スピログラフ

Geometric drawing device

スピログラフ

スピログラフセット
発明者	デニス・フィッシャー
会社	ハズブロ
国	イギリス
可用性	1965年～現在
材料	プラスチック
公式サイト

スパイログラフは、技術的にはハイポトロコイド曲線とエピトロコイド曲線として知られる種類の数学的なルーレット曲線を描く幾何学描画装置です。よく知られている玩具版は、イギリスの技術者デニス・フィッシャーによって開発され、1965年に初めて販売されました。

この名称は、デニス・フィッシャー社を買収したハズブロ社が1998年に買収されて以来、同社の登録商標となっています。スパイログラフ・ブランドは、2013年にカフーツ・トイズ社によって、オリジナルの製品構成で世界中で再発売されました。

歴史

1827年、ギリシャ生まれのイギリス人建築家兼技術者、ピーター・ヒューバート・デヴィーニュは、「スパイラグラフ」と呼ばれる精巧な螺旋状の図形を描く装置を開発し、宣伝しました。その後まもなく、J・ジョップリングという人物が、以前にも同様の方法を発明したと主張しました。^[1] 1845年から1848年にかけてウィーンで働いていたデヴィーニュは、紙幣偽造防止に役立つこの機械を製作しました。^[2]この機械が作り出すルーレットのパターンはほぼ無限に存在し、その逆解析は極めて困難だったからです。数学者ブルーノ・アバカノヴィッチは、 1881年から1900年にかけて、新しいスパイラグラフ装置を発明しました。これは、曲線で囲まれた領域を計算するために使用されました。^[3]

スピログラフ セット (英国 Palitoy 1980 年代初頭)

歯車をベースにした描画玩具は、少なくとも1908年にシアーズのカタログで「The Marvelous Wondergraph」が宣伝されていた頃から存在していました。 ^{[4] [5]}ワンダーグラフ描画機の作り方を説明した記事が、1913年にボーイズメカニック誌に掲載されました。^[6]

スピログラフ玩具の決定版は、1962年から1964年にかけて、イギリスの技術者デニス・フィッシャーによって開発されました。彼はメカノ部品を用いた描画機を製作しました。フィッシャーは1965年のニュルンベルク国際玩具見本市でこのスピログラフを展示しました。その後、フィッシャーの会社で生産されました。米国での販売権はケナー社に取得され、1966年に米国市場に導入され、創造的な子供用玩具として宣伝されました。ケナー社は後に、スピロトット、マグネティック・スピログラフ、スピロマン、そして様々な詰め替えセットを発売しました。^[7]

2013年、スピログラフ・ブランドは、オリジナルの歯車と車輪を備え、カフーツ・トイズ社によって世界中で再発売されました。現代の製品では、固定部品を固定するためにピンの代わりに取り外し可能なパテを使用しています。スピログラフは1967年にトイ・オブ・ザ・イヤーを受賞し、2014年には2つのカテゴリーでトイ・オブ・ザ・イヤーの最終候補に選ばれました。カフーツ・トイズは2019年にプレイモンスターLLCに買収されました。 ^[8]

手術

米国で最初に発売されたスパイログラフは、円周の内側と外側の両方に歯車の歯が付いた、2つの異なるサイズのプラスチック製リング（またはステーター）で構成されていました。これらのリングのいずれかを所定の位置に固定すると（ピン、接着剤、または手作業で）、ボールペン用の穴がある複数の付属の歯車（またはローター）のいずれかをリングの周りで回転させ、幾何学的形状を描くことができました。後に、スーパースパイログラフでは、リング、三角形、まっすぐな棒などの追加の形状が導入されました。各部品のすべてのエッジには、他の部品と噛み合う歯があります。小さな歯車は大きなリングの内側に収まりますが、リングの外側のエッジに沿って回転したり、互いの周りを回転したりすることもできます。歯車はさまざまな配置で組み合わせることができます。セットにはさまざまな色のペンが含まれることが多く、ここに示す例のように、色を切り替えることでデザインを強調することができました。

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  スピログラフのアニメーション
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  スピログラフホイールのクローズアップ
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  数種類の異なる色のペンを使ってスピログラフセットで描いたいくつかのスピログラフのデザイン
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  スピログラフリングとホイールでパターンを描く

数学的根拠

スピログラフの数学的説明のための幾何学的構成

原点を中心とする半径 の固定された外円を考えてみましょう。半径 のより小さな内円が内側を転がり、常にこの円に接しています。は決して滑らないものと仮定します（実際のスパイログラフでは、両方の円の歯がこのような滑りを防いでいます）。次に、の中心から の距離にある点を内側のどこかに仮定します。この点は、実際のスパイログラフの内側の円板にあるペン穴に対応します。一般性を失うことなく、最初の瞬間に点が軸上にあったと仮定できます。スパイログラフによって作成される軌道を見つけるには、内円が動き始めるにつれて点を追っていきます。 ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r<R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle \rho <r}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

ここで、 と に2点を記します。点は常に2つの円が接する位置を示します。しかし、点 は 上を移動し、その初期位置は と一致します。の周りを反時計回りに動き始めた後、は中心に対して時計回りに回転します。滑りがないため、 点 が上を移動する距離は、上の接点が移動する距離と同じです。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$

ここで、原点を の中心に置き、軸を および に平行とする新しい（相対）座標系を定義します。パラメータ を上で接点が回転する角度とし、 をが相対座標系で回転する（つまり が移動する）角度とします。滑りがないため、 と がそれぞれの円に沿って移動する距離は同じでなければなりません。したがって、 ${\displaystyle (X',Y')}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(t-t')r,}$

あるいは同等に、

${\displaystyle t'=-{\frac {R-r}{r}}t.}$

反時計回りの動きは角度の正の変化に対応し、時計回りの動きは角度の負の変化に対応すると一般的に考えられています。上記の式（）のマイナス符号は、この慣例に対応しています。 ${\displaystyle t'<0}$

を絶対座標系におけるの中心の座標とします。すると はの中心の軌道の半径を表します。これは（これも絶対座標系において）次のように円運動します。 ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle R-r}$ ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(R-r)\cos t,\\y_{c}&=(R-r)\sin t.\end{aligned}}}$

上で定義したように、は新しい相対座標系における回転角です。点は通常の円運動の法則に従うため、新しい相対座標系におけるその座標は ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

絶対（古い）座標系での の軌跡を取得するには、次の 2 つの動きを追加します。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

ここで、は上記で定義されています。 ${\displaystyle \rho }$

ここで、上で導出したとの関係を使用して、単一のパラメータに関して点の軌道を記述する方程式を取得します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(関数が奇数であるという事実を使用)。 ${\displaystyle \sin }$

上記の式は、スピログラフの構造を記述する無次元パラメータと半径を用いて表すと便利です。つまり、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

そして

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

パラメータ は、点がの中心からどれだけ離れているかを表します。同時に、 は内側の円が外側の円に対してどれだけ大きいかを表します。 ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

現在、

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

したがって、軌道方程式は次の形をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

パラメータはスケーリングパラメータであり、スパイログラフの構造には影響しません。パラメータの値を変えても、同様のスパイログラフ描画が得られます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

と の二つの極端なケースは、スピログラフの軌道が退化します。最初の極端なケース、つまり の場合には、半径 の単純な円が得られます。これは、 が点に縮小された場合に相当します。（ と はどちらも有界関数であるため、式中の で割ることは問題ありません。） ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$

もう一方の極端なケースは、内側の円の半径が外側の円の半径と一致する場合、つまり です。この場合、軌道は一点となります。直感的に言えば、は大きすぎて、同じ大きさの の内側を滑らずに転がることはできません。 ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{o}}$ ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{o}}$

ならば、点はの円周上にあります。この場合、軌道は内サイクロイドと呼ばれ、上記の式は内サイクロイドの式に簡約されます。 ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{i}}$

参照

• 遠心歳差運動 – 天体の遠心円軌道の回転
• カーディオイド – 平面曲線の種類
• サイクログラフ – 中心がはっきりしない大きな直径の円弧を描くための器具
• 幾何学旋盤 - 彫刻装置
• ギョーシェ – 装飾技法
• ハーモノグラフ – 振り子を使って画像を作成する装置

参考文献

1. ナイト、ジョン・I. (1828). 「Mechanics Magazine」. ナイト、レイシー – Googleブックス経由.
2. 「スピログラフとそれを使って描かれたパターンの例 | 科学博物館グループコレクション」。
3. キャサリン、ゴールドスタイン;グレイ、ジェレミー。リッター、ジム (1996)。ヨーロッパの数学: 歴史、神話、アイデンティティ。エディションMSH。 p. 293.ISBN​ 9782735106851. 2011年7月17日閲覧。
4. Kaveney, Wendy. 「CONTENTdmコレクション：複合オブジェクトビューア」. digitallibrary.imcpl.org . 2011年7月17日閲覧。
5. リンダーマン、ジム. 「ArtSlant - スパイログラフ？いいえ、魔法のパターンです！」. artslant.com . 2011年7月17日閲覧。
6. “From The Boy Mechanic (1913) - A Wondergraph”. marcdatabase.com . 2004年. 2011年9月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年7月17日閲覧。
7. クーピー、トッド (2015 年 8 月 17 日)。 「スピログラフ」。トイテイルズ.ca。
8. “PlayMonsterがKahootz Toysを買収”. 2019年11月14日. 2023年2月26日閲覧。

外部リンク

• 公式サイト
• Voevudko, AE (2018年3月12日). 「Gearographic Curves」. Code Project .

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