恒星のダイナミクス

恒星力学は、相互の重力を受ける恒星の集団運動を統計的に記述する天体物理学の一分野である。天体力学との本質的な違いは、恒星の数が $N\gg 10.$

典型的な銀河には、数百万個以上の巨視的な重力天体と無数のニュートリノ、そしておそらくはその他の暗黒微視的天体が存在します。また、各恒星は全体の重力場に多かれ少なかれ均等に寄与しますが、天体力学では、質量の大きい天体の引力が衛星軌道を支配します。^[1]

流体力学との関連

恒星の力学はプラズマ物理学の分野とも関連があります。^[2]これら2つの分野は20世紀初頭の同時期に大きな発展を遂げ、どちらも流体力学の分野で開発された数学的形式を借用しています。

降着円盤と恒星表面では、高密度のプラズマまたはガス粒子が頻繁に衝突し、その結果、磁場下で等分配が生じ、おそらく粘性も生じます。降着円盤と恒星大気は、どちらも膨大な数の微小粒子質量で構成されており、様々な大きさのものが見られます。 $(L/V,M/N)$

$\sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})$ 恒星の表面では、
$\sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})$ 太陽のような恒星やキロメートルサイズの恒星ブラックホールの周りでは、
$\sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})$ 銀河の中心には太陽の100万倍ほどの質量（AUサイズ程度）のブラックホールが存在します。

恒星の力学ではシステム横断の時間スケールが長いので、次の点に注意すると便利である。

$1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.$

長い時間スケールのため、降着円盤内のガス粒子とは異なり、銀河円盤内の星は恒星の一生の間に衝突を経験することは極めて稀です。しかし、銀河団内では銀河同士が衝突することがあり、星団内では星同士が接近遭遇することもあります。

経験則として、関係する典型的なスケール（PCBudassiの宇宙の対数地図の上部を参照）は、 $(L/V,M/N)$

$\sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)$ M13星団の場合、
$\sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})$ M31ディスク銀河の場合、
$\sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })$ N = 1000 個の銀河が合体したシステムである弾丸銀河団のニュートリノについて。

ケプラー問題と三体問題との関連

表面的には、恒星のダイナミクスはすべて、ニュートンの第 2 法則によって N 体問題として定式化される可能性があります。この場合、N 個のメンバーからなる孤立した恒星系の内部相互作用の運動方程式 (EOM) は次のように記述できます。ここで、N 体システムでは、どの個別のメンバーも、残りのメンバーの重力ポテンシャルの影響を受けます。 $m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.$ $m_{i}$ $m_{j}$

実際には、最高性能のコンピュータシミュレーションを除き、この方法で大規模なN系の将来を厳密に計算することは現実的ではありません。また、このEOMは直感的な情報もほとんど提供しません。歴史的に、恒星力学で利用される手法は、古典力学と統計力学の両方の分野から派生してきました。本質的に、恒星力学の根本的な問題はN体問題であり、ここでN体問題とは、ある恒星系のメンバーを指します。恒星系には多数の天体が存在するため、恒星力学は、多くの軌道の全体的かつ統計的な特性だけでなく、個々の軌道の位置と速度に関する具体的なデータも扱うことができます。^[1]

重力ポテンシャル場の概念

恒星ダイナミクスでは、多数の恒星の重力ポテンシャルを決定する必要があります。これらの恒星は、軌道が互いの相互作用の組み合わせによって決定される質点としてモデル化できます。通常、これらの質点とは、銀河団や球状星団などのさまざまな銀河団または銀河内の恒星を表します。システム内のすべての質点ポテンシャルを毎秒加算してシステムの重力ポテンシャルを取得するのではなく、恒星ダイナミクスの専門家は、計算コストを抑えながらシステムを正確にモデル化できるポテンシャルモデルを開発しています。^[3]システムの重力ポテンシャルは、加速度および重力場と次のように関連しています。一方、ポテンシャルは、積分形式またはより一般的な微分形式のポアソン方程式を介して、（平滑化された）質量密度に関連しています。 $\Phi$ $\mathbf {g}$ ${\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},$ $\rho$ $\Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}$ $\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .$

ポアソン方程式と一様球における脱出速度の例

解析的に滑らかな球面ポテンシャルを考えてみましょう。ここで、は「端まで逃げる」速度を意味し、は「端から無限遠まで逃げる」速度を意味します。重力は、球面内部では調和振動子の復元力、外部ではヘヴィサイド関数で記述されるケプラーの力のようなものです。 ${\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}$ $V_{e}(r)$ $r_{0}$ ${\sqrt {2}}V_{0}$

球面ポアソン方程式を用いて対応する密度を計算することで正規化を固定することができる。ここで、囲まれた質量は $V_{0}$ $G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),$ $M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.$

したがって、ポテンシャルモデルは、半径、全質量の均一球に対応し、 $r_{0}$ $M_{0}$ ${V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.$

重要な概念

運動方程式とポアソン方程式は、座標系と物理系の対称性に応じて非球面形をとることもありますが、本質は同じです。銀河系や球状星団内の星の運動は、主に他の遠方の星の平均分布によって決まります。まれに起こる星の衝突には、緩和、質量分離、潮汐力、動的摩擦といったプロセスが関与し、系を構成する星の軌道に影響を与えます。^[4]

相対論的近似

上記のニュートン EOM とポアソン方程式には、関連する近似が 3 つあります。

SRとGR

まず、上記の式は相対論的補正を無視しています。相対論的補正は、典型的な恒星の 3 次元速度km/s が光速よりはるかに遅いため、約です。 $(v/c)^{2}\ll 10^{-4}$ $v\sim 3-3000$

エディントン限界

第二に、恒星系では非重力力は典型的には無視できるほど小さい。例えば、典型的な恒星の近傍では、水素原子またはイオンに対する輻射力と重力力の比はであり、したがって輻射力は一般に無視できる。ただし、質量の明るいO型恒星の周囲、あるいはエディントン限界でガスを集積するブラックホールの周囲では、その光度質量比はで定義される。 $Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},$ $30M_{\odot }$ $L_{\bullet }/M_{\bullet }$ $Q^{\text{Eddington}}=1$

ロスコーン

第三に、星はブラックホールからシュワルツシルト半径の数倍以内に近づくと、ブラックホールに飲み込まれる可能性がある。このロス半径は次のように与えられる。 $s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$

ロスコーンは、小さな立体角（速度の円錐）内でブラックホールに向かって落下する粒子を考えることで視覚化できます。これらの粒子は、単位質量あたりの角運動量が小さく、（による）角運動量が小さいため、粒子を強制的に向きを変えさせるほどの十分な障壁をブラックホール近傍に作り出すことができません。 $\theta \ll 1$ $J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$ $s_{\text{Loss}}$

ニュートン力学における有効ポテンシャルは常に正の無限大である。しかし一般相対性理論では、 $\Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),$ ${\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$ $J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$

厳密な一般相対論的扱いをせずに、シュワルツシルトブラックホールの近似古典的ポテンシャルを用いて、有効ポテンシャルが変曲点にある最後の安定円軌道を計算することでこれを検証することができる。 $s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}$ $\Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0$ $\Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].$

潮汐破壊半径

星は、ブラックホールのいわゆるヒル半径内に近づくと、より重いブラックホールによって潮汐力で引き裂かれる可能性がある。この範囲内では、星の表面重力はブラックホールからの潮汐力に屈する。[ ^5]

$(1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},$

破壊半径が0.001pcである典型的なブラックホールの場合（例えば、天の川銀河中心の核星団など）、最も密度の高い恒星系における恒星間隔は0.001pcです。したがって、（主系列）恒星は一般的に内部がコンパクトすぎ、かつ恒星間の距離が遠すぎるため、銀河系や恒星団環境における最も強力なブラックホール潮汐によっても破壊されることはありません。 $M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }$ $\max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,$

影響圏の半径

相対速度Vの質量を持つ粒子は、ブラックホールの（はるかに大きな）断面積に突入すると方向転換します。このいわゆる影響圏は、Qのようなファッジ係数を上限として緩く定義されます。したがって、太陽のような恒星の場合、太陽質量の恒星は表面脱出速度が高いため、ブラックホールとの典型的な遭遇において、潮汐力によって乱されることも、物理的に衝突/飲み込まれることもありません。これは、弾丸銀河団内の銀河間の内部速度に匹敵し、すべての星団内および銀河内の典型的な内部速度よりも速いためです。 $m$ $\pi s_{\bullet }^{2}$ ${\sqrt {\ln \Lambda }}$ $1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},$ $s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },$ $V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s}$ $V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s}$

星の消失円錐と重力ガス集積物理学の関係

まず、質量の重いブラックホールが（再スケールされた）熱音速と密度の散逸ガス中を動いているとします。この場合、質量 m のすべてのガス粒子は、半径の断面積内に入ると、その相対運動量をブラックホールに渡す可能性があります。ブラックホールが流動速度の半分を失う時間スケールでは、その質量はボンダイ降着によって 2 倍になる可能性があります。ボンダイ降着とは、その影響圏に入ってきたガス粒子のほとんどを捕捉し、ガス衝突によって運動エネルギーを散逸させてブラックホールに落下させるプロセスです。ガス捕捉率はで、ポリトロープ指数は速度分散の 2 乗を単位とした音速であり、再スケールされた音速により、等温の場合と比較して、断熱ガスのボンダイ球面降着率に一致させることができます。 $M_{\bullet }$ ${\text{ς'}}$ $\rho _{\text{gas}}$ $mV_{\bullet }$ $s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$ $t_{\text{fric}}$ $s_{\bullet }$ ${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},$ $\gamma$ ${\text{ς'}}$ ${\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ $\gamma =5/3$ ${\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ $\gamma =1$

星の潮汐破壊と（移動する）ブラックホールによる星の捕獲に戻ると、と設定すると、ガスと星からの BH の成長率を次のようにまとめることができます。これは、ブラックホールがその影響圏を通過する星/ガス粒子の一部または大部分を消費するためです。 $\ln \Lambda =1$ ${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}$ ${\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$

重力による動的摩擦

質量の重いブラックホールが、典型的なサイズ内の平均数密度を持つ総質量のクラスター内でランダムに運動する星の背景に対して移動するケースを考えます。 $M_{\bullet }$ $(NM_{\odot })$ $n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)$ $R$

直感的に、重力は軽い物体を加速させ、運動量と運動エネルギーを増加させます（パチンコ効果を参照）。エネルギーと運動量保存則により、重い物体はそれを補うために減速すると考えられます。対象物体は運動量と運動エネルギーを失うため、この効果は動摩擦と呼ばれます。

一定時間の緩和後、重いブラックホールの運動エネルギーは、質量の小さい背景天体と均等に分配されるはずです。ブラックホールの減速は、動的摩擦時間と呼ばれる時間で記述できます。 $-{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},$ $t_{\text{fric}}^{\text{star}}$

ビリアル化システムにおける動的摩擦時間と交差時間

マッハ 1 の BH を考えてみましょう。これは最初は音速で移動します。したがって、そのボンディ半径はを満たします。ここで、音速は、質量密度の均一な球状クラスターの場合、円周期の半分は「音」が最も長い次元で一方通行で横断する時間であるという事実によって固定された前置係数です。つまり、です。慣例的に、「半直径」横断時間を動的時間スケールと呼びます。 ${\text{ς}}=V_{0}$ $s_{\bullet }$ ${GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},$ ${\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}$ ${4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4$ $\rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}$ $2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.$ $t_{\text{cross}}$

BHが、横断する経路上の星々に運動量を預けながら、長さを移動した後に停止すると仮定すると、横断時間当たりのBHのボンダイ断面積によって偏向される星の数は、 $l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}$ $M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}$ ${M_{\bullet } \over M_{\odot }}$ $l_{\text{fric}}/(2R)$ $N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .$

より一般的には、星の海のポテンシャルにおける一般的な速度でのBHの運動方程式は次のように書け、クーロン対数修正係数は、質量を持つ超音速で移動するBHの摩擦を考慮している。経験則として、BHの質量が星団全体の質量の8分の1を超える場合、亜音速のBHが端から中心までオーバーシュートせずに「沈む」には、音速横断時間程度かかる。より軽く、より速い穴は、はるかに長く浮いていることができる。 $\mathbf {V} _{\bullet }$ $\Phi$ $-{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },$ ${\pi ^{2} \over 8}\approx 1$ ${\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1$ $M_{\bullet }\geq M_{\odot }$ $t_{\text{ς'}}$

動的摩擦のより厳密な定式化

物体の速度変化に関する完全なチャンドラセカールの動的摩擦式は、物質場の位相空間密度にわたって積分する必要があり、透明性には程遠いものです。

これは、ブラックホールの影響圏内の長さと断面積の無限小の円筒形の体積内の粒子の数である、と解釈できます。 ${M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},$ $~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}$ $|V_{\bullet }dt|$ $\pi s_{\bullet }^{2}$

「クーロン対数」が遠方の背景粒子の寄与を考慮するのと同様に、ここでの係数は、BHよりも遅い背景粒子が抗力に寄与する確率も考慮に入れています。BHに追い抜かれる粒子の数が増えるほど、BHを抗力する粒子の数も増え、係数は大きくなります。また、系が大きいほど、係数は大きくなります。 $\ln \Lambda$ $\ln(\Lambda _{\text{lag}})$ $\ln(\Lambda _{\text{beaten}})$ $\ln \Lambda$

素粒子（ガス粒子または暗黒粒子）の背景もまた、動的摩擦を引き起こす可能性があり、これは周囲の媒質の質量密度に比例します。粒子の質量mが低いほど、数密度nが高くなるため、摩擦が相殺されます。物体の質量が大きいほど、より多くの物質が後流に引き込まれます。 $m~n$

衝突ガスと衝突しない恒星の両方の重力抵抗をまとめると、次の式が得られます。ここで、ガスの「遅れ」率^[6]と恒星の「遅れ」率は次のように与えられます。さらに、BH が時間から動き始めると仮定します。ガスは音速で等温であり、背景の恒星は、ガウス分布の速度の広がり(速度分散と呼ばれ、通常)を伴うマクスウェル運動量分布の(質量) 密度を持ちます。 $M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~$ ${\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}$ $t=0$ ${\text{ς}}$ $mn(\mathbf {x} )$ $p=mv$ $\sigma$ $\sigma \leq {\text{ς}}$

興味深いことに、この依存性は、動的摩擦が、背景の物体との二体衝突における大質量物体の重力の集中によって引き起こされる、後流による重力の引力によるものであることを示唆しています。 $G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))$

速度の上限では、力は速度の2乗に反比例するため、エネルギー損失の割合は高速では急激に低下します。したがって、光子のように相対論的に移動する物体にとっては、動的摩擦は重要ではありません。これは、物体が媒質中を速く移動するほど、その背後に航跡が形成される時間が短くなることを理解すれば合理的に説明できます。摩擦は音速の壁で最大になる傾向があります。 $\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}$

重力との遭遇とリラクゼーション

恒星系内の恒星は、強い重力衝突と弱い重力衝突によって互いの軌道に影響を与えます。2つの恒星の衝突は、最も接近した通過点における相互の位置エネルギーが、初期の運動エネルギーと同程度か非常に小さい場合、強い衝突／弱い衝突と定義されます。強い衝突は稀であり、通常は高密度の恒星系でのみ重要視されます。例えば、通過する恒星は、球状星団の中心にある連星によって弾き飛ばされることがあります。^[7]これは、2つの恒星が一定の距離内に近づく必要があることを意味します。ここで、ビリアル定理、「相互の位置エネルギーは平均して運動エネルギーの2倍と釣り合う」、すなわち「恒星1個あたりの対の位置エネルギーは、3方向の音速に関連する運動エネルギーの2倍と釣り合う」という関係を用います。ここで、係数は恒星対間の握手回数（重複カウントなし）です。平均対距離は、均一球の半径の約40%にすぎません。また、 $s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},$ $1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},$ $N(N-1)/2$ $R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R$ $Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.$

平均自由行程

典型的な恒星系における強い遭遇の平均自由行程は、すなわち、典型的な恒星が横断面内に入り、その進路から完全に逸らされるまでに約半径の横断回数を要することを意味します。したがって、強い遭遇の平均自由時間は横断時間よりもはるかに長くなります。 $(N-1)=4.19nR^{3}\gg 100$ $l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,$ $0.123N$ $\pi s_{*}^{2}$ $R/V$

弱い遭遇

弱い遭遇は、恒星系の進化に、多くの通過を経て、より深遠な影響を与えます。重力遭遇の影響は、緩和時間の概念を用いて研究することができます。緩和を説明する簡単な例として、二体緩和が挙げられます。これは、恒星の軌道が他の恒星との重力相互作用によって変化する現象です。

当初、対象とする恒星は、衝突パラメータ（最接近距離）に垂直な軌道を初期速度で運動します。この最接近距離は、元の軌道に影響を与える重力場を持つ恒星に最も近い距離です。ニュートンの法則を用いると、対象とする恒星の速度の変化は、衝突パラメータにおける加速度に加速の持続時間を乗じた値にほぼ等しくなります。 $\mathbf {v}$ $\delta \mathbf {v}$

緩和時間は、がに等しくなるのにかかる時間、あるいは速度の小さな偏差が恒星の初速度に等しくなるのにかかる時間と考えることができます。恒星系における平均的な恒星が緩和するのに必要な「半直径」の通過回数は、上記の強い偏向に対する平均自由時間の推定値よりも厳密な計算から概算されます。 $\delta \mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $N$ ${t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1$

答えは理にかなっています。なぜなら、単一体系または2体系では緩和がないからです。時間スケールの比のより良い近似はであるため、3 体系、4 体系、5 体系、7 体系、10 体系、...、42 体系、72 体系、140 体系、210 体系、550 体系の緩和時間は、それぞれ約 16、8、6、4、3、...、3、4、6、8、16 回の交差となります。孤立した連星系では緩和はなく、16 体系では緩和が最も速く、軌道が互いに散乱するには約 2.5 回の交差が必要です。の系はポテンシャルがはるかに滑らかで、通常、弱い遭遇で強い偏向が生じて軌道エネルギーが大幅に変化します。 $\left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}$ $N\sim 10^{2}-10^{10}$ $\sim \ln N'\approx (2-20)$

摩擦と緩和の関係

明らかに、ブラックホールの動的摩擦は緩和時間よりも約1倍速いが、ブラックホールのクラスターではこの2つは非常に似ている。 $M_{\odot }/M_{\bullet }$ $N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.$

例えば、を持つ星団または銀河団の場合、となります。したがって、これらの星団または銀河団のメンバーの遭遇は、典型的な10 Gyrの寿命の間に重要です。 $N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s}$ $t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr}$

一方、例えば恒星が存在する典型的な銀河では、交差時間があり、その緩和時間は宇宙の年齢よりもはるかに長くなります。これは、典型的な銀河の生涯を通じて起こる二体衝突を無視し、銀河ポテンシャルを数学的に滑らかな関数でモデル化することを正当化します。そして、このような典型的な銀河内部では、10億年ハッブル宇宙望遠鏡の観測時間にわたって恒星ブラックホールに生じる動的摩擦と降着によって、ブラックホールの速度と質量はごくわずかな変化しか生じません。 $N=10^{6}-10^{11}$ $t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr}$ $\Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}$

ブラックホールが銀河全体の質量の0.1%未満を占める場合。特に、典型的な恒星はブラックホールとの遭遇を経験することはなく、したがって滑らかな銀河ポテンシャル内の軌道上に留まることがわかります。 $NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }$ $M_{\bullet }\sim M_{\odot }$

動的摩擦または緩和時間は、無衝突粒子系と衝突粒子系を区別する。緩和時間よりもはるかに短い時間スケールでの力学は、典型的な星が初期の軌道サイズからわずかな割合でずれるため、実質的に無衝突となる。また、これらの系は、対象となる星が点質量ポテンシャルの総和ではなく、滑らかな重力ポテンシャルと相互作用する系としても識別される。銀河系における二体緩和の累積効果は、質量分離と呼ばれる現象を引き起こす可能性があり、質量の大きい星は星団の中心付近に集まり、質量の小さい星は星団の外側へと押しやられる。 $t/t_{\text{relax}}\ll 1$

衝突過程と非衝突過程における連続方程式の球面牛要約

重力システムにおける粒子のかなり複雑な相互作用の詳細を説明した後は、厳密さを犠牲にすることなく、ズームアウトして一般的なテーマを抽出することが常に役立ちますので、負荷を軽くして進めてください。

最初の重要な概念は、摂動体の近くと背景全体に対する「重力バランス運動」であり、明確にするために、一貫して1などのすべての係数を省略し、結合した質量を近似し、システムのジオメトリが薄い/厚いガス/恒星ディスクであるか、境界の有無にかかわらず (不均一な) 恒星/暗黒球であるかを曖昧にし、摩擦時間スケールの大きさの順序の背後にあるロジックを強調するために、局所的な円回転速度、半径方向の落下速度、グローバルな等方性または異方性の 1 つまたは 3 つの方向のランダム運動、または (不均一な) 等方性の音速からの運動エネルギー間の微妙な違いについてです。 ${\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},$ $4\pi$ $\pi$ $\ln {\text{Λ}}$ $M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }$ $V_{\text{cir}}$ $\langle V\rangle$ $\sigma$ $c_{\text{ς}}$

次に、衝突型および非衝突型のガス/星または暗黒物質のこれまでのさまざまなプロセスを、システムの任意の一般的な量 Q に関する球面牛スタイルの連続方程式で非常に大まかにまとめることができます。ここで、符号は（降着）質量 M を除いて一般に負であり、平均自由行程または摩擦時間は、物理的な衝突断面積からの直接的な分子粘性、または粒子の重力散乱（曲げ/収束/スリングショット）による可能性があります。一般に、影響を受ける領域は、ボンダイ降着、潮汐破壊、およびロスコーン捕獲の競合プロセスの中で最大です。 ${dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,$ $\pm$ $l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}$ $t_{\text{fric}}$ $s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.$

例えば、Q が摂動体の質量である場合、運動-バランス-重力の関係を適用した(ガス/星) 降着率を介して動的摩擦時間を推定できます。 $Q=M_{\bullet }$ ${\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}$

極限では、摂動粒子はN個の背景粒子のうちの1個だけとなり、この摩擦時間は（重力による）緩和時間と同一視されます。ここでも、これらの定性的な方程式からの推定値を変えることなく、クーロン対数などはすべて抑制されます。 $M_{\bullet }\rightarrow m$

恒星のダイナミクスの残りの部分については、重力摩擦と摂動因子の緩和を無視し、14Gyrsハッブル時間スケールのほとんどの銀河で近似的に当てはまる限界内で作業することで、主に実例を通して正確な計算に一貫して取り組みます。ただし、一部の星団や銀河団ではこの限界が破れることがあります。^[7] $N\rightarrow \infty$

ここでは、恒星の力学と降着円盤の物理学におけるいくつかの主要な方程式の簡潔な 1 ページの要約を示します。ここでは、上記の定性的な方程式をより厳密に表現しようと試みています。

統計力学とプラズマ物理学との関連

恒星の力学の統計的性質は、20 世紀初頭にジェームズジーンズなどの物理学者がガスの運動論を恒星系に適用したことに由来します。重力場における恒星系の時間発展を記述するジーンズ方程式は、理想流体のオイラーの方程式に類似しており、衝突のないボルツマン方程式から導出されました。この方程式はもともと、ルートヴィヒボルツマンが熱力学系の非平衡挙動を記述するために開発しました。統計力学と同様に、恒星の力学では、確率的な方法で恒星系の情報をカプセル化する分布関数を使用します。単一粒子の位相空間分布関数は、次のように定義されます。ここで、は、微分体積の周りの位置と微分速度空間体積の周りの速度を持つ特定の恒星が見つかる確率を表します。分布関数は（場合によっては）正規化され、すべての位置と速度にわたって積分すると、系を構成する物体の総数Nに等しくなります。衝突系の場合、リウヴィルの定理は恒星系のミクロ状態の研究に適用され、統計力学における様々な統計アンサンブルの研究にも広く用いられます。 $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$ $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN$ $dN/N$ $\mathbf {x}$ $d\mathbf {x}$ ${\text{v}}$ $d\mathbf {v}$

熱分布の場合の慣例と表記

恒星力学に関する文献のほとんどでは、粒子の質量は太陽質量単位で1であり、したがって粒子の運動量と速度は同一であるという慣例を採用するのが都合が良い。すなわち、 $M_{\odot }$ $\mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},$

${dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}$

例えば、一定温度の部屋における空気分子（典型的には分子当たり陽子質量の15倍）の熱速度分布はマクスウェル分布に従う。 $T_{0}\sim \mathrm {300K}$ $f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}$ $f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},$

ここで、単位質量あたりのエネルギーは $E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,$ $\Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0$

は速度マクスウェル分布の幅であり、各方向および部屋のどこでも同じであり、正規化定数（フェルミ-ディラック分布がマクスウェル速度分布に縮小されるような化学ポテンシャルを仮定）は床面における一定のガス数密度によって固定される。 ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ $e^{\mu \over kT_{0}}$ ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ $n_{0}=n(x,y,0)$ $n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})$ $n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.$

CBE

プラズマ物理学では、衝突のないボルツマン方程式はヴラソフ方程式と呼ばれ、プラズマの分布関数の時間発展を研究するために使用されます。

ボルツマン方程式は、リウヴィル演算子を用いてより一般的にはと表されることが多い。ここでは重力、はマクスウェル（等分配）分布である（と同じ密度、平均速度、および実効速度をに当てはめるため）。この式は、非ガウス性がの（緩和）時間スケールで減衰し、系が最終的にマクスウェル（等分配）分布に緩和することを意味する。 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},$ ${\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.$ $\mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi$ $f_{\text{fit}}^{\text{Max}}$ $f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$ $t_{\text{relax}}$

ジーンズは衝突のないボルツマン方程式とポアソン方程式を、長距離重力を介して相互作用する恒星系に適用したのに対し、アナトリー・ヴラソフはボルツマン方程式とマクスウェル方程式を、クーロン力を介して相互作用する粒子系に適用した。^{[8]どちらのアプローチも、長距離力を導入することで気体の運動論から距離を置き、多粒子系の長期的進化を研究している。ヴラソフ方程式に加えて、プラズマにおける}ランダウ減衰の概念はドナルド・リンデン＝ベルによって重力系に適用され、球状恒星系における減衰の効果を記述した。^[9]

f(t,x,v) の優れた性質は、そのモーメントによって他の多くの力学量、例えば全質量、局所密度、圧力、平均速度などを形成できることです。無衝突ボルツマン方程式を適用すると、これらのモーメントは様々な連続方程式によって関連付けられます。その中で最も有名なのは、ジーンズ方程式とビリアル定理です。

確率重み付きモーメントと静水圧平衡

ジーンズは、速度空間で積分した後、ボルツマン方程式の加重速度を計算し、集団（ガス、星、暗黒物質など）の運動量（ジーンズ）方程式を得ました。 ${1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,$ $^{p}$

${\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}$

ジーンズ方程式の一般版は(3 x 3)の速度モーメントを含むため、扱いにくい。これらのモーメントの一部、特に対称性の高い系における非対角交差項を省略し、さらにあらゆる点で正味回転速度または正味流入速度を省略することで初めて、この方程式は有用となり、あるいは解けるようになる。

等方性バージョンは、圧力勾配と重力を釣り合わせる静水力平衡方程式とも呼ばれます。等方性バージョンは、導関数drを鉛直座標dzに置き換えることで、軸対称円盤にも適用できます。つまり、速度分散と星の数密度の勾配を観測することで、（暗黒物質の）重力を測定できるということです。

アプリケーションと例

恒星ダイナミクスは、主に恒星系や銀河内の質量分布を研究するために用いられます。恒星ダイナミクスを星団に適用した初期の例としては、アルバート・アインシュタインが1921年に発表した球状星団にビリアル定理を適用した論文や、フリッツ・ツビッキーが1933年に発表したビリアル定理をかみのけ座銀河団に特に適用した論文が挙げられます。この論文は、宇宙における暗黒物質の存在を示唆する最初の論文の一つでした。 ^[10]^[11]ジーンズ方程式は、天の川銀河における恒星の運動に関する様々な観測データの理解に用いられてきました。例えば、ヤン・オールトはジーンズ方程式を用いて太陽近傍の平均物質密度を決定し、非対称ドリフトの概念は円筒座標系におけるジーンズ方程式の研究から生まれました。^[12]

恒星のダイナミクスは、銀河の形成と進化の構造についても洞察をもたらします。力学モデルと観測は、楕円銀河の三軸構造の研究に用いられ、顕著な渦巻銀河は銀河の合体によって形成されることを示唆しています。^[1]恒星の力学モデルは、活動銀河核とそのブラックホールの進化の研究や、銀河内の暗黒物質の質量分布の推定にも用いられています。

統一された厚いディスクポテンシャル

円筒座標系における扁平ポテンシャルを考えてみましょう。ここで、は（正の）垂直方向の長さスケール、は半径方向の長さスケールです。このモデルは複雑ですが、いくつかの制限特性は容易に理解できます。 ${\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}$ $z_{0},R_{0}$

まず、システム全体の質量は、大きな半径の限界をとると、 $M_{0}$ $\Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},$ $R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},$ $Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.$

また、この統一ポテンシャルのいくつかの特殊なケースは、クズミンの剃刀のように薄い円板のポテンシャル、点質量のポテンシャル、均一な針質量分布のポテンシャルになることも示せます。 $M_{0}$ $\Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,$ $\Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,$ $\Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].$

厚い円盤における重力ベクトル場の実例

まず境界における垂直重力を考えます。 $g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},$

ポテンシャルと鉛直重力は境界を越えて連続的であるため、境界に剃刀円盤は存在しないことに注意してください。境界においては連続であるため、は連続です。ガウスの定理を適用し、垂直方向の力を円盤の上下境界全体にわたって積分すると、が円盤全体の質量を意味することが確認できます。 $\partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}$ $2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},$ $M_{0}$

大きな半径では垂直重力は低下しますが、厚い円盤の自己重力により、点質の垂直重力よりも大きくなります。 $-g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}$ $GM_{0}z/R^{3}$

ポアソン方程式による厚い円板の密度

半径とともに減少し、境界を超えるとゼロになり、境界内では Z 方向に沿って均一になる円筒形のポアソン方程式を挿入します。 $\rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),$ $|z|>z_{0}$

厚い円板の表面密度と質量

均一な厚さの厚い円板全体にわたって積分すると、表面密度と総質量は次のように表される。 $2z_{0}$ $\Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).$

これは、境界に極薄の円板が存在しないことを裏付けています。極限では、この厚い円板のポテンシャルは極薄のクズミン円板のポテンシャルにまで減少し、そのことを検証できます。 $z_{0}\rightarrow 0$ ${|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}$

厚い円板の振動周波数

垂直方向および放射状の振動周波数を見つけるために、中間平面の周りのポテンシャルのテイラー展開を行います。そして、円速度と垂直方向および放射状の周転円周波数が次のように与えられることがわかります。興味深いことに、回転曲線は中心付近では固体のような形をしていますが、中心から遠く離れるとケプラーの法則に従います。 $\Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}$ $V_{\text{cir}}$ $(R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],$ $\nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},$ $\kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.$ $V_{\text{cir}}$ $R\ll R_{0}$

大きな半径では、3つの周波数がを満たします。例えば、およびの場合、振動は共鳴を形成します。 ${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$ $R\to \infty$ $R_{0}/z_{0}=3$ $\omega :\nu :\kappa =1:2:1$

の場合、 z軸に沿った均一な針の間の密度を除くすべての場所で密度はゼロになります。 $R_{0}=0$ $|z|\leq z_{0}$

さらにを求めると、点質点ポテンシャルにおける閉楕円軌道のよく知られた性質が得られる。 $z_{0}=0$ $\omega :\nu :\kappa =1:1:1.$

銀河におけるニュートリノの実例

たとえば、質量 m の非相対論的ニュートリノの位相空間分布関数はどこでもによって設定された最大値を超えることはありません。ここで、フェルミ-ディラック統計によれば、体積と速度体積内には最大で 6 種類のニュートリノフレーバーしか存在しません。 $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~$ $dx^{3}$ $dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},$

分布が最大、すなわちとなるように近似してみましょう。ここでは、それぞれが重力束縛系の中心または端におけるのポテンシャルエネルギーです。球形を仮定すると、対応するニュートリノ質量密度はとなり、これはに減少します。 $f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,$ $0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}$ $E_{\min },E_{\max }$ $\rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),$ $\rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}$

単純なケースを取り上げ、脱出速度で中心の密度を推定すると、 $\alpha \to 0$ $r=0$ $V_{0}$ $\rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.$

明らかに、eV スケールのニュートリノは、脱出速度の銀河内の 100～10000 の過剰密度を構成するには軽すぎますが、のクラスター内のニュートリノは宇宙背景密度の何倍もの密度を構成できます。 $m_{eV}\sim 0.1-1$ $V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4$ $V\sim \mathrm {2000km/s}$ $100-1000$

ちなみに、あなたの部屋の凍結宇宙ニュートリノは非熱的ランダム運動量を持ち、マクスウェル分布に従わず、ニュートリノと重粒子の相互作用断面積が非常に小さいため、空気分子と熱平衡状態になりません。 ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$

均一球面ポテンシャルにおける調和運動の復習

前述の密度とポテンシャルの均一な球の定常状態モデルを構築することを検討します。ここで、は端まで逃げる速度です。 $\rho _{0}$ $\Phi (r)$ ${\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}$ $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}$ $r_{0}$

まず、均一球状ポテンシャル「内部」の運動についておさらいしましょう。この一定密度のコア領域内では、個々の星は角周波数の共鳴調和振動を起こします。大まかに言えば、私たちの目標は、星を様々なエネルギーを持つ軌道の重み付け分布、つまり位相空間密度または分布関数上に置き、全体の星数密度が一定コアを再現し、ひいては集合的な「定常」ポテンシャルを再現することです。これに到達すると、系は自己無撞着な平衡状態にあるとみなされます。 $\Omega$ ${\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}$ $f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )$

均一球面ポテンシャルにおけるジーンズ定理とCBEの例

一般に、時間に依存しないシステムの場合、ジーンズの定理は、「運動定数」への関数的依存性を通じて、位置と速度の暗黙的な関数になることを予測します。 $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )$

一様球面の場合、球座標で書かれたボルツマン方程式の解は、その速度成分は次式で表されます。ここで、は（質量）密度の次元を持つ正規化定数です。そして、（正のエンタルピーのような次元）量を定義します。明らかに、反時計回りに回転する恒星は除外されます。 $(r,\theta ,\phi )$ $(V_{r},V_{\theta },V_{\phi })$ $f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},$ $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$ ${\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}$ $Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.$ $J_{z}\leq 0,~~Q=0$

球座標で見ると、

$J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),$

$J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,$

$E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}$

ポテンシャルと、軌道エネルギー E と角運動量 J およびその z 成分 Jz のこれらの定義をすべての恒星軌道に沿って挿入すると、が得られ、が0 からの間であることを意味します。 $2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },$ $|V_{r}|\leq V_{e}(r)$ $|V_{\theta }|,V_{\varphi }$ $V_{0}$

上記が球状ポテンシャルにおける運動定数であることを確認するために、 $E,~J_{z}$ $dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }$

$dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0$ あらゆる「定常状態」ポテンシャルに対して。

$dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },$ これは、任意の軸対称ポテンシャルの z 軸の周りでに簡約されます。ここでです。 $dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0$ ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

同様に、角運動量のx成分とy成分も球面ポテンシャルでは保存される。したがって、 $dJ/dt=0$

したがって、時間に依存しない球状ポテンシャル（均一球モデルを含む）では、軌道エネルギーEと角運動量J、およびそのz成分Jzは、恒星の軌道に沿って、 $dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.$

したがって、連鎖律を使用すると、すなわち、となり、CBE が満たされ、すなわち、私たちのは、静的球状ポテンシャルの衝突のないボルツマン方程式の解になります。 ${d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,$ ${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$ $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])$

均一球状クラスターにおける分布関数のモーメントの実例

内部の以前のポテンシャルの式を入力すると、3 つのヘビサイド関数を使用してとして再フォーマットされた上記の分布関数のさまざまなモーメントを調べることができます。さらに良いのは、均一な球の「r から端に逃げる」速度です。明らかに、DF (分布関数) の係数はの場合にのみ明確に定義されます。これは、半径の狭い範囲を意味し、高速粒子 (例: ) を分布関数 (DF、つまり位相空間密度) から除外します。 $f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},$ $\Phi (r)$ $r\leq r_{0}$ $r_{0}$ $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.$ ${V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}$ $Q\geq 0\rightarrow q\leq 1$ $0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}$ $V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)$

実際、正の値は速度空間（「速度楕円体」）の楕円体の（）左半分を切り取ります。ここで、は関数またはによってそれぞれ再スケールされます。 $V_{\varphi }\geq 0$ $[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]$ $q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,$ $(u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })$ $(V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })$ $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}$ $V_{0}$

速度楕円体（この場合）は、r軸または軸を中心に回転対称性を持ちます。この場合、速度楕円体は半径方向から離れるほど圧縮されるため、原点を除くすべての場所で接線方向の異方性がより強くなります。原点では、速度楕円体は等方性を示します。ここで、位相空間のモーメントを計算します。 $V_{r}$ $V_{e}(r)<V_{0}$

たとえば、結果として得られる密度 (モーメント) は、エッジ内部では球状 (角度に依存しない) かつ均一 (半径に依存しない) な密度であり、正規化定数はです。 ${\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}$ $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$

流れの速度は、速度ベクトルの加重平均として計算されます。ここで、流れの全体平均 (上線のバーで示されます) は、平坦な方位角回転の均一なパターンを意味しますが、子午面のどこでもネット流れはゼロです。 ${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}$ $(r,\theta )$

ちなみに、この平面回転球の角運動量全体平均は、質量中心の全体平均は変化しないので、各直交方向における全体運動量保存則により、全体的非ゼロ回転と矛盾しないことに留意してください。 ${\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].$ ${\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0$ $i=x,y,z$

同様に、の対称性により、、がどこでも成り立ちます。 $f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })$ $\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0$ $~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0$ $~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0$

同様に回転方向のrms速度は加重平均によって次のように計算されます。 ${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}$

ここ $\langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.$

同じく $\langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.$

したがって、対称的な速度分布のため、圧力テンソルまたは分散テンソルは非対角項がゼロになります。前述の平坦な回転曲線の生成には暗黒物質は存在しませんが、その代償は方位角方向のランダムな速度分布の減少係数によって示されています。対角分散テンソルモーメントのうち、はすべての半径において3つの中で最大であり、との間の端付近でのみ最大です。 ${\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${8 \over 3\pi }=0.8488$ $\sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}$ $\sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}$ $0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}$

対角分散で見られる半径方向の運動エネルギーよりも大きい接線方向の運動エネルギーは、多くの場合、異方性パラメータによって表現され、正の異方性は半径方向の運動が支配的であることを意味し、負の異方性は接線方向の運動が支配的であることを意味します (この均一な球の場合のように)。 $\beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;$

ビリアル定理の実例

上記の均一な球の単位質量あたりの運動エネルギーの2倍は

${\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}$ これは、均一な球の単位質量あたりの位置エネルギーと釣り合います。 $M\propto r^{3}\propto x^{3}$

単位質量あたりの平均ビリアルは、その局所的な値の平均から計算でき、これはビリアル定理の要求どおりとなります。この自己重力球面では、単位質量あたりのビリアルがポテンシャルの半分の平均に等しいことも確認できます。したがって、自己重力下にある均一球面におけるビリアル定理の妥当性を検証しました。つまり、星の質量密度による重力は、星が自己整合的に移動する重力でもあります。例えば、追加の暗黒物質ハローがポテンシャルに寄与することはありません。 $\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )$ ${\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}$

均一球面におけるジーンズ方程式の実例

ジーンズ方程式は、平衡銀河において、系の圧力勾配がポテンシャル勾配とどのように釣り合うべきかを示す関係式です。私たちの均一球面において、ポテンシャル勾配、つまり重力は $\nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.$

放射状圧力勾配 $-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.$

この食い違いの理由は、一部は遠心力によるもので、一部は異方性圧力によるもので、中心部ではになりますが、半径では 2 つのバランスが取れ、端ではに逆転します。 ${{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,$ ${\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}$ $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}$ $r=0.8488r_{0}$ $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0$

ここで、次の式が成り立つことを確認できます。ここで、上記の 1 行目は基本的に r 方向の Jeans 方程式で、これは、分散テンソルの座標操作を何度も行うことで、異方性 (別名) 回転 (別名) 軸対称 ( ) 球面 (別名) における 2 行目の Jeans 方程式に簡約されます。2 つの接線方向について、例えばのような同様の運動方程式を得ることができます。これは、回転する地球表面上の海流や、摩擦項が重要となる降着円盤内での角運動量移動をモデル化する際に役立ちます。左辺がであるという事実は、銀河 (クラスター) のこの均一 (別名) 球面モデルが静的に定常状態 (別名、どこでも時間に依存しない平衡) を保つために、右辺で力が釣り合っていることを意味します (別名、どこでも流れがゼロ)。降着円盤のようなシステムでは、いつでもどこでも安定した正味の放射状流入を持つことができることに注意してください。 ${\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}$ $\beta \neq 0$ $\langle V_{\varphi }\rangle \neq 0$ $\partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0$ $\partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0$ ${\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}$ $-{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}$ ${\partial V_{r} \over \partial t}=0$ $\nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0$ ${\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0$ $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0$ $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0$

厚い円板におけるジーンズ方程式の実例

上の例の厚い円板ポテンシャルをもう一度考えてみましょう。密度が気体流体の密度であれば、境界で圧力はゼロになります。圧力のピークを見つけるには、次のことに注意します。 $z=\pm z_{0}$ $P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].$

したがって、単位質量あたりの流体温度、すなわち1次元の速度分散の2乗は、 $\sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}$

$\sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.$

回転Z軸に沿って、中心で明らかに最も高く、境界でゼロになります。圧力と分散はともに中間面でピークに達します。実際、最も高温で密度の高い点は中心であり、 $\sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}$ $\sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},$ $z=\pm z_{0}$ $z=0$ $P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.$

ジーンズ方程式、ビリアル、位相空間密度の実例の復習

ポアソン方程式と位相空間密度、特にジーンズ方程式のいくつかの応用を検討した後、再び球状牛のアプローチを使用して、一般的なテーマを抽出できます。

ジーンズ方程式は重力と圧力勾配を結び付けるもので、単一粒子の運動方程式を一般化したものです。ジーンズ方程式は円板系でも解けますが、最も使いやすいのは静摩擦のない系に対する球面異方性版です。つまり、 3方向それぞれにおいて局所的な速度が存在します。これらのモーメントに位相空間を投影することは容易であり、エネルギーと角運動量Jが保存される球面性の高い系であれば可能です。系の境界は、系における速度境界の積分範囲を決定します。 $\langle {v_{j}}\rangle =0$ $t_{\text{fric}}\rightarrow \infty$ $\sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},$ $~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }$ $E=$

要約すると、球面ジーンズ方程式は、ビリアル定理からの期待と一致し、言い換えれば、平衡の運動エネルギーは、純粋に横方向の運動を伴う円軌道上の平均運動エネルギーに等しくなります。 ${\begin{aligned}{d\Phi \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}$ ${\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}$ ${\overline {\text{global average}}}$

参照

さらに読む

銀河核のダイナミクスと進化、D. Merritt (2013).プリンストン大学出版局.
銀河ダイナミクス、J. ビニー、S. トレメイン (2008). プリンストン大学出版局.
重力N体シミュレーション：ツールとアルゴリズム、S. Aarseth (2003). ケンブリッジ大学出版局.
恒星ダイナミクスの原理、S.チャンドラセカール（1960年）。ドーバー。

参考文献

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[2] 「アーカイブコピー」（PDF）。 2020年7月2日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2024年12月15日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

[:12-3] ビニー、ジェームズ、トレメイン、スコット (2008).銀河ダイナミクス. プリンストン: プリンストン大学出版局. pp. 35, 63, 65, 698. ISBN 978-0-691-13027-9。

[4] Vita, Ruggero; Trenti, Michele; MacLeod, Morgan (2019-06-01). 「緩和した星団における質量分離と構造集中の相関」. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 485 (4): 5752– 5760. arXiv : 1903.07619 . doi : 10.1093/mnras/stz815 . ISSN 0035-8711.

[Galaxy_Dynamics-5] Binney, James. 「銀河ダイナミクス」(PDF) . プリンストン大学出版局. 2022年1月4日閲覧。

[6] Ostriker, Eva (1999). 「気体媒体における動的摩擦」. The Astrophysical Journal . 513 (1): 252. arXiv : astro-ph/9810324 . Bibcode :1999ApJ...513..252O. doi :10.1086/306858. S2CID 16138105.

[:2-7] スパーク, リンダ; ギャラガー, ジョン (2007).宇宙の銀河. ニューヨーク: ケンブリッジ. p. 131. ISBN 978-0521855938。

[8] ヘノン、M（1982年6月21日）「ヴラソフ方程式？」天文学と天体物理学. 114 (1): 211– 212.書誌コード:1982A&A...114..211H.

[9] リンデン＝ベル、ドナルド (1962). 「恒星ガスの安定性と振動」.王立天文学会月報. 124 (4): 279– 296. Bibcode :1962MNRAS.124..279L. doi : 10.1093/mnras/124.4.279 .

[10] アインシュタイン、アルバート (2002). 「ニュートンの重力法則の星団への簡単な応用」(PDF) .アルバート・アインシュタイン論文集. 7 : 230–233 – プリンストン大学出版局より.

[11] Zwicky, Fritz (2009). 「再出版：銀河系外星雲の赤方偏移」.一般相対性理論と重力. 41 (1): 207– 224. Bibcode :2009GReGr..41..207Z. doi :10.1007/s10714-008-0707-4. S2CID 119979381.

[12] Choudhuri, Arnab Rai (2010). 『物理学者のための天体物理学』ニューヨーク: Cambridge University Press. pp. 213– 214. ISBN 978-0-521-81553-6。