標準正規表

統計学において、標準正規表（ひょうじんまほんひょう）は単位正規表またはZ表とも呼ばれ、^[1]正規分布の累積分布関数 $Φ$ の値を表す数学的な表である。これは、統計量が標準正規分布、ひいては任意の正規分布の値の下、上、または間に観測される確率を求めるために使用される。正規分布の種類は無限にあるため、すべての正規分布に対して確率表を作成することはできない。そのため、確率を求めるために正規分布を標準正規分布（Zスコアと呼ばれる）に変換し、標準正規表を使用するのが一般的である。^[2]

正規分布と標準正規分布

正規分布は対称的なベル型の分布であり、現実世界のデータを記述する際に有用です。Z $で$ 表される標準正規分布は、平均が0で標準偏差が1の正規分布です。

変換

$Xが平均$ $μ$ と標準偏差 $σ$ の正規分布に従うランダム変数である場合、そのZスコアは $Xから$ $μ$ を引いて標準偏差で割ることで計算できます。

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

平均が $μ$ で標準偏差が $σである母集団から抽出した$ $n$ 個の標本の平均をとすると、標準誤差は⁠ ⁠ ${\overline {X}}$ ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

$平均がμ$ 、標準偏差が $σ$ である母集団から抽出した $n$ 個の標本の合計がである場合、期待合計は $nμ$ 、標準誤差は⁠ ⁠ ${\textstyle \sum X}$ $\sigma {\sqrt {n}}:$

Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}

Z表の読み方

フォーマット/レイアウト

$Z$ テーブルは通常、次のように構成されます。

行のラベルには、 $Z$ の整数部分と小数点第 1 位が含まれます。
列のラベルには、 $Z$ の小数点第 2 位が含まれます。
表内の値は、表の種類に対応する確率です。これらの確率は、開始点（平均からの累積の場合は0、累積の場合は負の無限大、補累積の場合は正の無限大）から $Z$ までの正規曲線の下の面積を計算した値です。

例: 0.69 を見つけるには、行を下にスクロールして0.6 を見つけ、次に列を横切って0.09を見つけます。これにより、平均表からの累積確率は0.25490 、累積表からの確率は0.75490になります。

–0.83のような負の値を見つけるには、負のZ値の累積表^[3]を使用できます。これは、確率0.20327をもたらします。

しかし、正規分布曲線は対称であるため、 $Z$ が正の値をとる確率のみが通常与えられます。ユーザーは、以下の例のように、 $Z$ の絶対値に対して相補演算を行う必要がある場合があります。

テーブルの種類

$Z$ テーブルでは、少なくとも 3 つの異なる規則が使用されます。

平均からの累積: $統計量が0（平均）とZ$ の間になる確率を返します。例： $Prob(0 \leq Z \leq 0.69) = 0.2549$ 。
累積: $統計量がZ$ より小さい確率を返します。これは $Z$ より小さい分布の面積に相当します。例： $Prob(Z \leq 0.69) = 0.7549$ 。
補完累積: $統計量がZ$ より大きい確率を与えます。これは、 $Z$ より上の分布の面積に相当します。; 例： $Prob(Z \geq 0.69)を求めます。これは$ $Z$ より上の領域の部分なので、 $Z$ より大きい割合は1 から $Z を$ 引くことで求められます。つまり、 $Prob(Z \geq 0.69) = 1 - Prob(Z \leq 0.69)$ または $Prob(Z \geq 0.69) = 1 - 0.7549 = 0.2451 となります$ 。

表の例

マイナス無限大からZまでの累積

この表は、統計がマイナス無限大と $Z$ の間になる確率を示します。

f(z)=\Phi (z)

値は、平均が0で標準偏差が1の標準正規分布の累積分布関数を使用して計算され、通常は大文字のギリシャ文字（ファイ）で表され、積分である。 $\Phi$

\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt

$\Phi$ (z)は誤差関数、つまり $erf(z)$ と関係があります。

\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]

$z = 1、2、3$ の場合、 $[- z 、 z]$ 間隔を考慮して2を掛けると、 68–95–99.7ルールの特性である結果 $f (z) = 0.6827、0.9545、0.9974$ が得られることに注意してください。

累積（Z未満）

$この表は、統計がZ$ 未満である確率(つまり、負の無限大と $Z$ の間) を示します。

z	−0.00	−0.01	−0.02	−0.03	−0.04	−0.05	−0.06	−0.07	−0.08	−0.09
-3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003
-3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
-3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
-3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
-3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
-3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024
-3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
-3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
-3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
-3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
-2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139
-2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
-2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
-2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
-2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
-2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639
-2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
-2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
-2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
-2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
−1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330
−1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
−1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
−1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
−1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592

−1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811
−1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
−1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
−1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
−1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786

−0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109
−0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
−0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
−0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
−0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760

−0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997	0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207
−0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
−0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
−0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43644	0.43251	0.42858	0.42465
−0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405	0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
z	−0.00	−0.01	−0.02	−0.03	−0.04	−0.05	−0.06	−0.07	−0.08	−0.09

z	+ 0.00	+ 0.01	+ 0.02	+ 0.03	+ 0.04	+ 0.05	+ 0.06	+ 0.07	+ 0.08	+ 0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56360	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793

0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891

1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189

1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670

2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361

2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983
3.6	0.99984	0.99985	0.99985	0.99986	0.99986	0.99987	0.99987	0.99988	0.99988	0.99989
3.7	0.99989	0.99990	0.99990	0.99990	0.99991	0.99991	0.99992	0.99992	0.99992	0.99992
3.8	0.99993	0.99993	0.99993	0.99994	0.99994	0.99994	0.99994	0.99995	0.99995	0.99995
3.9	0.99995	0.99995	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99997	0.99997

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09

^[4]

補完累積

$この表は、統計がZ$ より大きい確率を示しています。 $f(z)=1-\Phi (z)$

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09
0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405	0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43640	0.43251	0.42858	0.42465
0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997	0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207

0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760
0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109

1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786
1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811

1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592
1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330

2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639

2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139

3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024

3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003

4.0	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00002	0.00002	0.00002	0.00002

^[5]この表は、大きな整数 $Z値に対して、統計量が$ $Z$ より大きい確率を示しています。

z	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0	5.000 00 × 10 ⁻¹	1.586 55 × 10 ⁻¹	2.275 01 × 10 ⁻²	1.349 90 × 10 ⁻³	3.167 12 × 10 ⁻⁵	2.866 52 × 10 ⁻⁷	9.865 88 × 10 ⁻¹⁰	1.279 81 × 10 ⁻¹²	6.220 96 × 10 ⁻¹⁶	1.128 59 × 10 ⁻¹⁹
10	7.619 85 × 10 ⁻²⁴	1.910 66 × 10 ⁻²⁸	1.776 48 × 10 ⁻³³	6.117 16 × 10 ⁻³⁹	7.793 54 × 10 ⁻⁴⁵	3.670 97 × 10 ⁻⁵¹	6.388 75 × 10 ⁻⁵⁸	4.106 00 × 10 ⁻⁶⁵	9.740 95 × 10 ⁻⁷³	8.527 22 × 10 ⁻⁸¹
20	2.753 62 × 10 ⁻⁸⁹	3.279 28 × 10 ⁻⁹⁸	1.439 89 × 10 ⁻¹⁰⁷	2.330 64 × 10 ⁻¹¹⁷	1.390 39 × 10 ⁻¹²⁷	3.056 70 × 10 ⁻¹³⁸	2.476 06 × 10 ⁻¹⁴⁹	7.389 48 × 10 ⁻¹⁶¹	8.123 87 × 10 ⁻¹⁷³	3.289 79 × 10 ⁻¹⁸⁵
30	4.906 71 × 10 ⁻¹⁹⁸	2.695 25 × 10 ⁻²¹¹	5.452 08 × 10 ⁻²²⁵	4.061 19 × 10 ⁻²³⁹	1.113 90 × 10 ⁻²⁵³	1.124 91 × 10 ⁻²⁶⁸	4.182 62 × 10 ⁻²⁸⁴	5.725 57 × 10 ⁻³⁰⁰	2.885 43 × 10 ⁻³¹⁶	5.353 12 × 10 ⁻³³³
40	3.655 89 × 10 ⁻³⁵⁰	9.190 86 × 10 ⁻³⁶⁸	8.505 15 × 10 ⁻³⁸⁶	2.897 07 × 10 ⁻⁴⁰⁴	3.632 24 × 10 ⁻⁴²³	1.676 18 × 10 ⁻⁴⁴²	2.846 99 × 10 ⁻⁴⁶²	1.779 76 × 10 ⁻⁴⁸²	4.094 84 × 10 ⁻⁵⁰³	3.467 43 × 10 ⁻⁵²⁴
50	1.080 60 × 10 ⁻⁵⁴⁵	1.239 37 × 10 ⁻⁵⁶⁷	5.231 27 × 10 ⁻⁵⁹⁰	8.126 06 × 10 ⁻⁶¹³	4.645 29 × 10 ⁻⁶³⁶	9.772 37 × 10 ⁻⁶⁶⁰	7.565 47 × 10 ⁻⁶⁸⁴	2.155 34 × 10 ⁻⁷⁰⁸	2.259 62 × 10 ⁻⁷³³	8.717 41 × 10 ⁻⁷⁵⁹
60	1.237 57 × 10 ⁻⁷⁸⁴	6.465 17 × 10 ⁻⁸¹¹	1.242 83 × 10 ⁻⁸³⁷	8.791 46 × 10 ⁻⁸⁶⁵	2.288 36 × 10 ⁻⁸⁹²	2.191 80 × 10 ⁻⁹²⁰	7.724 76 × 10 ⁻⁹⁴⁹	1.001 78 × 10 ⁻⁹⁷⁷	4.780 41 × 10 ⁻¹⁰⁰⁷	8.393 74 × 10 ⁻¹⁰³⁷
70	5.423 04 × 10 ⁻¹⁰⁶⁷	1.289 21 × 10 ⁻¹⁰⁹⁷	1.127 71 × 10 ⁻¹¹²⁸	3.629 60 × 10 ⁻¹¹⁶⁰	4.298 41 × 10 ⁻¹¹⁹²	1.873 02 × 10 ⁻¹²²⁴	3.003 02 × 10 ⁻¹²⁵⁷	1.771 55 × 10 ⁻¹²⁹⁰	3.845 30 × 10 ⁻¹³²⁴	3.071 02 × 10 ⁻¹³⁵⁸

使用例

教授の試験の点数は、平均 80、標準偏差 5 でほぼ正規分布しています。平均値からの累積表のみ使用できます。

学生が 82 点以下を取る確率はどれくらいでしょうか? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq 0.40)\\[2pt]&=0.15542+0.5\\[2pt]&=0.65542\end{aligned}}$
生徒が 90 点以上を取る確率はどれくらいでしょうか? ${\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P(Z\geq 2.00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2.00)\\[2pt]&=1-(0.47725+0.5)\\[2pt]&=0.02275\end{aligned}}$
生徒が74点以下を取る確率はどれくらいでしょうか？この表にはマイナスの値は含まれていないため、このプロセスには以下の追加ステップが含まれます。 ${\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq -1.20)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\qquad \qquad \quad ={}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0.11507\end{aligned}}$
学生が 74 から 82 のスコアを取る確率はどれくらいでしょうか? ${\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0.65542-0.11507\\[2pt]&=0.54035\end{aligned}}$
3 つのスコアの平均が 82 以下になる確率はどれくらいでしょうか? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\&=P(Z\leq 0.69)\\[2pt]&=0.2549+0.5\\[2pt]&=0.7549\end{aligned}}$

参照

参考文献

^ 「Z表。Z表の歴史。Zスコア」。 2018年12月21日閲覧。
^ ロン、ラーソン;ファーバー、エリザベス (2004)。初歩的な統計: 世界を描く。清华大学出版社。 p. 214.ISBN 7-302-09723-2。
^ 「Zテーブルの使い方」ztable.io . 2023年1月9日閲覧。
^ 0.5 +平均表の累積値の各値
^ 0.5 −平均からの累積値（0からZ）表の各値

[1] 「Z表。Z表の歴史。Zスコア」。 2018年12月21日閲覧。

[2] ロン、ラーソン;ファーバー、エリザベス (2004)。初歩的な統計: 世界を描く。清华大学出版社。 p. 214.ISBN 7-302-09723-2。

[3] 「Zテーブルの使い方」ztable.io . 2023年1月9日閲覧。

[4] 0.5 +平均表の累積値の各値

[5] 0.5 −平均からの累積値（0からZ）表の各値