照のこと。^[0]
_(1,3)（R）は八元数積の下でファノ平面として表される。^[15]

分割

非ゼロベクトル⁠ ⁠は、 ${\displaystyle a}$⁠ ⁠のときヌルベクトル（2 次冪等）です。^[16]例として⁠ ⁠があります。ヌルベクトルは光円錐（ヌル円錐）に接します。 ^[17]元⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠のときべき等です。[ ¹⁸ ] 2 つのべき等元⁠ ⁠と⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠のとき直交べき等です。^[18]直交べき等元ペアの例としては、⁠ ⁠との⁠ ⁠があります。真零因子とは、ヌルベクトルや直交べき等元など、積がゼロになる非零元のことです。^[19]除算代数は、すべての要素に対して乗法逆元（逆数）を含む代数ですが、これは適切な零除数が存在せず、唯一のべき等元が1である場合に発生します。^{[18] [20] [a]}結合除算代数は、実数、複素数、および四元数のみです。^[21] STAは除算代数ではないため、一部のSTA要素には逆元が存在しない場合があります。ただし、非ヌルベクトルによる除算は、として定義されるその逆元による乗算によって可能になる場合があります。^[22] ${\displaystyle a^{2}=0}$ ${\displaystyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{2}=b}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}b_{2}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$

逆フレーム

直交基底には、以下の式を満たす逆基底関数系が関連付けられている。 ^[23] ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

これらの逆フレーム ベクトルは、⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$ですが、⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma ^{2}=-\gamma _{2}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$です。

ベクトル⁠ ⁠は、 ${\displaystyle a}$アインシュタイン記法に従って、基底ベクトル、または⁠ ⁠上の和を持つ逆基底ベクトルのいずれかを用いて表すことができます。ベクトルと基底ベクトルまたは逆基底ベクトルのスカラー積は、ベクトル成分を生成します。 ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

メトリックとインデックスの体操により、インデックスが上がったり下がったりします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

時空勾配

時空勾配はユークリッド空間の勾配と同様に、方向微分関係を満たすように定義される。^[24]

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

この場合、勾配の定義は次のようになる。

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$で明示的に書き出すと、これらの部分は

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}.}$

時空の分裂

時空の分裂 – 例:

${\displaystyle x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x} }$

${\displaystyle p\gamma _{0}=E+\mathbf {p} }$[25]

${\displaystyle v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )}$[25]

ローレンツ因子はどこにあるか ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-{\vec {\nabla }}}$[26]

STA では、時空分割とは、次の 2 つの操作によって、選択された参照フレーム内の 4 次元空間から (3+1) 次元空間への投影です。

• 選択された時間軸の崩壊により、物理空間の代数における標準的な3次元基底ベクトルに相当する、双ベクトルで張られた3次元空間が生成され、
• 4次元空間を選択された時間軸に投影し、スカラー時間を表す1次元スカラー空間を生成する。^[27]

これは、時間的基底ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$による左乗算または右乗算によって実現されます。これは、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$と共動する参照フレームで、4元ベクトルをスカラー時間的成分と2元ベクトル空間的成分に分割するために使用されます。⁠ ⁠ ${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$を用いると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

時空分割とは、時空の偶数次ベクトルをパウリ代数のベクトルとして表現する方法である。パウリ代数とは、時間を3次元空間に現れるベクトルから分離したスカラーとする代数である。この方法は、これらの時空ベクトル（⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$）を置き換える^[28]。

これらの二元ベクトルは⁠ ⁠に直角 ${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$なので、空間基底として機能します。パウリ行列記法を用いると、これらは⁠ ⁠と ${\displaystyle 1}$表記されます。STAにおける空間ベクトルは太字で表記されます。そして⁠ ⁠と⁠ ⁠を用いると、⁠ ⁠ -空間​​–時間分割⁠ ⁠とその逆⁠ ⁠は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle x^{0}=ct}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

しかし、上記の式は符号が(+ − − −)のミンコフスキー計量においてのみ有効です。どちらの符号でも有効となる時空分割の形式については、⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$を用いた別の定義を使用する必要があります。

変革

幾何代​​数においてベクトルを回転させるには、次の式が用いられる。^[29] ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$、

ここで、 は回転する角度であり、⁠ ⁠は⁠ ⁠となるように正規化された回転面を表す二乗ベクトルです。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$

与えられた空間的二元ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$に対して、オイラーの公式^[30]が適用され、回転は

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$。

与えられた時間的二元ベクトル⁠ ⁠に対して、「時間による回転」では、 ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$分割複素数に対して類似の方程式が使用されます。

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$。

この式を解釈すると、時間方向に沿ったこれらの回転は単なる双曲回転であることがわかります。これは特殊相対論におけるローレンツブーストに相当します。

これらの変換は両方ともローレンツ変換として知られており、それらすべてを合わせたものがローレンツ群である。STA内のオブジェクトを任意の基底（参照フレームに対応）から別の基底に変換するには、これらの変換の1つ以上を使用する必要があります。^[31]

ローレンツ変換式を複素四元数で表現するための同定

これらのローレンツ変換式は、いくつかの簡単な同一視を行うことで、複素四元数または双四元数で表すことができます。四元数ローレンツ変換は、最も自然には、 擬スカラーを⁠ ⁠ 、つまり⁠ ⁠の平方根として表します。擬スカラーの平方は-1 であり、スカラーや双ベクトルと可換です。これが ⁠であり、変換演算子とは何かです。 ${\displaystyle X\equiv x\,\gamma _{0}=x^{0}+\gamma _{1}\,\gamma _{0}\,x^{1}+\gamma _{2}\,\gamma _{0}\,x^{2}+\gamma _{3}\,\gamma _{0}\,x^{3}=x^{0}+\sigma _{1}\,x^{1}+\sigma _{2}\,x^{2}+\sigma _{3}\,x^{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\,}$ ${\displaystyle X}$

を基底四元数として定義します。この議論では は基底四元数です。 を識別します。 ${\displaystyle {\textbf {I}},\,{\textbf {J}},\,{\textbf {K}}}$ ${\displaystyle {\textbf {I}}\,{\textbf {I}}={\textbf {J}}\,{\textbf {J}}={\textbf {K}}\,{\textbf {K}}={\textbf {I}}\,{\textbf {J}}\,{\textbf {K}}=-1\;}$ ${\displaystyle {\textbf {I}}}$ ${\displaystyle -i\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}}\quad -i\sigma _{2}\rightarrow {\textbf {J}}\quad -i\sigma _{3}\rightarrow {\textbf {K}}\quad }$

時間軸を持つバイベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$の場合、 のように表されます。ここで、⁠ ⁠は実数スカラーパラメータです。 ${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{0},}$ ${\displaystyle e^{\beta \,{\frac {\alpha }{2}}}\,\gamma _{0}=\gamma _{0}\,e^{-\beta \,{\frac {\alpha }{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

2つの空間軸を持つバイベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$の場合、 のように表されます。ここで、⁠ ⁠は実数スカラーパラメータです。 ${\displaystyle \gamma _{2}\,\gamma _{3},}$ ${\displaystyle e^{\beta \,{\frac {\theta }{2}}}\,\gamma _{0}=\gamma _{0}\,e^{\beta \,{\frac {\theta }{2}}}}$ ${\displaystyle \theta }$

x軸を中心とした空間回転^[32]では、次の式が成り立ちます。 ここで、⁠ ⁠は回転角、です。これはPAMディラックで用いられる形式です。^[33] ${\displaystyle \beta =\gamma _{2}\,\gamma _{3}=-(\gamma _{0}\,\gamma _{1}\,\gamma _{2}\,\gamma _{3})\,\gamma _{1}\,\gamma _{0}\rightarrow -i\,\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}}}$ ${\displaystyle {\textbf {X}}'\,=\,e^{-{\frac {\theta }{2}}\,{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{{\frac {\theta }{2}}\,{\textbf {I}}}\quad }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\textbf {X}}=x^{0}+i\,x^{1}{\textbf {I}}+i\,x^{2}{\textbf {J}}+i\,x^{3}{\textbf {K}}}$

x方向のブースト^{[34] [35]}の場合、バイベクトルはとなり、ここで⁠ ⁠、ここで⁠ ⁠は速度です。 ${\displaystyle \beta =\gamma _{1}\,\gamma _{0}\rightarrow \sigma _{1}\rightarrow i\,{\textbf {I}}}$ ${\displaystyle {\textbf {X}}'\,=\,e^{-{\frac {\alpha }{2}}\,i\,{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{-{\frac {\alpha }{2}}\,i\,{\textbf {I}}}\quad }$ ${\displaystyle \cosh \alpha =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle v}$

任意の時空要素は擬スカラーとの乗算によってホッジ双対を形成する。^[36]双対回転は擬スカラーとの角度⁠ ⁠を介して時空要素⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$を要素 ⁠ ⁠ に変換する。^[37] ${\displaystyle AI}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A.}$

双対回転は非特異クリフォード代数に対してのみ発生する。非特異とは、ゼロでない平方を持つ擬スカラーを含むクリフォード代数を意味する。^[37]

階乗反転（主反転、反転）はすべての⁠ ⁠ - ${\displaystyle r}$ベクトル⁠ ⁠を ${\displaystyle A_{r}}$次の ${\displaystyle A_{r}^{\ast }}$ように変換します。^{[37] [38]}

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}.}$

逆変換は、任意の時空要素をベクトルの積の和として分解し、各積の順序を逆にすることによって発生します。^{[37] [39]}ベクトルの積から生じる多重ベクトルの場合 、逆変換は次のようになります。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ ${\textstyle A^{\dagger }}$

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}.}$

時空要素のクリフォード共役は、 ${\displaystyle A}$反転変換と等級反転変換を組み合わせたもので、次のように示される ${\displaystyle {\tilde {A}}}$。 [ 40 ^]

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

階乗反転、逆変換、クリフォード共役変換は反転である。^[41]

古典電磁気学

ファラデーバイベクトル

STAでは、電場と磁場はファラデーバイベクトルと呼ばれる単一のバイベクトル場に統合することができ、これはファラデーテンソルと同等である。^[42]これは次のように定義される。

${\displaystyle F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},}$

ここで、およびは通常の電場と磁場であり、はSTA擬スカラーである。^[42]あるいは、成分について展開すると、次のように定義される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

別々のフィールドとフィールドは、以下を使用し て回復されます。 ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$項は与えられた参照フレームを表しており、異なる参照フレームを使用すると、標準的な特殊相対論とまったく同じように、明らかに異なる相対場が生じることになる。^[43]

ファラデー双ベクトルは相対論的不変量であるため、その平方にはさらなる情報があり、2つの新しいローレンツ不変量、1つはスカラー、もう1つは擬スカラーが得られます。

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

スカラー部分は電磁場のラグランジアン密度に対応し、擬スカラー部分はあまり見られないローレンツ不変量である。^[44]

マクスウェル方程式

STAは、マクスウェル方程式を、ベクトル解析の4つの方程式^[46]ではなく、より単純な1つの方程式[ ⁴⁵ ]として定式化します。上記の場の2ベクトルと同様に、電荷密度と電流密度は、 4ベクトルに相当する1つの時空ベクトルに統合できます。したがって、時空電流は[ ^47]で与えられます。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},}$

ここで、成分⁠ ⁠は古典的な3次元電流密度の成分です。これらの量をこのように組み合わせると、古典的な電荷密度が ${\displaystyle J^{i}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$によって与えられる時間方向に移動する電流に他ならないことが特に明確になります。

電磁場と電流密度を、先に定義した時空勾配と組み合わせることで、マクスウェル方程式の4つすべてをSTAの1つの方程式にまとめることができます。 ^[45]

マクスウェル方程式:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

これらの量はすべて STA 内の共変オブジェクトであるという事実により、方程式のローレンツ共変性が自動的に保証され、4 つの個別の方程式に分割する場合よりもはるかに簡単に示せます。

この形式では、電荷保存則など、マクスウェル方程式の特定の性質を証明するのもはるかに簡単になります。任意の双ベクトル場において、その時空勾配の発散が⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$であるという事実を用いて、次のような操作を行うことができます。^[48]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

この式は、電流密度の発散がゼロである、つまり、時間の経過に伴う総電荷と電流密度が保存されるという明確な意味を持っています。

電磁場を利用すると、荷電粒子に対するローレンツ力の形もSTAによってかなり単純化できる。^[49]

荷電粒子に対するローレンツ力:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

潜在的な定式化

標準的なベクトル解析の定式化では、2つのポテンシャル関数、すなわち電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルが用いられます。STAのツールを用いると、これら2つのオブジェクトは、テンソル解析における電磁4元ポテンシャルに類似した単一のベクトル場 に結合されます。STAでは、これは次のように定義されます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k},}$

ここで、⁠ ⁠ ${\displaystyle \phi }$はスカラーポテンシャル、⁠ ⁠ ${\displaystyle A^{k}}$は磁気ポテンシャルの成分です。

電磁場もこのポテンシャル場を使って次のように表現できる。

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

しかし、この定義は一意ではない。任意の2回微分可能なスカラー関数⁠ ⁠ ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$に対して、

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

オリジナルと同じ結果になるのは、 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

この現象はゲージ自由度と呼ばれます。与えられた問題を最も単純にするために適切な関数を選択するプロセスはゲージ固定として知られています。しかし ${\displaystyle \Lambda }$、相対論的電磁力学では、ローレンツ条件がしばしば課されます。^[50 ] ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$

STA マクスウェル方程式をポテンシャル⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$の観点から再定式化するには、まず⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$を上記の定義に置き換えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}}$

この結果を代入すると、STAにおける電磁気学のポテンシャル定式化が得られる。^[51]

ポテンシャル方程式:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

ラグランジアン定式化

テンソル計算形式と同様に、STAにおけるポテンシャル定式化は自然に適切なラグランジアン密度を導く。^[52]

電磁ラグランジアン密度:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

体に対する多重ベクトル値オイラー・ラグランジュ方程式を導出することができ、スカラーではないものに関して偏微分をとるという数学的な厳密さを緩めると、関連する方程式は次のようになる。^[53]

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

この形からポテンシャル方程式を導出するには、ローレンツゲージで^{[51]を設定するのが最も簡単です。}

${\displaystyle \nabla \cdot A=0.}$

このプロセスは選択したゲージに関係なく実行できますが、これにより結果のプロセスがかなり明確になります。幾何積の構造により、この条件を使用すると⁠ ⁠ ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$となります。

⁠ ⁠ ${\displaystyle F=c\nabla A}$を代入すると、ポテンシャル場⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$に対して上記と同じ運動方程式が簡単に得られます。

パウリ方程式

STAは、パウリ粒子を行列理論ではなく実理論で記述することを可能にする。パウリ粒子の行列理論による記述は以下の通りである：^[54]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

ここで、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Psi }$はスピノル、⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$は幾何学的解釈のない虚数単位、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$はパウリ行列（「ハット」表記は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$が行列演算子であり、幾何学代数の要素ではないことを示します）、⁠ ⁠ ${\displaystyle H_{S}}$はシュレーディンガーのハミルトニアンです。

STAアプローチは、偶数次時空部分代数の要素、および擬スカラー⁠ ⁠を用いて、行列スピノル表現⁠ ⁠を ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$STA表現⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$に変換する：^{[13] [55]} ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{bmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

パウリ粒子は実パウリ・シュレーディンガー方程式で記述される：^[54]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$は幾何代数の偶数多重ベクトルであり、シュレーディンガーのハミルトニアンは⁠ ⁠ ${\displaystyle H_{S}}$です。ヘステネスはこれを実パウリ–シュレーディンガー理論と呼び、磁場を含む項を削除すればこの理論がシュレーディンガー理論に帰着することを強調しています。^[56]ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{3}}$は任意に選択された固定ベクトルです。固定回転によって、任意の代替選択された固定ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{3}^{\prime }}$が生成されます。^[57]

ディラック方程式

STAは、ディラック粒子を行列理論ではなく実理論で記述することを可能にする。ディラック粒子の行列理論による記述は以下の通りである：^[58]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

ここで、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$はディラック行列であり、⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$は幾何学的な解釈のない虚数単位です。

STAアプローチは、パウリ方程式と同じアプローチを用いて、行列ディラック・ビスピノルの行列上部スピノルと行列下部スピノルを、対応する幾何代数スピノル表現とに変換する。これら ${\displaystyle \vert \psi _{U}\rangle }$を組み合わせて、完全 ${\displaystyle \vert \psi _{L}\rangle }$な幾何代数ディラック・ビスピノルを表現 ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$する。[ ^59] ${\displaystyle \psi _{U}}$ ${\displaystyle \psi _{L}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

ヘステネスの導出によれば、ディラック粒子は次の式で記述される：^{[58] [60]}

STAにおけるディラック方程式:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

ここで、⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$はスピノル場、⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma _{0}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle I\sigma _{3}}$は幾何代数の要素、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {A} }$は電磁気的四元ポテンシャル、⁠ ⁠ ${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$は時空ベクトル微分です。

ディラックスピノル

相対論的ディラックスピノルは 次のように表される: ^{[61] [62] [63]} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}}$

ここで、デイヴィッド・ヘステネスによる導出によれば、⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$は時空上の偶数多重ベクトル値関数、⁠ ⁠ ${\displaystyle R=R(x)}$はユニモジュラースピノルまたは「ローター」、^[64]、⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$はスカラー値関数である。^{[61]この構成では、} ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$の成分はディラックスピノルの成分と直接対応し、どちらも8つのスカラー自由度を持つ。

この式はスピンと虚数擬スカラーを結び付けるものとして解釈される。^[65]

ローレンツ回転子 ${\displaystyle R}$は、ベクトルフレームを別のベクトルフレームに変換する操作を⁠ ⁠し ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ます。[ ${\displaystyle e_{\mu }}$^66] ⁠ ⁠は ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }}$逆変換を示すことに注意してください。 ${\displaystyle R^{\dagger }}$

これは、局所的に変化するベクトル値およびスカラー値の観測量のための枠組みと、シュレーディンガーによって最初に提案された量子力学のジッターベヴェーグング解釈をサポートするために拡張されました。^{[67] [68]}

ヘステネスは、経路積分の定式化において、 ⁠ ⁠の自身の表現とファインマンの表現を比較しました。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

ここで⁠ ⁠は ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$⁠ ⁠ - ${\displaystyle \lambda }$経路に沿った古典作用である。^[69]

スピノルを用いると、磁場からの電流密度は次のように表される^[70]

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

対称性

グローバル位相対称性は、波動関数の一定のグローバル位相シフトであり、ディラック方程式は変化しない。 ^[71] ローカル位相対称性は、空間的に変化する位相シフトであり、これらの複合置換によって表現される電磁4元ポテンシャルのゲージ変換を伴う場合、ディラック方程式は変化しない。 ^[72]

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)}$

これらの方程式において、局所位相変換は、 ${\displaystyle \alpha (x)}$擬似ベクトルとを波動関数に適用した偶数次数時空部分代数による時空位置での位相 ${\displaystyle x}$シフトです。ゲージ変換は、粒子の電荷による電磁気的四元ポテンシャルから位相シフトの勾配を減算したものです。[ ⁷² ] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \nabla \alpha (x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$

研究者たちはSTAと関連するクリフォード代数のアプローチをゲージ理論、電弱相互作用、ヤン＝ミルズ理論、標準模型に適用してきた。^[73]

離散的対称性は、波動関数に適用されるパリティ（⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {P}}}$）、電荷共役（⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {C}}}$）、および時間反転（⁠ ⁠ ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ）である。これらの効果は以下の通りである：[ 74 ${\displaystyle \psi }$^]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}}$

一般相対性理論

一般相対性理論

研究者たちは、STAと関連するクリフォード代数のアプローチを相対論、重力、宇宙論に適用してきた。^[75]ゲージ理論重力（GTG）は、STAを用いてミンコフスキー空間上の誘導曲率を記述し、同時に「時空への任意の滑らかな事象の再マッピング」の下でゲージ対称性を許容し、この測地線方程式を導出する。^{[76] [77] [78] [79]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

そして共変微分

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

ここで、⁠ ⁠ ${\displaystyle \omega }$は重力ポテンシャルに関連付けられた接続であり、⁠ ⁠ ${\displaystyle \Omega }$は電磁場などの外部相互作用です。

この理論は、シュワルツシルト解の形が特異点で破綻しないため、ブラックホールの扱いにいくらか期待が持てます。一般相対性理論の結果のほとんどは数学的に再現されており、古典電気力学の相対論的定式化は量子力学とディラック方程式に拡張されています。

参照

• 幾何代​​数
• ディラック代数
• マクスウェル方程式
• ディラック方程式
• 一般相対性理論
• 四元数ローレンツ変換

注記

1. 例: べき等性が与えられている場合、 、、を定義します。を満たす逆を求めます。したがって、となります。ただし、を満たす は存在しないため、このべき等性には逆が存在しません。 ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ ${\textstyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ ${\textstyle a^{2}=a}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle ab=0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}a=1}$ ${\displaystyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$

引用

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外部リンク

• 幾何代​​数による物理学の探究、第1巻
• 幾何代​​数による物理学の探究、第2巻
• マクスウェル方程式の多重ベクトルラグランジアン
• 虚数は実数ではない - 時空の幾何学代数、幾何学代数の考え方へのチュートリアル入門、S. Gull、A. Lasenby、C. Doran著
• 幾何代​​数の物理的応用コースノート、特にパート 2 を参照してください。
• ケンブリッジ大学幾何代数グループ
• 幾何微積分の研究開発

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