安定した曲線

代数幾何学において、安定曲線とは、幾何学的不変理論の意味で漸近的に安定している代数曲線である。

これは、それが通常の2点のみを特異点とする完全連結曲線であり、自己同型群が有限であるという条件と同値である。自己同型群が有限であるという条件は、それが数論的種数1でなく、すべての非特異有理成分が他の成分と少なくとも3点で交わるという条件に置き換えることができる（Deligne & Mumford 1969）。

半安定曲線は、自己同型群が有限ではなく簡約的であることが許される点（あるいは、その連結成分がトーラスであること）を除いて、同様の条件を満たす曲線である。あるいは、特異でない有理成分が他の成分と少なくとも3点で交わるという条件を、少なくとも2点で交わるという条件に置き換えることもできる。

同様に、有限個のマーク点を持つ曲線は、完備かつ連結で、特異点として通常の2点のみを持ち、かつ有限自己同型群を持つ場合、安定と呼ばれます。例えば、楕円曲線（1つのマーク点を持つ、特異でない種数1の曲線）は安定です。

複素数上で、連結曲線が安定するのは、すべての特異点とマークされた点を削除した後、そのすべてのコンポーネントの普遍被覆が単位円と同型である場合のみです。

意味

任意のスキーム と安定な種数gの曲線を設定すると、幾何学的ファイバーが縮小され、接続された1次元スキームとなるような適切な平坦射として定義され、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi :C\to S}$ ${\displaystyle C_{s}}$

1. ${\displaystyle C_{s}}$通常の二点特異点のみを持つ
2. すべての有理的要素は、他の要素と点以上で交わる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2}$
3. ${\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}$

これらの技術的条件は、(1) 技術的な複雑さを軽減する（ここでもピカール＝レフシェッツ理論を用いることができる）、(2) 曲線を固定化し、後に構築されるモジュライスタックに無限小自己同型が存在しないようにする、(3) すべてのファイバーの数論的種数が同一であることを保証する、という理由から必要である。(1) については、楕円曲面に見られる特異点の種類は完全に分類できることに留意されたい。

例

安定曲線族の典型的な例としては、ワイエルシュトラス曲線族が挙げられる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}$

ここで、すべての点上のファイバーは滑らかであり、退化した点には2点特異点が1つだけ存在する。この例は、有限個の点で退化する滑らかな超楕円曲線の1パラメータ族の場合に一般化できる。 ${\displaystyle \neq 0,1}$

非例

一般に、複数のパラメータを持つ場合、二点特異点よりも悪い曲線を除去するように注意する必要がある。例えば、多項式から構成される 族を考える。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

対角線上には非二点特異点が存在するからである。もう一つの例は、多項式によって与えられる 族である。 ${\displaystyle s=t}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

これらは、尖点を持つ有理曲線に退化する楕円曲線の族です。

プロパティ

安定曲線の最も重要な性質の一つは、それらが局所完全交差であるという事実である。これは、標準的なセール双対性理論を用いることができることを意味する。特に、任意の安定曲線に対しては比較的十分な層 が存在できることが示され、これを用いて曲線を に埋め込むことができる。標準的なヒルベルトスキーム理論を用いると、ある射影空間に埋め込まれた種数 の曲線のモジュライスキームを構築することができる。ヒルベルト多項式は次のように与えられる 。 ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

ヒルベルトスキームには安定曲線の部分軌跡が含まれている。

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

これは関数を表す

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

ここで安定曲線の同型写像である。これを、射影空間の同型写像によって符号化される埋め込みを考慮せずに曲線のモジュライ空間にするためには、 を で mod する必要がある。これにより、モジュライスタックが得られる。 ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

参照

• 代数曲線のモジュライ
• 曲線の安定マップ

参考文献

• Artin, M. ; Winters, G. (1971-11-01). 「縮退繊維と曲線の安定縮約」.トポロジー. 10 (4): 373–383. doi :10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN  0040-9383.
• ドリーニュ、ピエール；マンフォード、デイヴィッド（1969）「与えられた種数の曲線空間の既約性」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、36（36）：75– 109、CiteSeerX  10.1.1.589.288、doi：10.1007/BF02684599、MR  0262240、S2CID  16482150
• Gieseker, D. (1982)、曲線のモジュライに関する講義(PDF)、タタ基礎研究所数学・物理学講義、第69巻、タタ基礎研究所（ボンベイ）発行、ISBN 978-3-540-11953-1、MR  0691308
• ハリス、ジョー、モリソン、イアン（1998）、曲線のモジュライ、Graduate Texts in Mathematics、第187巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98429-2、MR  1631825

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