定常位相近似

急速に変化する複素指数関数を積分するときに使用される漸近解析

数学において、定常位相近似は漸近解析の基本原理であり、急速に変化する複素指数に対する積分によって与えられる関数に適用されます。

この方法は19世紀にジョージ・ガブリエル・ストークスとケルビン卿によって考案されました。^{[1]この方法は}ラプラス法や最急降下法と密接に関連していますが、ラプラスの貢献が他の方法よりも先行しています。

基本

定常位相法の基本的な考え方は、位相が急速に変化する正弦波の打ち消し合いに基づいています。多数の正弦波が同じ位相を持ち、それらを加算すると、それらは互いに強め合います。しかし、これらの正弦波の位相が周波数の変化に応じて急速に変化すると、それらは互いに干渉せずに加算され、異なるタイミングで強め合いと弱め合いの加算が交互に起こります^{（説明が必要）}。

式

関数の臨界点（すなわち、 となる点）の集合をとすると、 がコンパクトにサポートされているか指数関数的に減少しており、すべての臨界点は非退化（すなわち、に対して）であるという仮定の下で、次の漸近式が得られます。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}\in \Sigma }$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})}$

ここで はのヘッセ行列を表し、 はヘッセ行列の符号、つまり正の固有値の数から負の固有値の数を引いたものを表します。 ${\displaystyle \mathrm {Hess} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}$

の場合、これは次のように簡約されます。 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}$

この場合、仮定は、すべての臨界点が非退化であるということに還元されます。 ${\displaystyle f}$

これは、最急降下法の公式をウィック回転したバージョンです。

例

関数を考えてみましょう

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }$。

この関数の位相項は、次の場合に定常となる。 ${\displaystyle \phi =k(\omega )x-\omega t}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0}$

あるいは同等に、

${\displaystyle {\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}}$。

この方程式の解は、いくつかのおよび の優位振動数を与える。を についてテイラー級数展開し、 より高い次数の項を無視すると、 ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})^{2}}$

${\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }$

ここで はの2階微分を表す。が比較的大きい場合、たとえ小さな差であっても積分中に急激な振動が生じ、相殺につながる。したがって、テイラー展開の限界を超えて積分の極限を拡張することができる。次の式を用いると、 ${\displaystyle k''}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}$。

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }$。

これは統合すると

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$。

削減手順

関係する原理に関する最初の主要な一般論は、I ( k )の漸近的挙動はfの臨界点のみに依存するというものである。gの選択によって積分がfに臨界点を持たない空間領域に局所化される場合、結果として得られる積分は振動周波数を無限大に取るにつれて 0 に近づく。例えば、リーマン・ルベーグの補題を参照のこと。

2つ目の主張は、fがモース関数で、 fの特異点が非退化かつ孤立しているとき、問題はn = 1の場合に帰着できるというものである。実際、gの選択によって、積分を、それぞれに1つの臨界点Pのみを持つ場合に分割することができる。その場合、Pにおけるヘッセ行列式は仮定により0ではないため、モースの補題が適用される。座標変換により、fは次のように置き換えられる 。

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}$。

jの値は、 Pにおけるfのヘッセ行列の符号によって与えられる。 gに関しては、 gがx _iのバンプ関数の積であることが本質的である。ここで、一般性を失うことなくP を原点と仮定し、区間[−1, 1]で値 1 を持ち、その外側では急速に 0 に近づく滑らかなバンプ関数hをとる。

${\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i})}$、

すると、フビニの定理はI ( k )を実数直線上の積分に簡約し、

${\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

ここで、f ( x ) = ± x ²。マイナス符号の場合はプラス符号の場合の複素共役なので、必要な漸近推定値は実質的に1つです。

このようにして、モース関数の振動積分の漸近挙動を求めることができる。縮退した関数の場合は更なる技術が必要となる（例えばエアリー関数を参照）。

1次元の場合

重要な声明は次の通りです。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}$。

実際、等高線積分によって、方程式の右辺の主項は左辺の積分を範囲 にわたって拡張した値であることが示されます（証明についてはフレネル積分 を参照）。したがって、問題は、例えば における積分を推定することです。^[2] ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$

これは、 の2次導関数を持つ単一の非退化臨界点を持つ、 のすべての1次元積分のモデルです。実際、このモデルケースでは、0で2次導関数 2 を持ちます。 を用いてスケーリングするには、を定数で置き換えることは でスケーリングすることと同じであることに注目してください。したがって、 の一般的な値に対して、係数は次のようになります 。 ${\displaystyle I(k)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ck}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ ${\displaystyle f''(0)>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi /k}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}}$。

1つは、前述のように複素共役式を使用するものです。 ${\displaystyle f''(0)<0}$

低次の項

式から分かるように、定常位相近似は積分の漸近的挙動の一次近似である。低次の項は、良好な挙動を示す に対して、様々な重み係数を持つファインマン図上のの和として理解できる。 ${\displaystyle f}$

参照

• 量子場理論における共通積分
• ラプラス法
• 最急降下法

注記

1. クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1953年）、数理物理学の方法、第1巻（第2改訂版）、ニューヨーク：インターサイエンス出版社、p.474、OCLC  505700
2. たとえば、 Jean Dieudonné の『Infinitesimal Calculus』、p. 4 を参照。 119 またはJean Dieudonné、Calcul Infinitésimal、p.135。

参考文献

• Bleistein, N. および Handelsman, R. (1975)、「積分の漸近展開」、ドーバー、ニューヨーク。
• Victor Guilleminと Shlomo Sternberg (1990)、「幾何学的漸近論」(第 1 章を参照)。
• Hörmander, L. (1976)、Linear Partial Differential Operators、第 1 巻、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-00662-6。
• アキ、ケイイチ。 & Richards、Paul G. (2002)、Quantitative Seismology (第 2 版)、255 ～ 256 ページ。大学科学書、ISBN 0-935702-96-2
• ウォン, R. (2001),積分の漸近近似, 応用数学の古典, 第34巻. 1989年初版の訂正再版. 工業応用数学協会 (SIAM), フィラデルフィア, ペンシルバニア州. xviii+543ページ, ISBN 0-89871-497-4。
• J. デュドネ (1980)、Calcul Infinitésimal、ヘルマン、パリ
• パリス、リチャード・ブルース（2011年）、アダマール展開と超漸近評価：最急降下法の拡張、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-00258-6

外部リンク

• 「固定相法」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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