州監視員

System in control theory

制御理論において、状態オブザーバ、状態推定器、あるいはルーエンバーガーオブザーバとは、与えられた実システムの入出力の測定値から、その内部状態を推定するシステムである。これは通常コンピュータによって実装され、多くの実用的応用の基礎となっている。

システムの状態を知ることは、多くの制御理論の問題を解決するために必要です。例えば、状態フィードバックを用いてシステムを安定化させる場合などです。実際のケースでは、システムの物理的状態を直接観察することはできません。その代わりに、システム出力を通して内部状態の間接的な影響を観察します。簡単な例として、トンネル内の車両が挙げられます。車両がトンネルに出入りする速度や割合は直接観察できますが、トンネル内の正確な状態は推定することしかできません。システムが観測可能であれば、状態オブザーバーを用いて出力測定からシステムの状態を完全に再構築することが可能です。

典型的な観察者モデル

ルーエンベルガーオブザーバーのブロック図。オブザーバーゲインLの入力は です。 ${\displaystyle y\mathbf {-} {\hat {y}}}$

線形オブザーバ、遅延オブザーバ、スライディングモードオブザーバ、高ゲインオブザーバ、タウオブザーバ、均質性ベースオブザーバ、拡張オブザーバ、キュービックオブザーバなど、線形および非線形システムの状態推定に用いられるオブザーバ構造は数多く存在します。線形オブザーバ構造については、以下のセクションで説明します。

離散時間の場合

線形、時間不変の離散時間システムの状態は、

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

ここで、時刻 において、はプラントの状態、はプラントの入力、はプラントの出力です。これらの式は、プラントの現在の出力と将来の状態は、どちらも現在の状態と現在の入力によってのみ決定されることを単純に示しています。（これらの式は離散的な時間ステップで表現されていますが、連続システムでも非常によく似た式が成り立ちます。）このシステムが観測可能であれば、プラントの出力 を用いて状態観測器の状態を制御できます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x(k)}$ ${\displaystyle u(k)}$ ${\displaystyle y(k)}$ ${\displaystyle y(k)}$

物理システムのオブザーバモデルは、通常、上記の式から導出されます。プラントの入力と出力の測定値を連続的に受信する際に、モデルの状態がプラントの状態と収束することを保証するため、追加の項が含められる場合があります。具体的には、オブザーバの出力をプラントの出力から減算し、行列を乗算します。この行列をオブザーバの状態の式に加算することで、以下の式で定義される、いわゆるルーエンベルガーオブザーバが生成されます。状態オブザーバの変数は、物理システムが満たす式の変数と区別するために、一般的に「ハット」とで表されます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(k)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

のとき観測誤差がゼロに収束する場合、観測器は漸近安定であるといわれる。ルーエンベルガー観測器の場合、観測誤差は を満たす。したがって、この離散時間システムのルーエンベルガー観測器は、行列のすべての固有値が単位円の内側にあるとき、漸近安定である。 ${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle e(k+1)=(A-LC)e(k)}$ ${\displaystyle A-LC}$

制御の目的で、オブザーバー システムの出力はゲイン マトリックスを介してオブザーバーとプラントの両方の入力にフィードバックされます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

観測者の方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

あるいはもっと簡単に言えば、

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

分離原理により、システム全体の安定性を損なうことなく、と を独立に選択できることが分かっています。経験則として、観測者の極は通常、システムの極よりも10倍速く収束するように選択されます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A-LC}$ ${\displaystyle A-BK}$

連続時間の場合

前の例は、離散時間LTIシステムに実装されたオブザーバの例でした。しかし、連続時間の場合もプロセスは同様です。オブザーバゲインは、連続時間誤差ダイナミクスが漸近的にゼロに収束するように（つまり、がフルヴィッツ行列のとき）選択されます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A-LC}$

連続時間線形システムの場合

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

ここで、観測者は上記の離散時間の場合に似ています。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$。

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

観測者誤差は次の式を満たす。 ${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

行列の固有値は、ペアが観測可能である場合、すなわち観測可能性条件が成立する場合、観測器ゲインを適切に選択することで任意に選択できます。特に、これはフルヴィッツ行列にすることができるため、のときの観測器誤差は となります。 ${\displaystyle A-LC}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [A,C]}$ ${\displaystyle e(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

ピーキングとその他の観察方法

観測器ゲインが高い場合、線形ルーエンバーガー観測器はシステム状態に非常に速く収束します。しかし、観測器ゲインが高いとピーキング現象が発生し、初期推定誤差が法外に大きくなる可能性があります（つまり、実用的ではない、または安全に使用できない）。^[1]結果として、ピーキング現象を起こさずに速く収束する非線形高ゲイン観測器法が利用可能です。例えば、スライディングモード制御を用いると、測定誤差が存在する場合でも、有限時間内に1つの推定状態の誤差をゼロにする観測器を設計できます。他の状態の誤差は、ピーキングが収束した後、ルーエンバーガー観測器の誤差と同様に振舞います。スライディングモード観測器は、カルマンフィルタに類似した魅力的なノイズ耐性特性も備えています。 ^{[2] [3]}別のアプローチとして、マルチ観測器を適用することが挙げられます。これにより、過渡特性が大幅に改善され、観測器のオーバーシュートが減少します。マルチ観測器は、高ゲイン観測器を適用できるあらゆるシステムに適応できます。^[4] ${\displaystyle L}$

非線形システムの状態観測器

非線形システムでは、高ゲイン、スライディングモード、拡張オブザーバが最も一般的なオブザーバです。スライディングモードオブザーバの非線形システムへの適用を説明するために、まず入力のない非線形システムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

ここで、 である。また、測定可能な出力が次のように与えられる と仮定する。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=h(x).}$

オブザーバーの設計には、近似的でないアプローチがいくつかあります。以下に示す2つのオブザーバーは、システムに入力がある場合にも適用されます。つまり、

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+B(x)u}$

${\displaystyle y=h(x).}$

線形化可能な誤差ダイナミクス

クレナーとイシドリ^[5]とクレナーとレスポンデック^{[6]による一つの提案は、線形化変換（つまり、}フィードバック線形化で使用されるような微分同相写像）が存在する状況に適用でき、新しい変数ではシステム方程式は次のように読み取られる。 ${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

ルーエンベルガー観測器は次のように設計される。

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$。

変換された変数の観測誤差は、古典的な線形の場合と同じ方程式を満たします。 ${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

ゴーティエ、ハンモウリ、オスマン^[7]とハンモウリとキナート^[8]が示したように、もしシステムが次の形式に変換できるような変換が存在するならば、 ${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

観察者は次のように設計される

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$、

ここで、は時間によって変化する観測者ゲインです。 ${\displaystyle L(t)}$

Ciccarella、Dalla Mora、Germani ^[9]は、非線形変換の必要性を排除し、正則性に関する単純な仮定のみを使用して推定状態から真の状態への大域的漸近収束を証明し、より高度で一般的な結果を得ました。

観察者の切り替え

上述の線形の場合で述べたように、ルーンベルガー観測器に見られるピーキング現象は、スイッチド観測器の使用を正当化する。スイッチド観測器は、測定出力の微小な変化を検出すると動作するリレーまたはバイナリスイッチを含む。一般的なスイッチド観測器の種類としては、スライディングモード観測器、非線形拡張状態観測器、^[10]固定時間観測器、^[11]スイッチド高ゲイン観測器^{[12]およびユニティング観測器[13]}などがある。スライディングモード観測器は、非線形高ゲインフィードバックを用いて推定状態を、推定出力と測定出力の差がなくなる超曲面へと導く。観測器で使用される非線形ゲインは、通常、推定出力と測定出力の誤差の符号（すなわち、sgn）のような、スケーリングされたスイッチング関数を用いて実装される。したがって、この高ゲインフィードバックにより、観測器のベクトル場には折り目がつき、観測器の軌跡は推定出力と測定出力が正確に一致する曲線に沿って移動する。したがって、システムがその出力から観測可能であれば、オブザーバの状態はすべて実際のシステム状態に駆動されます。さらに、誤差の符号を用いてスライディングモードオブザーバを駆動することで、オブザーバの軌跡は多くの種類のノイズの影響を受けなくなります。したがって、一部のスライディングモードオブザーバは、カルマンフィルタに似た魅力的な特性を持ちながら、よりシンプルな実装を実現しています。^{[2] [3]}

Drakunov ^{[14]が示唆するように、}スライディングモードオブザーバは非線形システムのクラスに対しても設計可能である。このようなオブザーバは、元の変数推定値を用いて次の ように表すことができる。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

どこ：

• ベクトルはスカラー符号関数を次元に拡張する。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$ ${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  ベクトル の場合。 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$

• ベクトルは出力関数とその繰り返しリー微分を要素として持ちます。具体的には、 ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  ここで、はベクトル場（すなわち、非線形システムの軌跡）に沿った出力関数のi^番目のリー微分です。システムが入力を持たない、または相対次数がnである特殊なケースでは、は出力とその微分関数の集合です。この観測者が適切に定義されるためには、ヤコビ線形化の逆関数が存在する必要があるため、この変換は局所微分同相写像であることが保証されます。 ${\displaystyle L_{f}^{i}h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H(x(t))}$ ${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(x)}$

• 利得の対角行列 は次のようになる。 ${\displaystyle M({\hat {x}})}$

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  ここで、各 に対して、要素と はスライディング モードの到達可能性を保証するのに適切な大きさです。 ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$

• 観測者ベクトルは ${\displaystyle V(t)}$

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  ここで、はスカラーに対して定義された通常の符号関数であり、スライディングモードの不連続関数の「同値演算子」を表します。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$ ${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$

この考え方は簡単に説明すると次のようになります。スライディングモード理論によれば、システムの挙動を記述するためには、スライディングモードが開始したら、関数を等価な値に置き換える必要があります（スライディングモード理論の等価制御を参照）。実際には、低速成分が等価値に等しくなるように、高周波でスイッチング（チャタリング）します。適切なローパスフィルターを適用して高周波成分を除去することで、等価制御の値を取得できます。この値には、推定システムの状態に関するより多くの情報が含まれています。上記のオブザーバーは、この方法を複数回使用することで、有限時間内で非線形システムの状態を理想的に取得します。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$

修正された観測誤差は変換された状態で表すことができる。特に、 ${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

など

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

それで：

1. である限り、誤差ダイナミクスの最初の行は、有限時間内にスライディング モードに入るための十分な条件を満たします。 ${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$ ${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$ ${\displaystyle e_{1}=0}$
2. 表面に沿って、対応する等価制御は に等しくなり、 となる。したがって、 である限り、誤差ダイナミクスの2行目である は有限時間内にスライディングモードに入る。 ${\displaystyle e_{1}=0}$ ${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle h_{2}(x)}$ ${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$ ${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$ ${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$ ${\displaystyle e_{2}=0}$
3. 表面に沿って、対応する等価制御は に等しくなります。したがって、 である限り、誤差ダイナミクスの^番目の行 は有限時間内にスライディングモードに入ります。 ${\displaystyle e_{i}=0}$ ${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle h_{i+1}(x)}$ ${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$ ${\displaystyle e_{i+1}=0}$

したがって、十分に大きなゲインがあれば、すべてのオブザーバー推定状態は有限時間で実際の状態に到達します。実際、ゲインを増加させることで、各関数が確実に有界である限り、任意の有限時間で収束することが可能になります。したがって、写像が微分同相写像であるという要件（すなわち、そのヤコビアン線形化が可逆であるという要件）は、推定出力の収束は推定状態の収束を意味することを示唆しています。つまり、この要件は観測可能性条件です。 ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

入力を持つシステムに対するスライディングモードオブザーバの場合、観測誤差が入力に依存しないためには追加の条件が必要となる。例えば、

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

時間に依存しない。観察者は

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$

マルチオブザーバー

マルチオブザーバーは、高ゲインオブザーバー構造を単一オブザーバーから複数オブザーバーへと拡張し、複数のモデルが同時に動作する。これは2層構造であり、第1層は異なる推定状態を持つ複数の高ゲインオブザーバーで構成され、第2層は第1層オブザーバーの重要度重みを決定する。このアルゴリズムは実装が簡単で、微分化のようなリスクの高い演算は含まれていない。^{[4]マルチモデルの概念は、以前から}適応制御における情報取得に応用されていた。^[15]

• 
  マルチオブザーバースキーマ

高ゲイン観測者の数が であると仮定すると、 ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}_{k}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}$

${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)}$

ここではオブザーバのインデックスです。第1層のオブザーバは同じゲインを持ちますが、初期状態は異なります。第2層では、すべてのオブザーバが1つにまとめられ、単一の状態ベクトル推定値が得られます。 ${\displaystyle k=1,\dots ,n+1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{k}(0)}$ ${\displaystyle x_{k}(t)}$ ${\displaystyle k=1...n+1}$

${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)}$

ここで、重み係数です。これらの係数は、第2層での推定値を提供し、観測プロセスを改善するために変更されます。 ${\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }$

仮に

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0}$

そして

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1}$

ここでは観測者の誤差に依存するベクトルです。 ${\displaystyle \xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}$ ${\displaystyle kth}$ ${\displaystyle e_{k}(t)}$

いくつかの変換は線形回帰問題をもたらす

${\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}$

この式は を推定する可能性がある。多様体を構築するには、と の間の写像が測定可能な信号に基づいて計算可能であることの保証が必要である。まず、観測者誤差によるパーキング現象を排除する必要がある。 ${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$ ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))}$ ${\displaystyle \xi _{k}(t)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$

${\displaystyle e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)}$。

の微分を計算して、mのマッピングを見つけ、次のように定義されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)}$ ${\displaystyle \xi _{k}(t)}$

${\displaystyle \xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}}$

ここで、 は何らかの時定数である。リレーは両方とその積分に関係するため、制御システムで容易に利用できることに注意されたい。さらに、は推定法則によって規定され、したがって多様体が測定可能であることが証明される。第2層では、は係数の推定値として導入される。写像誤差は次のように規定される。 ${\displaystyle t_{d}>0}$ ${\displaystyle \xi _{k}(t)}$ ${\displaystyle \eta _{k}(t)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}(t)}$ ${\displaystyle k=1\dots n+1}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$

${\displaystyle e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)}$

ここで。係数が に等しい場合、マッピング誤差 は上記の式から計算が可能になり、多様体の性質によりピーキング現象が軽減されます。作成されたマッピングにより、推定プロセスに多くの柔軟性がもたらされます。第2層の の値を推定し、状態 を計算することも可能になります。^[4] ${\displaystyle e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}(t)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$ ${\displaystyle e_{\xi }(t)=0}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$

境界観察者

境界観測器^[16]または区間観測器^{[17] [18]}は、状態の2つの推定値を同時に提供する観測器の一種である。推定値の1つは状態の実数値の上限値を提供し、もう1つは下限値を提供する。したがって、状態の実数値は常にこれら2つの推定値の範囲内にあることが分かる。

これらの境界は実際の応用において非常に重要であり、^{[19] [20]}推定の精度をその都度知ることを可能にする。

数学的には、が適切に選択されていれば、例えば正のシステム特性^[21]を用いて2つのルーエンベルガー観測器を使用することができる：1つは上限（ノイズや不確実性がない場合に が上からゼロに収束することを保証する）用、もう1つは下限（ が下からゼロに収束することを保証する）用である。つまり、常に ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)}$ ${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{L}(k)}$ ${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)}$

参照

• 移動地平線の推定
• カルマンフィルタ
• 拡張カルマンフィルタ
• ポジティブなシステム

参考文献

インライン参照

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一般的な参考文献

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外部リンク

• カルマンフィルタを簡単に説明、方程式を使ったカルマンフィルタのステップバイステップのチュートリアル

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