弾性振り子

弾性振り子の運動 - 異なる周波数の振動が重なり合う効果を見ることができます（単純振り子とバネ振り子の振動の合成）

物理学と数学の力学系の分野において、弾性振り子^[1]^[2]（バネ振り子^[3]^[4]または揺れバネとも呼ばれる）は、質量体がバネに接続され、その結果生じる運動が単純振り子と1次元バネ質量系の両方の要素を含む物理系である。^{[2]特定のエネルギー値に対して、系は}カオス的挙動の特徴をすべて示し、初期条件に敏感である。 [2 ^]非常に低いエネルギーと非常に高いエネルギーでは、規則的な運動も見られる。^[5]弾性振り子の運動は、一連の結合した常微分方程式によって支配される。この挙動は、エネルギー状態とシステムダイナミクスとの複雑な相互作用を示唆している。

分析と解釈

このシステムは単純な振り子よりもはるかに複雑です。バネの特性がシステムに新たな自由度を加えるためです。例えば、バネが圧縮されると、半径が短くなるため、角運動量保存則によりバネの動きが速くなります。また、バネの運動範囲が振り子の運動に追いつかず、実質的に振り子の運動に影響を与えない可能性もあります。

ラグランジアン

バネは静止長を持ち、長さだけ伸ばすことができます。振り子の振動角はです。 $\ell _{0}$ $x$ $\theta$

ラグランジアンとは、は運動エネルギー、は位置エネルギーです。 $L$ $L=T-V$ $T$ $V$

フックの法則は、バネ自体の位置エネルギーです。ここではバネ定数です。 $V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}$ $k$

一方、重力による位置エネルギーは、質量の高さによって決まります。与えられた角度と変位に対して、位置エネルギーは次のように表されます。ここで、は重力加速度です。 $V_{g}=-gm(\ell _{0}+x)\cos \theta$ $g$

運動エネルギーは次式で与えられます。ここで、は質量の速度です。他の変数と関連付けると、速度はバネに沿う方向とバネに垂直な方向の動きの組み合わせとして表されます。 $T={\frac {1}{2}}mv^{2}$ $v$ $v$ $T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)$

したがってラグランジアンは次のようになる: ^[1] $L=T-V_{k}-V_{g}$ $L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm\left(\ell _{0}+x\right)\cos \theta$

運動方程式

自由度が2 の場合、およびについては、 2 つのオイラー-ラグランジュ方程式を使用して運動方程式を求めることができます。 $x$ $\theta$ ${\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}&=0\end{aligned}}$

のために：^[1]孤立： $x$ $m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0$ ${\ddot {x}}$ ${\ddot {x}}=(\ell _{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta$

そして、^[1]孤立している: $\theta$ $-gm\left(\ell _{0}+x\right)\sin \theta -m\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\ddot {\theta }}-2m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0$ ${\ddot {\theta }}$ ${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell _{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{\ell _{0}+x}}{\dot {\theta }}$

これらは、長さと時間をスケーリングすることでさらに単純化できます。系をとで表すと、無次元の運動方程式が得られます。残る1つの無次元パラメータが系を特徴づけます。 ${\textstyle s={x}/{\ell _{0}}}$ ${\textstyle \tau =t{\sqrt {{g}/{\ell _{0}}}}}$ $s$ $\tau$ $\Omega ^{2}={\frac {k\ell _{0}}{mg}}$ ${\frac {d^{2}s}{d\tau ^{2}}}=\left(s+1\right)\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}-\Omega ^{2}s+\cos \theta$ ${\frac {d^{2}\theta }{d\tau ^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{s+1}}-{\frac {2}{1+s}}{\frac {ds}{d\tau }}{\frac {d\theta }{d\tau }}$

弾性振り子は、2つの結合した常微分方程式で記述されます。これらは数値的に解くことができます。さらに、解析的手法を用いて、この系における秩序-カオス-秩序^[7]という興味深い現象を、パラメータと初期条件およびの様々な値に対して研究することができます。 $\Omega ^{2}$ $s$ $\theta$

2つ目の例として、二重弾性振り子があります。^{[8]を参照してください。}

参照

参考文献

^ abcd Xiao, Qisong; et al. 「弾性振り子のダイナミクス」(PDF)。
^ abc Pokorny, Pavel (2008). 「3次元重バネ弾性振り子の垂直振動の安定条件」(PDF) .正則およびカオスダイナミクス. 13 (3): 155– 165. Bibcode :2008RCD....13..155P. doi :10.1134/S1560354708030027. S2CID 56090968.
^ シヴァスリニヴァス、コルクラ。「スプリングペンデュラム」。
^ ヒル、クリスチャン（2017年7月19日）「ばね振り子」
^ リア、ガニス『揺れるバネ：規則的な動きと混沌とした動き』
^ Simionescu, PA (2014). AutoCADユーザーのためのコンピュータ支援グラフ作成およびシミュレーションツール（第1版）. フロリダ州ボカラトン: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3。
^ アヌラグ, アヌラグ; バスデブ, モンダル; バッタチャルジー, ジャヤンタ・クマール; チャクラボルティ, サガール (2020). 「平面弾性振り子における秩序-カオス-秩序遷移の理解」 . Physica D. 402 132256. Bibcode : 2020PhyD..40232256A. doi :10.1016/j.physd.2019.132256. S2CID 209905775.
^ Haque, Shihabul; Sasmal, Nilanjan; Bhattacharjee, Jayanta K. (2024). Lacarbonara, Walter (編). 「拡張可能な二重振り子と多重パラメトリック共鳴」 .非線形ダイナミクスの進歩, 第1巻. 出版社: Springer Nature Switzerland: 135– 145. doi :10.1007/978-3-031-50631-4_12. ISBN 978-3-031-50631-4。

さらに読む

ポコルニー、パベル (2008). 「3次元重バネ弾性振り子の垂直振動の安定条件」(PDF) .正則およびカオスダイナミクス. 13 (3): 155– 165.書誌コード:2008RCD....13..155P. doi :10.1134/S1560354708030027. S2CID 56090968.
ポコルニー、パベル (2009). 「散逸系および保存系の周期解の連続性：弾性振り子への応用」(PDF) .工学における数学的問題. 2009 : 1–15 . doi : 10.1155/2009/104547 .

外部リンク

Holovatsky V.、Holovatska Y. (2019)「弾性振り子の振動」(インタラクティブアニメーション)、Wolfram Demonstrations Project、2019 年 2 月 19 日発行。
ホロヴァツキー V.、ホロヴァツキー I.、ホロヴァツカヤ、ストラクヤ。共鳴弾性振り子の振動。物理学と教育テクノロジー、2023、1、10–17、https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physics/article/view/1093

[Xiao_et_al-1] Xiao, Qisong; et al. 「弾性振り子のダイナミクス」(PDF)。

[Pokorny_2008-2] Pokorny, Pavel (2008). 「3次元重バネ弾性振り子の垂直振動の安定条件」(PDF) .正則およびカオスダイナミクス. 13 (3): 155– 165. Bibcode :2008RCD....13..155P. doi :10.1134/S1560354708030027. S2CID 56090968.

[sivasrinivas-3] シヴァスリニヴァス、コルクラ。「スプリングペンデュラム」。

[hill_2017-4] ヒル、クリスチャン（2017年7月19日）「ばね振り子」

[5] リア、ガニス『揺れるバネ：規則的な動きと混沌とした動き』

[Simionescu_2014-6] Simionescu, PA (2014). AutoCADユーザーのためのコンピュータ支援グラフ作成およびシミュレーションツール（第1版）. フロリダ州ボカラトン: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3。

[7] アヌラグ, アヌラグ; バスデブ, モンダル; バッタチャルジー, ジャヤンタ・クマール; チャクラボルティ, サガール (2020). 「平面弾性振り子における秩序-カオス-秩序遷移の理解」 . Physica D. 402 132256. Bibcode : 2020PhyD..40232256A. doi :10.1016/j.physd.2019.132256. S2CID 209905775.

[8] Haque, Shihabul; Sasmal, Nilanjan; Bhattacharjee, Jayanta K. (2024). Lacarbonara, Walter (編). 「拡張可能な二重振り子と多重パラメトリック共鳴」 .非線形ダイナミクスの進歩, 第1巻. 出版社: Springer Nature Switzerland: 135– 145. doi :10.1007/978-3-031-50631-4_12. ISBN 978-3-031-50631-4。