スティーンコード

Steane符号は、1996年にAndrew Steaneによって導入された量子誤り訂正のツールです。CSS符号（Calderbank-Shor-Steane）の一種で、古典的な2進法[7,4,3]ハミング符号を用いて、量子ビット反転エラー（Xエラー）と位相反転エラー（Zエラー）の両方を訂正します。Steane符号は、1つの論理量子ビットを7つの物理量子ビットに符号化し、任意の単一量子ビットエラーを訂正することができます。

標準形式のチェックマトリックスは

{\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}

ここでHはハミング符号のパリティ検査行列であり、次のように与えられる。

H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.

スティーン符号は、整数パラメータを持つ量子ハミング符号ファミリーの最初のものです。また、量子カラー符号でもあります。 $[[7,1,3]]$ $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ $r\geq 3$

安定子形式における表現

量子誤り訂正符号において、符号空間はヒルベルト空間全体の部分空間であり、すべての論理状態が存在する。-量子ビット安定化符号では、この部分空間をパウリ安定化群、すなわちすべての論理状態を安定化するすべての -量子ビットパウリ演算子の集合によって記述することができる。安定化形式論により、パウリ安定化群を指定することにより、安定化符号の符号空間を定義することができる。この指数関数的に大きな群は、その生成元をリスト化することで効率的に記述することができる。 $n$ $n$

Steane コードは 7 つの物理量子ビットに 1 つの論理量子ビットをエンコードするため、Steane コードのコード空間は- 次元ヒルベルト空間の - 次元部分空間になります。 $2$ $2^{7}$

スタビライザー形式では、Steane コードには 6 つのジェネレーターがあります。

{\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}

上記の各生成子は、7つの単一量子ビットのパウリ演算のテンソル積であることに注意してください。例えば、はの略記であり、最初の3量子ビットについては恒等演算、最後の4量子ビットについてはゲートです。テンソル積は、簡潔にするために表記法では省略されることがよくあります。 $IXXXX$ $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ $X$

論理ゲートとゲートは $X$ $Z$

{\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{aligned}}

Steaneコードの論理状態は $|0\rangle$ $|1\rangle$

{\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +|1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}

任意のコード状態は次の形式になります。 $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$

参考文献

Steane, Andrew (1996). 「多粒子干渉と量子誤り訂正」Proc. R. Soc. Lond. A . 452 (1954): 2551– 2577. arXiv : quant-ph/9601029 . Bibcode :1996RSPSA.452.2551S. doi :10.1098/rspa.1996.0136. S2CID 8246615.