標準地図

標準マップの位相空間。パラメータを0から5.19（ y軸、 x軸）まで変化させたときの位相空間。カオス的挙動を示す「点線」の領域が現れていることに注目してください。

K

p_{n}

\theta _{n}

K = 2.0の標準マップの軌道。大きな緑色の領域がマップの主要なカオス領域です。

K =2.0の標準マップの単一軌道。中心を、p = 0.666、全幅/全高 0.02 の拡大図。軌道の極めて均一な分布に注目してください。 $\theta =0.282$

標準写像（チリコフ・テイラー写像またはチリコフ標準写像とも呼ばれる）は、辺を持つ正方形からそれ自身への面積保存カオス写像である。 ^[1]これはキック回転子の切断面のポアンカレ面によって構成され、次のように定義される。 $2\pi$

p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})

\theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}

ここで、およびはを法として取られます。 $p_{n}$ $\theta _{n}$ $2\pi$

標準マップのカオスの特性は、 1969 年にボリス・チリコフによって確立されました。

物理モデル

この図は、キック回転子として知られる単純な機械システムの運動のポアンカレ断面を表わしています。キック回転子は、重力の影響を受けない棒で構成されており、棒の一方の先端にある軸を中心に平面内で摩擦なく回転します。この棒は、もう一方の先端で周期的にキックされます。

標準写像とは、蹴られた回転体の変数にストロボスコープ投影を適用した断面である。^[1]変数とは、それぞれn回目の蹴り後のスティックの角度位置と角運動量を決定する。定数K は、蹴られた回転体への蹴りの強さを表す。 $\theta _{n}$ $p_{n}$

キックド回転子は、粒子力学、加速器物理学、プラズマ物理学、固体物理学の分野で研究されている系を近似します。例えば、円形粒子加速器は、ビーム管内を周回する粒子に周期的なキックを与えることで加速します。したがって、ビームの構造はキックド回転子によって近似できます。しかし、この写像は、ハミルトンカオスを示す保存系の非常に単純なモデルであるため、物理学と数学の根本的な観点から興味深いものです。したがって、この種の系におけるカオスの発達を研究することは有用です。

主な特性

写像は線形であり、周期軌道と準周期軌道のみが可能である。位相空間（θ- p平面）にプロットすると、周期軌道は閉曲線として、準周期軌道は閉曲線のネックレスとして現れ、これらの中心は別のより大きな閉曲線にある。どちらのタイプの軌道が観測されるかは、写像の初期条件に依存する。 $K=0$

マップの非線形性はKとともに増加し、適切な初期条件でカオス的ダイナミクスを観測する可能性が高まります。これは図に示されており、さまざまなの値に対して標準マップに許可されるさまざまな軌道のコレクションが表示されています。示されているすべての軌道は周期的または準周期的ですが、緑色の軌道はカオスであり、位相空間の広い領域で一見ランダムな点の集合として発生します。特に注目すべきはカオス領域での分布の極端な均一性ですが、これは誤解を招く可能性があります。カオス領域内でも、クローズアップで示されているように、反復中に一度も訪れられることのない、徐々に小さくなる島が無数に存在します。 $K>0$

円形地図

標準マップは、単一の同様の反復方程式を持つ円マップに関連しています。

\theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})

と比較して

\theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})

p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}

標準マップでは、類似性を強調するために方程式を並べ替えています。本質的には、円マップは運動量を一定に強制します。

参照

牛木の定理

注記

^ ab オット、エドワード (2002). 『動的システムにおけるカオス』ケンブリッジ大学出版局ニューヨーク. ISBN 0-521-01084-5。

参考文献

チリコフ、BV「非線形共鳴と確率理論に関する研究」プレプリントN 267、ノボシビルスク原子核物理研究所（1969年）（ロシア語）[英訳、CERN Trans. 71 - 40、ジュネーブ、1971年10月（1971年）、ATSandersによる翻訳]。リンク
Chirikov, BV多次元振動子システムの普遍的不安定性. Phys. Rep. v.52. p.263 (1979) Elsevier, Amsterdam.
リヒテンベルグ, AJ & リーバーマン, MA (1992).正規ダイナミクスとカオスダイナミクス. シュプリンガー, ベルリン. ISBN 978-0-387-97745-4。シュプリンガーリンク
オット、エドワード（2002年）『動的システムにおけるカオス』ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク、ISBN 0-521-01084-5。
スプロット、ジュリアン・クリントン（2003年）『カオスと時系列分析』オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-850840-9。

外部リンク

MathWorldの標準マップ
Scholarpedia のチリコフ標準地図
ボリス・チリコフに捧げられたウェブサイト
標準マップの軌道を視覚化するインタラクティブな Java アプレット (Achim Luhn 作)
標準地図用 Mac アプリケーション (James Meiss 著)
インタラクティブな Javascript アプレット標準マップ（experiences.math.cnrs.fr）

[Ott-1] オット、エドワード (2002). 『動的システムにおけるカオス』ケンブリッジ大学出版局ニューヨーク. ISBN 0-521-01084-5。