スター製品

数学において、スター積は、次数付きポセットを一意の最小元と最大元と組み合わせ、ポセットがオイラーであるという性質を維持する方法です。

意味

2つの次数付き半順序集合 とのスター積（ただしは唯一の最大元を持ち、は唯一の最小元 を持つ）は、集合 上の半順序集合である。半順序は、以下の場合のみによって定義される。 ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\widehat {1}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\widehat {0}}}$ ${\displaystyle P*Q}$ ${\displaystyle (P\setminus \{{\widehat {1}}\})\cup (Q\setminus \{{\widehat {0}}\})}$ ${\displaystyle \leq _{P*Q}}$ ${\displaystyle x\leq y}$

1. 、および; ${\displaystyle \{x,y\}\subset P}$ ${\displaystyle x\leq _{P}y}$

2. 、および; または ${\displaystyle \{x,y\}\subset Q}$ ${\displaystyle x\leq _{Q}y}$

3.そして。 ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in Q}$

言い換えると、 の上端と の底部を抜き取り、 内のすべての要素が内のすべての要素よりも小さくなるように要求します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

例

たとえば、と が2 つの要素上のブール代数であるとします。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

次にハッセ図を含む poset を示します。 ${\displaystyle P*Q}$

プロパティ

オイラー半集合のスター積はオイラーです。

参照

• 積順序、半順序集合の別の組み合わせ方法

参考文献

• Stanley, R., 旗ベクトルと指数、Math. Z. 216 (1994), 483-499。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {cd} }$

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