球面基底

Basis used to express spherical tensors

純粋数学と応用数学、特に量子力学とコンピュータグラフィックスとその応用において、球面基底は球面テンソルを表現するために使用される基底です。^{[定義が必要]}球面基底は、量子力学における角運動量 の記述と球面調和関数に密接に関連しています。

球面極座標は極角、方位角、および半径距離を使用してベクトルとテンソルを表現するための 1 つの直交座標系ですが、球面基底は標準基底から構築され、複素数を使用します。

3次元で

3次元ユークリッド空間R ³のベクトルAは、標準的な基底e _x、e _y、e _z、座標A _x、A _y、A _zで、よく知られている直交座標系で表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}}$

1

あるいは、ベクトルの基底集合が関連付けられた他の座標系。これにより、スカラーを拡張して複素数による乗算が可能になり、ではなく で作業することになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

基礎定義

e ₊、e ₋、e ₀で示される球面基底と、この基底に関する関連座標A ₊、A ₋、A ₀で示されるベクトルAは次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}}$

2

ここで球面基底ベクトルは、 xy平面上の複素数値係数を用いて直交座標基底で定義することができる。^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,}$

3A

ここで、 は虚数単位を表し、 z方向の平面に垂直な 1 つを表します。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

逆の関係は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}}$

3B

整流子の定義

3次元空間に基底を与えることは球面テンソルの有効な定義ですが、これは階数が1の場合のみをカバーします。階数が高い場合は、交換子、または球面テンソルの回転定義のいずれかを使用できます。交換子の定義は以下に示すように、以下の関係を満たす任意の演算子は球面テンソルです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ $${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$ $${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

回転の定義

球面調和関数が回転によって変換するのと同様に、一般の球面テンソルは、状態がユニタリ ・ウィグナーD行列 によって変換されるときに次のように変換されます。ここで、RはSO(3)の(3×3回転)群の元です。つまり、これらの行列は回転群の元を表します。リー代数の助けを借りれば、これら2つの定義が同値であることを示すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

座標ベクトル

球面基底の場合、座標は複素数値A ₊、A ₀、A _{−であり、（} 3B）を（1）に代入するか、内積⟨、⟩（5） から直接計算することで求めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)}$

4A

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

逆の関係：

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}}$

4B

一般に、同じ実数値直交基底e _iにある複素係数を持つ2つのベクトル（ e _i · e _j = δ _ijという性質を持つ）の内積は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }}$

5

ここで、· は通常のドット積であり、ベクトルの大きさ（または「ノルム」）を正定値に保つには複素共役* を使用する必要があります。

プロパティ（3次元）

直交性

球面基底は直交基底である。なぜなら、すべてのペアの内積⟨, ⟩ ( 5 ) がゼロになり、基底ベクトルがすべて互いに直交することを意味するからである。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

そして各基底ベクトルは単位ベクトルである。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

したがって、 の正規化係数が必要になります。 ${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$

基底行列の変更

定義関係（3A ）は変換行列 Uによって要約できる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

逆の場合：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Uはユニタリ行列であることがわかります。言い換えると、そのエルミート共役 U ^† (複素共役および転置行列) は逆行列 U ⁻¹でもあります。

座標については：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

逆も同様です:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

クロス積

球面基底ベクトルの外積をとると、明らかな関係が見つかります。

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

ここで、qは +、-、0、およびあまり明らかではない 2 つの関係を表すプレースホルダーです。

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

球面基底における内積

球面基底における2つのベクトルAとBの内積は、上記の内積の定義から次のように求められます。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

参照

• ウィグナー・エッカートの定理
• ウィグナーD行列
• 3D回転グループ

参考文献

1. WJ Thompson (2008). 角運動量. John Wiley & Sons. p. 311. ISBN 9783527617838。

一般的な

• SSM Wong (2008). 核物理学入門（第2版）. John Wiley & Sons. ISBN 978-35-276-179-13。

外部リンク

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