スピノル束

幾何学的構造

微分幾何学では、次元の向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造が与えられた場合、スピノル束は、上のスピンフレームの対応する主束と、スピノル空間上の構造群のスピン表現に関連付けられた複素ベクトル束として定義されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

スピノル束 のセクションはスピノル場と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

正式な定義

をリーマン多様体上のスピン構造とします。これは、スピン群による特殊直交群の二重被覆に関する、向き付けられた直交フレームバンドルの同変リフトです。 ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

スピノルバンドルは、 スピン表現を介してスピン構造に関連付けられた複素ベクトルバンドルとして定義されます^[1]。ここで、はヒルベルト空間に作用するユニタリ演算子のグループを表します。スピン表現は、グループの忠実でユニタリな表現です^[2] ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ $${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n).}$

参照

• クリフォードバンドル
• クリフォードモジュールバンドル
• 直交フレームバンドル
• スピンジオメトリ
• スピノル
• スピノル表現

注記

1. フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック演算子、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-153ページ
2. フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック演算子、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-120ページと24ページ

さらに読む

• ローソン、H.ブレイン、ミシェルソン、マリー＝ルイーズ(1989).スピン幾何学.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08542-5。
• フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック作用素、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-1

|

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Spinor_bundle&oldid=1251727851」から取得