平方三角数

Integer that is both a perfect square and a triangular number

平方三角数 36 を三角数と平方数として表したもの。

数学において、正方三角数（または三角平方数）とは、三角数であると同時に平方数でもある数、つまり、からまでのすべての整数の和の平方根が整数である数です。正方三角数は無限に存在します。最初のいくつかは次のとおりです。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

0、1、36、1225年、41 616 ,1 413 721、48 024 900 ,1 631 432 881、55 420 693 056、1 882 672 131 025 （ OEISのシーケンスA001110）

N A001110	s 2 = N A001109	t(t+1)/2 = N A001108
0	0	0
1	1	1
36	6	8
1225	35	49
41616	204	288
1413721	1189	1681
48024900	6930	9800

ペル方程式としての解

番目の平方三角数を と書き、対応する正方形と三角形の辺を と と書き、 ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

三角数の三角根をと定義します。二次方程式の形では、となります。二次方程式の公式から、 ${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+n-2N=0}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

したがって、が三角形（は整数）である場合、かつ が平方である場合に限ります。したがって、平方数も三角形であるためには が平方である必要があります。つまり、 となる数と が存在するということです。これはのペル方程式の例です。すべてのペル方程式は任意の に対して自明な解を持ちます。これはゼロ次解と呼ばれ、 と添え字が付けられます。が特定の に対する任意のペル方程式の 番目の非自明な解を表す場合、降下法を用いて次の解が示されることができます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 8N+1}$ ${\displaystyle M^{2}}$ ${\displaystyle 8M^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle x=1,y=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

したがって、任意のペル方程式には、1つの非自明な解が存在する無限個の解が存在し、これはが平方でない場合に常に成り立ちます。 のときの最初の非自明な解は簡単に見つけられます。それは です。のときのペル方程式の解は、次のように正方三角数とその平方根および三角根を与えます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

したがって、 から導出される最初の平方三角数はであり、 から導出される次の平方三角数は です。 ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)=(17,6)}$ ${\displaystyle 36}$

シーケンス、およびは、それぞれOEISシーケンスOEIS :A001110、OEIS :A001109、およびOEIS :A001108です。 ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

明示的な式

1778年にレオンハルト・オイラーは明示的な式を決定した^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

この式を展開することで得られる他の同等の式としては、次のようなものがある。

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

およびに対応する明示的な式は次の通りである: ^{[2] : 13} ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

再帰関係

ペル方程式の解は、方程式の解の漸化式として表すことができます。これは、平方三角数、および関係する正方形と三角形の辺を直接表す漸化式に変換できます。^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

[ 1 ^{] [2] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

その他の特徴

すべての平方三角数は の形を持ち、 は の連分数展開、つまり2 の平方根に収束する。^[4] ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AV シルウェスターは、無限に多くの平方三角数が存在するという短い証明を与えました。番目の三角数が平方数であれば、それより大きい番目の三角数も平方数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

この式の左辺は三角数の形をしており、右辺は3つの平方数の積なので平方数である。^[5]

平方三角数の生成関数は次の通りである: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

参照

• キャノンボール問題、同時に正方形かつ四角錐である数に関する問題
• 6乗、つまり平方数と立方数を同時に表す数

注記

1. ディクソン、レナード・ユージーン(1999) [1920].数論の歴史. 第2巻. プロビデンス: アメリカ数学会. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7。
2. Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (整数で素早く解くべきディオファントス問題のための簡単な規則)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (ラテン語). 4 : 3– 17 . 2009年5月11日閲覧。記録によると、この規則は1778年5月4日にサンクトペテルブルク科学アカデミーに提出された。
3. Weisstein, Eric W.「Square Triangular Number」. MathWorld .
4. Ball, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987). Mathematical Recreations and Essays . New York: Dover Publications. p. 59. ISBN 978-0-486-25357-2。
5. Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Just, Erwin; Warten, RM (1962年2月). 「初等問題と解答：E 1473 平方三角数」.アメリカ数学月刊. 69 (2). アメリカ数学会誌: 168–169 . doi :10.2307/2312558. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312558.
6. プルーフ、サイモン(1992 年 8 月)。 「1031 関数の生成」(PDF)。ケベック大学、組み合わせおよび情報数学研究所。 p. A.129。2012 年 8 月 20 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2009 年 5 月 11 日に取得。

外部リンク

• 結び目を切ると正方形になる三角数
• ワイスタイン、エリック・W.「平方三角数」。MathWorld。
• マイケル・ダメットの解決策

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