安定した地図

数学、特にシンプレクティック幾何学と代数幾何学において、安定写像のモジュライ空間は曲線のモジュライ空間を一般化し、あるより大きな空間における曲線の位置に関する曲線の幾何学の研究を可能にする。これは、安定写像と呼ばれる特殊な関数を介して曲線を に埋め込む方法を検討することによって行われる。「安定」という言葉は、安定曲線の場合と同様に、これらの写像が有限個の自己同型しか持たないことを意味し、これは「 における（特定のタイプの）すべての曲線の空間」、つまりモジュライ空間の構築に重要である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

埋め込まれた曲線上に一定数の点を「マーク」し、それらが周囲空間のどこに位置しているかを考慮することで、グロモフ・ウィッテン不変量を計算することができます。これは、列挙幾何学やIIA型弦理論に応用されています。安定写像のアイデアは、 1992年頃にマキシム・コンツェビッチによって提案され、コンツェビッチ (1995)で発表されました。 ${\displaystyle X}$

代数幾何学とシンプレクティック幾何学という二つの対立する視点があります。本稿ではこの両方を扱うことを目的とする。「曲線」という言葉は（複素）代数曲線とリーマン面の両方を指し、周囲空間は滑らかな射影多様体または閉じたシンプレクティック多様体（シンプレクティック形式と、以下で定義される-tamenessと呼ばれる特定の「適合条件」を満たすほぼ複素構造を備えたもの）としてとることができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

この記事全体を通して、は上記のように固定された周囲空間を表し、負でない整数です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g,n}$

代数的定義

種数 と の節点曲線で、それぞれ異なるマークされた滑らかな点を持つものを考える。この曲線は連結されている必要があるが、節点で互いに結合された複数の既約成分から構成されていてもよい。ある点がマークされた点または節点のいずれかである場合、その点は特殊点と呼ばれる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in C}$ ${\displaystyle C}$

射が安定写像であるとは、そのすべての既約成分がによって縮約されている（つまり、 が定数であるすべての成分が によって縮約されている）場合である。これは、縮約された種数0の成分は3つ以上の特殊点を持ち、縮約された種数1の成分は少なくとも1つの特殊点を持つということと同義である。このような写像は、通常、 と書く。^{[ 1 ]} ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$

2つの安定写像と が同型であるとは、すべての添え字 に対してとなる曲線の同型が存在し、 となる場合を言う。上記の安定性条件は、 の自己同型群が有限であるということに等しい。 ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$ ${\displaystyle ({\tilde {C}},q_{1},\ldots ,q_{n},{\tilde {f}})}$ ${\displaystyle \tau :C\to {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle \tau (p_{i})=q_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \tau =f}$ ${\displaystyle f}$

これを念頭に置いて、安定写像のモジュライ空間を構築することができる。曲線のホモロジー類を とする。対応する（コンパクトな）モジュライ空間は、となる安定写像（の同型類）から構成される。（空である可能性もある）開部分集合もモジュライ空間構造を持つが、コンパクトではない。 ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle (C,p_{1}\ldots ,p_{n},f)}$ ${\displaystyle f_{*}[C]=\beta }$ $${\displaystyle M_{g,n}(X,\beta )=\{(C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)\in {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )\mid C{\text{ is a smooth curve}}\}/{\cong }}$$

安定写像の定義域が必ずしも安定曲線である必要はないという点は重要です。しかし、不安定な成分を（反復的に）縮約することで、安定な曲線を生成することができます。

シンプレクティック幾何学では

シンプレクティック曲線の場合はより複雑で、代数曲線の場合には必要なかったいくつかの設定が必要になります。ここでは、-tameness と（摂動） -正則曲線の概念を導入します。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$

任意の非零の に対して が成り立つとき、上の概複素構造は-tame であるといえます。以下では がこの性質を持つと仮定します。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v\in TX}$ ${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$ ${\displaystyle J}$

を複素構造を持つリーマン面とする。をその各因子への射影写像とする。滑らかな写像は、共役線型写像に対してを満たすとき、摂動-正則曲線と呼ばれる。これはしばしば と略記される。これはコーシー・リーマン方程式の摂動形である。 と設定すると、通常のコーシー・リーマン方程式と -正則曲線の定義が得られる。^{[ 2 ]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle pr_{C},pr_{X}}$ ${\displaystyle C\times X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu ,}$$ ${\displaystyle \nu :pr_{C}^{*}TC\to pr_{X}^{*}TX}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{J}(f)=\nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle J}$

とする。リーマン面から への写像の空間を定義し、面の基本類を に押し進める。これを行う1つの方法は、マークされた点を持つ（滑らかな）安定な種数リーマン面である空間^{[注 1 ]}を考えることである。これは、（非コンパクトな）代数的モジュライ空間 のシンプレクティック類似体と考えることができる。しかし、領域は安定である必要があるため、（そうでなければ安定な曲線は存在しない） でなければならない。 ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )=\{f:(C,p_{1},\ldots ,p_{n})\to X\mid {\bar {\partial }}_{J}(f)=\nu ,f_{*}[C]=\beta \}/{\cong }}$$ ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{g,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle 2g-2+n>0}$

が半正であるとは、写像 の下で球面の基本類の押し進めとして生じ得るすべてのホモロジー類に対して、 が成り立たないことを言う。が半正であるとき、にはグロモフ-ウーレンベック・コンパクト化と呼ばれる自然なコンパクト化がある。^{[ 3 ]}シンプレクティック幾何学の意味での安定写像は、このコンパクト化された空間の要素とみなすことができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}\to X}$ $${\displaystyle \int _{\beta }\omega >0\,{\text{ and }}\,3-{\frac {1}{2}}\dim _{\mathbb {R} }X\leq \int _{\beta }c_{1}(TX)<0.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$

例

• 任意の正の整数 に対して、空間は1 次写像 から構成され、その定義域には印の付いた点はありません。このような写像は定義域の成分を縮約しません（成分は 1 つだけです）。したがって、この空間は安定です。この空間は、内のすべての直線を媒介変数化するグラスマン多様体です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{m},1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{m})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$
• 任意の非負整数 に対して、空間 は次数平面曲線の空間であり、次元 である。このような空間は、例えば「一般点を通る平面曲線は何次数か？」といった数え上げ幾何学における問いに答えるために用いられる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 3d-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 3d-1}$

プロパティ

• 空間は（実）次元の多様体である ${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$ $${\displaystyle 2\int _{\beta }c_{1}(TX)+2({\frac {1}{2}}\dim _{\mathbb {R} }X-3)(1-g)+2n.}$$
• 空間は、Deligne-Mumford スタックの粗いモジュライ空間として考えることができます。この粗いモジュライ空間は、 上の射影スキームです。 ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 一般に、は可約、非可約、不純次元である。しかし、が凸であるとき、つまり種数0の安定写像に対して、空間は振る舞いがよく​​、（複素）次元を持つ。 ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{1}(C,f^{*}TX)=0}$ ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ $${\displaystyle \int _{\beta }c_{1}(TX)+\dim _{\mathbb {C} }X-3+n.}$$
• の次元が明確に定義されていない場合でも、その仮想次元を と定義することができます。これは の実次元と一致し、凸包の場合は の次元と一致します。の仮想基本類は、代数的グロモフ・ウィッテン不変量の定義に重要であり、ホモロジーベクトル空間 に存在します。 ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$ $${\displaystyle \operatorname {vdim} {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )=\int _{\beta }c_{1}(TX)+(\dim _{\mathbb {C} }X-3)(1-g)+n.}$$ ${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {M}}:={\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$ ${\displaystyle H_{\operatorname {vdim} {\overline {M}}}({\overline {M}},\mathbb {Q} )}$
• のとき、安定写像の像は 内の点に等しいので、写像 を介してが成り立ちます。特に、この空間が空でないのは が存在する場合、すなわち の場合のみです。 ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,0)\cong {\overline {M}}_{g,n}\times X}$ ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)\to (C,f(C))}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 2g-2+n>0}$
• を に送る「評価写像」が存在する。これらは、コホモロジー類を から に引き戻すことを可能にするため、グロモフ・ウィッテン不変量の定義にも使用される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{i}:{\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )\to X}$ ${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$ ${\displaystyle f(p_{i})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$

安定化と泡立ち

モジュライ空間がコンパクトであることはすぐには明らかではない。なぜなら、この空間における族の極限をとる際に、いくつかの問題が発生する可能性があるからだ。考えられる問題は以下の通りである。 ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$

• マークされた2つの点は同じ点に収束する

• マークされた点はノードに収束する
• 2つのノードが同じ点に収束し、三重点が形成される
• 不安定な領域成分上では写像は定数となる

これらはすべて2段階のプロセスで対処できます。最初のステップはバブリングと呼ばれ、位置ずれしたマーキングや三重点によって生じる問題を解決します。問題のある点のドメイン曲線に、バブルと呼ばれる球のコピーを貼り付けます。問題にノードが含まれる場合、このバブルは、そのノードによって結合されていた2つのコンポーネントを分離します。問題のある点に存在していたマーキングはすべてバブル上に移動されます。これによりバブルの安定性が確保されるため、元のマップをバブル上で定数として定義することで、この新しい曲線に拡張できます。2番目のステップは、ドメイン曲線の不安定だが収縮したコンポーネントを収縮させることです。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

結果はまだ安定していない可能性がありますが、プロセスを繰り返し適用することで、最終的に、 の族の「極限」としてとることができる新しい安定したマップが得られます。 ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$

注記

1. 技術的な理由により、実際には、安定なマーク付き曲線の空間の多重被覆を扱い、この多重被覆のサブセットを、自明な自己同型のみを持つ曲線に制限する必要があります。

参考文献

• Kontsevich, Maxim (1995). 「トーラス作用による有理曲線の列挙」. Progr. Math . 129 : 335–368 . MR  1363062 .

1. 堀健太郎編 (2003).ミラー対称性. クレイ数学モノグラフ. プロビデンス, RI : ケンブリッジ, MA: アメリカ数学協会; クレイ数学研究所. ISBN 978-0-8218-2955-4。
2. McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2004). J-ホロモルフィック曲線とシンプレクティック位相幾何学. Colloquium Publications (オンライン版). プロビデンス, RI: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-9096-7。
3. Cox, David A.; Katz, Sheldon (2014). 『ミラー対称性と代数幾何学』数学概説とモノグラフ. プロビデンス: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-2127-5。

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