星の数

星の数
	最初の 4 つの星の番号 (色別)。
総学期数	無限
式
最初の学期	1、13、37、73、121、181
OEIS指数	A003154; 星;

数学において、スターナンバーとは、中心を持つ図形数、つまりダビデの星のような中心を持つ六芒星（六芒星）、あるいは中国のチェッカー盤を指します。スターナンバーは12角形の中心を持つ多角形数であるため、中心を持つ十二角数とも呼ばれます。

1		13		37

n番目の星の番号は、S n = 6 n ( n − 1 ) ₊ 1という式で与えられます。最初の45個の星の番号は、1、13、37、73、121、181、253、337、433、541、661、793、937、1093、1261、1441、1633、1837、2053、2281、2521、2773、3037、3313、3601、3901、4213、4537、4873、5221、5581、5953、6337、6733、7141、7561、7993です。 8437、8893、9361、9841、10333、10837、11353、および11881。（OEISのシーケンスA003154）

スター番号のデジタルルートは常に 1 または 4 で、1、4、1 の順に進みます。10 進数のスター番号の最後の 2 桁は常に 01、13、21、33、37、41、53、61、73、81、または 93 です。

星番号の中で 35113 はユニークです。その素因数 (つまり、13、37、73) も連続した星番号だからです。

他の種類の数字との関係

幾何学的には、n番目のスター数は中心点と( n -1)番目の三角数の12個のコピーで構成されます。これは、 n番目の中心十二角数と数値的に等しくなりますが、配置が異なります。したがって、n番目のスター数の式はS_n=1+12T_n-1と表すことができます。ここで、T_n=n(n+1)/2です。

無限に多い星の数も三角数であり、最初の 4 つはS ₁ = 1 = T ₁、S ₇ = 253 = T ₂₂、S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃、およびS ₁₂₆₁ = 9533161 = T _{4366 (}OEISのシーケンスA156712 ) です。

無限に多い星の数も平方数であり、最初の 4 つは正方形の星 ( OEISのシーケンスA006061 ) の場合、S ₁ = 1 ²、S ₅ = 121 = 11 ²、S ₄₅ = 11881 = 109 ²、およびS ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ^{2 (}OEISのシーケンスA054318 ) です。

スタープライムとは、素数である星の番号です。最初のいくつかのスタープライム（OEISの配列A083577）は、13、37、73、181、337、433、541、661、937です。

スーパースター素数とは、素数指数がスター数でもあるスター素数です。最初の2つの数は661と1750255921です。

逆スーパースタープライムとは、インデックスがスタープライムであるスター番号です。最初の数としては、937、7993、31537、195481、679393、1122337、1752841、2617561、5262193などが挙げられます。

「スター数」または「星型数」という用語は、八角形数を指すときに時々使用されます。^[1]

その他の特性

星の数を分母とする単位分数の調和級数は次のようになります。 ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}+{\frac {1}{337}}+\cdots \\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\tan({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}$

星の数を分母とする単位分数の交互級数は次のとおりです。 ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&(-1)^{n-1}{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}-{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}-{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}-{\frac {1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}$

参照

中心六角数

参考文献

^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA000567」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

[1] Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA000567」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.