スピン接続

A connection on a spinor bundle

微分幾何学と数理物理学において、スピン接続はスピノル束上の接続です。これは、標準的な方法で、アフィン接続から誘導されます。また、局所ローレンツ変換によって生成されるゲージ場と見なすこともできます。一般相対論のいくつかの標準的な定式化では、スピン接続は空間スライス上で定義され、局所回転によって生成されるゲージ場と見なすこともできます

スピン接続には、2つの一般的な形式があります。レヴィ・チヴィタ接続から導出されるレヴィ・チヴィタスピン接続と、アフィン接続から得られるアフィンスピン接続です。これら2つの違いは、レヴィ・チヴィタ接続は定義上、ねじれのない唯一の接続であるのに対し、アフィン接続（およびアフィンスピン接続）はねじれを含む可能性があるという点です。

意味

を局所ローレンツ座標系場または四辺形（テトラッドとも呼ばれる）とし、これは計量テンソル を対角化する直交時空ベクトル場の集合である。ここで、は時空計量 、はミンコフスキー計量である。ここで、ラテン文字は局所ローレンツ座標系の添え字を表し、ギリシャ文字の添え字は一般座標の添え字を表す。これは、 を基底 で表すと局所的に平坦になることを単純に表している。ギリシャ文字の四辺形添え字は計量 によって増減することができ、つまりまたは となる。ラテン文字または「ローレンツ」の四辺形添え字は、それぞれまたはによって増減することができる。例えば、 ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},}$$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}}$ ${\displaystyle e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}}$

ねじれのないスピン接続は、 クリストッフェル記号で与えられます。慣例により、クリストッフェル記号はリーマン多様体上の唯一の計量適合なねじれのない接続であるレヴィ・チヴィタ接続から導かれるため、この定義はねじれのないスピン接続を定義するものと解釈されるべきです。一般に、スピン接続にねじれが含まれていてもよいという制約はありません。 $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$

反変ベクトルの重力共変微分を用いることに注意してください。スピン接続は、定義により内部添字において反対称である四分場^[1]を用いて純粋に記述することができます。 ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})}$ ${\displaystyle \partial _{;\mu }e^{\nu b}}$ ${\displaystyle e^{\nu b}}$ $${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}={\tfrac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\tfrac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\tfrac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},}$$ ${\displaystyle a,b}$

スピン接続は一般化テンソル上の共変微分を定義する。例えば、スピン接続の作用は次のようになる。 ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle V_{\nu }^{\ a}}$ $${\displaystyle D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}}$$

カルタンの構造方程式

カルタン形式論では、スピン接続は捩れと曲率の両方を定義するのに使われます。これらは微分形式を扱うことで最も簡単に読むことができます。なぜなら、微分形式を使うと多数の添字の一部が隠されるからです。ここで提示する方程式は、実質的には接続形式と曲率形式に関する記事にある方程式を言い換えたものです。主な違いは、これらが四周帯の添字を完全に隠すのではなく、そのまま保持することです。より狭義には、カルタン形式論はその歴史的設定において、同質空間へのアフィン接続の考え方の一般化として解釈されるべきであり、ファイバー束上の主接続の考え方ほど一般的ではありません。これは、リーマン幾何学のより狭い設定と完全に抽象的なファイバー束の設定の適切な中間点として機能し、ゲージ理論との類似性を強調しています。ここで表現されているカルタンの構造方程式には、直接的な類似物として、リー群のマウラー-カルタン方程式があることに注意してください(つまり、設定と表記が異なるだけで、同じ方程式です)。

四辺形を余接束上の直交座標の微分形式として書くと、アフィン スピン接続 1 形式は、 次のようになります。ねじれ2 形式は、次のようになります。一方、曲率2 形式は 、次のようになります。これら 2 つの方程式をまとめて、カルタンの構造方程式と呼びます。^[2]一貫性を保つには、ビアンキ恒等式に従う必要があります。 最初のビアンキ恒等式は、ねじれの外微分を取ることで得られます。 2 番目は、曲率を微分することで得られます。 次pの一般的な微分形式の共変微分は、ビアンキの 2 番目の 恒等式で定義され 、次のようになります。 ねじれを持つ接続と、ねじれのない唯一の接続の違いは、ねじれテンソルによって与えられます。 ねじれを持つ接続は、テレパラレリズム、アインシュタイン-カルタン理論、ゲージ理論重力、超重力 の理論でよく見られます。 $${\displaystyle e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }}$$ $${\displaystyle \omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }}$$ $${\displaystyle \Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}$$ $${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$$ $${\displaystyle d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}$$ $${\displaystyle dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.}$$ ${\displaystyle V_{\;\,b}^{a}}$ $${\displaystyle DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.}$$ $${\displaystyle DR_{\;\,b}^{a}=0.}$$

導出

計量性

必要に応じてインデックスを上げ下げすることで、によって定義されるフレーム フィールドがおよびも満たすことが簡単に推論できます。はミンコフスキー計量 も消滅することが予想されます。これは、接続がその内部インデックスで反対称であることを意味します。 これは、重力共変微分を取ることによっても推論され、したがって最終的には となります。 これは、計量​​性条件と呼ばれることもあります。^[2]これは、より一般的に述べられている という計量性条件に類似しています。 この条件は、レヴィ-チヴィタ スピン接続に対してのみ成立し、一般のアフィン スピン接続には成立しないことに注意してください。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ $${\displaystyle D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.}$$ ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.}$ ${\displaystyle \partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0}$ ${\displaystyle \partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$ ${\displaystyle {\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu ;\alpha }=0.}$

を用いて書かれたクリストッフェル記号の式を代入することにより、スピン接続は を用いて完全に記述することができます。ここで、インデックスの反対称化には 1/2 という暗黙の係数があります。 ${\displaystyle {\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={\tfrac {1}{2}}g^{\nu \delta }\left(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu }\right)}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$ ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$ $${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })}$$

メトリックの互換性

この式は別の方法でも導出できます。スピン接続の適合条件を直接解くには、クリストッフェル記号を解くのと同じトリックを使えます。まず適合条件を縮約して、 ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$ ${\displaystyle \nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0.}$$

次に、自由添字とを巡回置換し、得られた3つの式を足し算と引き算する。ここで定義は用いている。スピン接続の解は ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0}$$ ${\displaystyle \Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}}$ $${\displaystyle \omega _{\alpha ca}={e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}).}$$

これから前と同じ式が得られます。

応用

スピン接続は、ディラック方程式を曲がった時空の言語で表現すると発生します。曲がった時空におけるディラック方程式を参照してください。具体的には、重力とスピノル場を結合する際に問題があります。一般共変群には有限次元スピノル表現がありません。しかし、ローレンツ群には当然スピノル表現があります。この事実は、時空のあらゆる点で平坦な接空間を記述するテトラッド場を用いることで利用されます。ディラック行列は 四辺形に縮約されます ${\displaystyle \gamma ^{a}}$ $${\displaystyle \gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x).}$$

一般共変なディラック方程式を構築したい。平坦接空間ローレンツ変換のもとで、スピノルは次のように変換される。 $${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi }$$

によって生成される平坦接空間上の局所ローレンツ変換を導入し、 は時空の関数となる。これは、スピノルの偏微分がもはや真のテンソルではないことを意味する。通常通り、ローレンツ群をゲージ化できる接続場を導入する。スピン接続で定義される共変微分は であり、は真のテンソルであり、ディラック方程式は次のように書き直される。 ${\displaystyle \sigma _{ab}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ab}}$ ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi =\left(\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab}\right)\psi ,}$$ $${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0.}$$

一般に共変なフェルミオン作用は、第 1 次四項パラティーニ作用に追加されると、 フェルミオンを重力に結合します。ここで、はスピン接続の曲率です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi }$$ ${\textstyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\Omega _{\mu \nu }}^{ab}}$

一般相対論のパラティーニ四項定式化は、アインシュタイン・ヒルベルト作用の一次定式化であり、四項とスピン接続が基本的な独立変数である。パラティーニ定式化の3+1バージョンでは、空間計量 に関する情報は、三項（四項の3次元空間バージョン）に符号化される。ここで、計量適合条件を に拡張し、 とすることで、空間スピン接続 について上記と同様の式が得られる。 ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle D_{a}q_{bc}=0}$ ${\displaystyle e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle D_{a}e_{b}^{i}=0}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{ij}}$

空間スピン接続はアシュテカー・バルベロ変数の定義に現れ、これにより 3+1 一般相対論を特殊なタイプのヤン・ミルズゲージ理論として書き直すことができる。 を定義する。するとアシュテカー・バルベロ接続変数は と定義され、ここでは外在曲率、はイミルジパラメータである。を配置変数として、共役運動量は密度化された三つ組 である。 3+1 一般相対論を特殊なタイプのヤン・ミルズゲージ理論として書き直すことで、量子色力学で使用される非摂動論的手法を標準的な量子一般相対論に導入することができる。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}}$ ${\displaystyle c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}}$ ${\displaystyle c_{ab}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle E_{a}^{i}=\left|\det(e)\right|e_{a}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

参照

• アシュテカー変数
• ディラック演算子
• カルタン接続
• レヴィ・チヴィタ接続
• リッチ計算
• 超重力
• ねじれテンソル
• ねじれテンソル
• 曲がった時空におけるディラック方程式

注釈

1. MB Green、JH Schwarz、E. Witten、「超弦理論」、第2巻
2. 江口徹、ピーター・B・ギルキー、アンドリュー・J・ハンソン、「重力、ゲージ理論、微分幾何学」、物理学レポート 66（1980）、pp.213–393。

参考文献

• Hehl, FW; von der Heyde, P.; Kerlick, GD; Nester, JM (1976)「スピンとトーションを伴う一般相対性理論：基礎と展望」Rev. Mod. Phys. 48 , 393
• Kibble, TWB (1961)、「ローレンツ不変性と重力場」、J. Math. Phys. 2、212。
• Poplawski, NJ (2009)、「時空と場」、arXiv:0911.0334
• Sciama, DW (1964)、「一般相対性理論の物理的構造」、Rev. Mod. Phys. 36、463。

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