標準ボレル空間

数学において、標準ボレル空間（ひじょうボレルきょうそ、英: standard Borel space ）とは、ポーランド空間に関連付けられたボレル空間のことである。離散ポーランド空間の場合を除いて、標準ボレル空間は、可測空間の同型性を除き、一意である。

正式な定義

測定可能空間 が「標準ボレル」と呼ばれるのは、その空間がボレルσ-代数となるような方法で完全な可分距離空間となるような計量が存在するときである。^{[ 1 ]} 標準ボレル空間には、一般の測定可能空間には当てはまらないいくつかの有用な性質がある。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

プロパティ

• と が標準ボレル写像であるならば、任意の全単射可測写像は同型写像となる（つまり、逆写像も可測である）。これはスースランの定理から導かれる。解析的かつ余解析的である集合は必然的にボレル写像となるからである。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• およびが標準ボレル空間であり、のグラフがボレルである場合に限り、 は測定可能です。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• 標準ボレル空間の可算族の積と直接の和は標準的です。
• 標準ボレル空間上のすべての完全な確率測度は、その空間を標準確率空間に変換します。

クラトフスキーの定理

定理。をポーランド空間、すなわち位相空間とし、上の計量が存在し、その計量によって位相が定義され、それが完備可分な計量空間を形成するとする。このとき、ボレル空間は(1) (2) (3)のいずれかの有限離散空間とボレル同型となる。(この結果はマハラムの定理を彷彿とさせる。) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

したがって、標準ボレル空間は同型性を除いてその濃度によって特徴付けられ、^{[ 2 ]}、任意の無数標準ボレル空間は連続体の濃度を持つことがわかります。

標準ボレル空間上のボレル同型は、位相空間上の同相写像に類似しています。つまり、両方とも全単射であり、合成に関して閉じており、同相写像とその逆写像は両方ともボレル測定可能であるだけでなく、両方 とも連続です。

参照

• 測定可能空間 – 測度論における基本的対象、集合とシグマ代数

参考文献

1. Mackey, GW (1957): 群とその双対におけるボレル構造. Trans. Am. Math. Soc. , 85, 134-165.
2. Srivastava, SM (1991), A Course on Borel Sets , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7

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