確率的量子力学

確率量子力学は、様々な外力に加え、固有のランダム過程を受ける粒子のダイナミクスを記述するための枠組みである。この枠組みは、これらの確率粒子に関連する拡散方程式の導出を提供する。この枠組みは、ある種の保存的（またはユニタリー）拡散に対するシュレーディンガー方程式をコルモゴロフ方程式として導出したことで最もよく知られている。^[1]^[2]

この導出は、作用の極値化と量子化の規定の組み合わせに基づくことができる。^[2]この量子化規定は、正準量子化や経路積分の定式化と比較することができ、ネルソンの確率量子化または確率化と呼ばれることが多い。^[3]この理論はシュレーディンガー方程式の導出を可能にするため、量子力学の確率的解釈を生み出した。この解釈は、確率力学理論の発展の主な動機となっている。^[1]

1930年代にはエルヴィン・シュレーディンガーとラインホルト・フュルトがともに古典的拡散方程式と量子論の形式主義との類似性を認識していたが、量子力学における最初の比較的首尾一貫した確率論は1946年にハンガリーの物理学者イムレ・フェニェスによって提唱された。^[4]^[5]^[6]^[7] ルイ・ド・ブロイ^{[8]は、粒子をある}パイロット波から別のパイロット波に切り替えるために、量子力学の根底にある確率過程を取り入れる必要があると感じた。^[7]確率量子力学の理論は、この枠組みの中でシュレーディンガー方程式の導出を独立に発見したエドワード・ネルソンに帰せられる。 ^[1]^{[2]この理論は、デイヴィッドソン、}ゲラ、ルッジェーロ、パヴォンらによっても発展させられた。 ^[7]

量子力学の確率論的解釈

確率的解釈は、量子力学の経路積分定式における経路を、確率過程のサンプル経路として解釈する。^[9]量子粒子はこれらの経路のいずれかに局在するが、観測者は粒子がどこに局在するかを確実に予測することはできないと仮定する。粒子の位置を特定する唯一の方法は、測定を行うことである。観測者は、過去の測定結果と粒子に作用する力に関する知識に基づいて、そのような測定結果の確率を予測することしかできない。

この解釈は統計力学^[9]、特にブラウン運動の文脈ではよく知られている。したがって、確率論的解釈によれば、量子力学はブラウン運動に似た方法で解釈されるべきである。^[1]しかし、ブラウン運動の場合、統計的経路積分を定義する確率測度（ウィーナー測度^[10]と呼ばれる）の存在は確立しており、この測度はウィーナー過程と呼ばれる確率過程によって生成することができる。^[11]一方、量子力学的経路積分を定義する確率測度の存在を証明することは困難であり、^[12]^[13]そのような確率測度が確率過程によって生成できることは保証されていない。確率力学は、量子力学の確率測度を生成するそのような確率過程の構築に関係する枠組みである。

ブラウン運動においては、ブラウン運動粒子の統計的変動は、粒子と多数の微小粒子との相互作用によって引き起こされることが多いことが知られている。^[14]^[15]^[16]^{[17]この場合、}ウィーナー過程によるブラウン運動の記述は近似としてのみ用いられ、背景にある個々の粒子のダイナミクスは無視される。その代わりに、ウィーナー過程は、これらの背景粒子の影響をそれらの統計的挙動によって記述する。

量子力学の確率論的解釈は、量子粒子の量子ゆらぎの起源については不可知論的である。この解釈は、量子ゆらぎを、背景仮説と呼ばれる新たな確率論的自然法則の結果として導入する。^[2]この仮説は、「神はサイコロを振る」という命題の厳密な実装として解釈できるが、このサイコロゲームがブラウン運動理論のような隠れた変数理論に置き換えられる可能性も残している。^[18]

本稿の残りの部分では、このような過程の定義と、この過程に関連する拡散方程式の導出について述べる。これは、ブラウン運動と量子力学を特別な限界とする一般的な設定で行われ、それぞれ熱方程式とシュレーディンガー方程式が得られる。導出は、ラグランジアン力学と確率計算のツールに大きく依存している。

確率的量子化

この理論の公理は、ネルソンによって定式化された確率的量子化条件に要約することができる。^[2]この条件に関する非相対論的理論は次のように述べている。 ^[19] $\mathbb {R} ^{n}$

量子粒子の軌道は、複素セミマルチンゲールの実射影によって記述される。ここで、は連続有限変化過程であり、は複素マルチンゲールである。 $X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]$ $Z(t)=C(t)+M(t)$ $C(t)$ $M(t)$
軌道は確率的に行動を極端化する。 $S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]$
マルチンゲールは、独立した増分と有限モーメントを持つ連続過程である。さらに、その二次変化は構造関係によって固定される。ここで、は粒子の質量、換算プランク定数、は無次元定数、はクロネッカーデルタである。^[20] $M(t)$ $d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt$ $m$ $\hbar$ $\alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C}$ $\delta ^{ij}$
時間を逆転させたプロセスが存在し、同じ力学法則に従います。

分解と有限変化を持つという事実を用いると、との2次変化は次のように与えられることがわかる。 $Z=X+{\rm {i}}\,Y$ $C$ $X$ $Y$

{\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt

したがって、レヴィのブラウン運動の特徴付けにより、およびは、有限変化過程によって記述されるドリフト、に比例する拡散定数、および角度に依存する相関を伴う、相関のある2つのウィーナー過程を記述する。これらの過程は、量子極限において最大相関し、に関連し、に対応する。一方、ブラウン運動極限においては、に関連し、に対応する無相関となる。 $X(t)$ $Y(t)$ $C(t)$ $|\alpha |\in [0,\infty )$ $\phi$ $\phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}$ $\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R}$ $\phi \in \{0,\pi \}$ $\alpha \in \mathbb {R}$

この量子化手順を説明するために確率的量子化という用語が導入されたのは1970年代です。^[21]現在では、確率的量子化は、1981年にパリシとウーによって開発された枠組みを指すことが一般的です。そのため、確率力学で開発された量子化手順は、ネルソンの確率的量子化または確率化と呼ばれることもあります。^[3]

プロセスの速度

確率過程はほぼ確実に微分不可能であり、そのため過程に沿った速度は明確に定義されない。しかし、条件付き期待値を用いて定義される速度場が存在する。これらは次のように与えられる。 $Z(t)$ ${\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}$

w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],

w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],

は、過程に沿ったイトー積分に関連付けることができます。この過程は微分不可能であるため、これらの速度は一般に互いに等しくありません。この事実の物理的な解釈は次のとおりです。粒子は、任意の時点でその速度をからに瞬間的に変化させるランダムな力を受けます。2つの速度場は等しくないため、過程に対する速度の唯一の概念は存在しません。実際、

Z(t)

t

w_{-}

w_{+}

Z(t)

w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}

は、過程の速度の有効な選択肢を表します。これは特に、で示される特殊なケースに当てはまり、に沿ったストラトノビッチ積分に関連付けることができます。 $a\in [0,1]$ $Z(t)$ $a={\frac {1}{2}}$ $w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}$ $Z(t)$

は2次非零変分を持つので、次式で表される2次速度場をさらに定義することができる。 $Z(t)$

w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],

w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].

時間可逆性の公理は、これら2つの場にという関係を課す。さらに、二次変化を固定する構造関係を用いると、となる。したがって、ストラトノビッチの定式化では、速度の2次成分はゼロ、すなわちとなる。 $w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}$ $w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}$ $w_{2,\circ }=0$

速度の実数部と虚数部は次のように表される。

v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.

これらの速度場の存在を利用して、速度過程を伊藤積分によって正式に定義することができます。同様に、過程をストラトノビッチ積分によって正式に定義し、2 次速度過程をスティルチェス積分によって正式に定義することができます。構造関係を用いて、2 次速度過程がによって与えられることがわかります。しかし、過程とは明確に定義されていません。1 次モーメントは存在しによって与えられますが、2 次モーメントは発散します。つまりです。この発散の物理的な解釈は、位置表現では位置は正確に分かっていますが、速度には無限の不確実性があるということです。 $W_{\pm }(t)$ $\int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)$ $W_{\circ }(t)$ $\int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)$ $W_{2}(t)$ $\int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)$ $W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}$ $W_{\pm }(t)$ $W_{\circ }(t)$ $\mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)$ $\mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty$

確率的作用

確率的量子化条件は、確率的軌道が確率的作用を極値化しなければならないことを規定しているが、確率的ラグランジアンを規定していない。このラグランジアンは、標準的な手順を用いて古典的ラグランジアンから得ることができる。ここでは、以下の形式の古典的ラグランジアンを考える。 $S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]$ $L$

L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).

ここで、は位相空間（接線束）の座標、は上の計量を記述するクロネッカーのデルタ、は粒子の質量、ベクトルポテンシャルにおける電荷、はスカラーポテンシャルである。さらに、アインシュタインの総和法が仮定されている。 $(x,v)$ $\delta _{ij}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $q$ $A$ ${\mathfrak {U}}$

このラグランジアンの重要な性質はゲージ不変性の原理である。これは、元の作用に全微分項を追加することで新たな作用を定義することで明示的に表すことができる。 ${\tilde {S}}$

{\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,

ここで、およびである。したがって、作用に全微分を加えてもダイナミクスは影響を受けないため、任意の微分可能関数に対するポテンシャルの上記の再定義の下では、作用はゲージ不変である。 ${\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F$ ${\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F$ $F$

この古典的ラグランジアンに対応する確率的ラグランジアンを構成するためには、このゲージ不変性を尊重する上記のラグランジアンの最小拡張を探す必要がある。^[22]この理論のストラトノビッチ定式化では、これは簡単に行うことができる。なぜなら、ストラトノビッチ定式化における微分演算子は次のように与えられるからである。

\int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.

したがって、ストラトノビッチラグランジアンは、古典的な速度を複素速度に置き換えることによって得られる。 $v$ $w_{\circ }$

L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.

伊藤の定式化では、全微分が伊藤の補題によって与えられるため、事態はより複雑になる。 $\int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.$

2階微分項の存在によりゲージ不変性は破れる。しかし、ベクトルポテンシャルの微分をラグランジアンに加えることでゲージ不変性は回復できる。したがって、確率ラグランジアンは次のようなラグランジアンで与えられる。

L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.

確率的作用はストラトノビッチラグランジアンを用いて定義することができ、これは発散項を除けば伊藤ラグランジアンによって定義された作用に等しい：^[2]

S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.

発散項は計算可能であり、次のように与えられる。

\mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},

ここで、は、における極の周りの経路の巻き数を数える巻き数である。^[23] $k_{i}\in \mathbb {Z}$ $\gamma (t)$ $t=0$

発散項は定数であるため、運動方程式には寄与しない。このため、この項は確率力学の初期の研究では無視されてきた^[2] 。しかし、この項を無視すると、確率力学は量子力学における離散スペクトルの出現を説明できなくなる。この問題はヴァルストロム批判^[24]^[25]として知られており、発散項を適切に考慮することで解決できる。

確率力学のハミルトン定式化も存在する。^[22]^[26]これは正準運動量の定義から始まる。

p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,

p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.

ストラトノビッチ定式化におけるハミルトニアンは、1次ルジャンドル変換によって得られる。

H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.

一方、伊藤の定式化では、ハミルトニアンは2次のルジャンドル変換によって得られる。^[27]

H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.

オイラー・ラグランジュ方程式

確率的作用は極限まで極限化することができ、オイラー・ラグランジュ方程式の確率的バージョンが得られる。ストラトノビッチの定式化では、これらは次のように与えられる。

\int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.

前のセクションで説明したラグランジアンの場合、これはストラトノビッチの意味での次の2次確率微分方程式につながります。

m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,

ここで、場の強度はで与えられる。この式はニュートンの第二法則の確率論的バージョンとして機能する。 $F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$

伊藤の定式化では、確率オイラー・ラグランジュ方程式は次のように与えられる。

\int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.

これは伊藤の意味で2階の確率微分方程式につながり、ニュートンの第2法則の確率バージョンとして次のように与えられる。

m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.

ハミルトン・ヤコビ方程式

運動方程式は、古典力学のハミルトン・ヤコビ定式化の確率論的一般化によっても得られる。この場合、まずハミルトン主関数を定義する。ラグランジアンの場合、この関数は次のように定義される。 $L_{+}$

S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],

ここで、過程は確率オイラー・ラグランジュ方程式に従うと仮定する。同様に、ラグランジアンに対して、ハミルトンの主関数は次のように定義される。 $\{X(s):s\in [t,t_{f}]\}$ $L_{-}$

S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],

ここで、過程は確率オイラー・ラグランジュ方程式に従うと仮定する。作用の発散部分により、これらの主関数は同値関係に従う。 $\{X(s):s\in [t_{0},t]\}$

{\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.

主関数を点に関して変化させることで、ハミルトン・ヤコビ方程式が得られる。これは次のように与えられる。 $(x,t)$

{\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}

これらは古典的な場合と同じように見えることに注意してください。ただし、2番目のハミルトン・ヤコビ方程式のハミルトニアンは、2次のルジャンドル変換を用いて得られます。さらに、作用の発散部分により、非自明な積分制約の形をとる3番目のハミルトン・ヤコビ方程式が存在します。

\oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.

与えられたラグランジアンに対して、最初の2つのハミルトン・ヤコビ方程式は

{\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}

これら2つの式を組み合わせると、

\left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.

を用いて、積分条件と初期条件または終了条件を課したこの方程式をについて解くことができる。そして、その解を伊藤方程式に代入することができる。 $w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}$ $w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)$ $w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)$ $w_{\pm }(x,t)$

{\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}

これは過程について解くことができる。したがって、（でラベル付けされた未来指向方程式の場合）初期条件または（でラベル付けされた過去指向方程式の場合）終了条件を指定すると、粒子の軌跡を記述する唯一の確率過程が見つかる。 $\{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ $X(t_{0})=x_{0}$ $+$ $X(t_{f})=x_{f}$ $-$ $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$

拡散方程式

ネルソン確率力学の重要な結果は、仮定された確率過程からシュレーディンガー方程式を導出することである。この導出において、ハミルトン・ヤコビ方程式は

{\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}

を組み合わせると、次の式が得られる。

2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.

次に波動関数を定義する。

\Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).

ハミルトンの主関数は多価関数であるため、波動関数は同値関係に従うことがわかる。

{\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.

さらに、波動関数は複素拡散方程式に従う。

-\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,

\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.

したがって、確率力学の公理を解く任意の過程に対して、これらの拡散方程式に従う波動関数を構築することができます。ハミルトンの主関数における同値関係により、逆のことも成り立ちます。つまり、これらの複素拡散方程式の任意の解に対して、確率力学の公理を解く確率過程を構築することができます。同様の結果は、ファインマン-カックの定理によって確立されています。 $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$

最後に、確率密度を構築することができる。

\rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,

これは、プロセスの遷移確率を表します。より正確には、は、システムが最終的に状態になった場合に、状態になる確率を表します。したがって、の拡散方程式は、プロセスのコルモゴロフ後退方程式として解釈できます。同様に、は、時間を逆に展開した場合に、システムが最終的に状態になった場合に、状態になる確率を表します。したがって、の拡散方程式は、プロセスを過去に向けて展開した場合のコルモゴロフ後退方程式として解釈できます。時間方向を反転すると、は、システムが状態で開始し、時間を順方向に展開した場合に、状態になる確率を表すことがわかります。したがって、の拡散方程式は、プロセスを未来に向けて展開した場合のコルモゴロフ前進方程式としても解釈できます。 $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ $\rho _{+}$ $(x,t)$ $(x_{f},t_{f})$ $\Psi _{+}$ $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ $\rho _{-}$ $(x,t)$ $(x_{0},t_{0})$ $\Psi _{-}$ $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ $\rho _{-}$ $(x,t)$ $(x_{0},t_{0})$ $\Psi _{-}$ $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$

数学的側面

限定的なケース

この理論にはさまざまな特別な制限が含まれています。

の古典的極限。この場合、プロセスと補助プロセスは2つの分離された決定論的軌道を記述します。 $\alpha =0$ $X$ $Y$
のブラウン運動極限。この場合、過程はウィーナー過程（ブラウン運動とも呼ばれる）を表し、上記の結果はファインマン-カック定理によって確立されますが、補助過程は決定論的過程を表します。 $\alpha \in (0,\infty )$ $X$ $Y$
の量子極限。この場合、過程と補助過程は2つの正の相関を持つウィーナー過程を記述します。 $\alpha \in {\rm {i}}\times (0,\infty )$ $X$ $Y$
の時間反転ブラウン運動極限。この場合、過程は決定論的過程を記述し、補助過程はウィーナー過程を記述します。 $\alpha \in (-\infty ,0)$ $X$ $Y$
を伴う時間反転量子極限。この場合、過程と補助過程は2つの負の相関を持つウィーナー過程を記述する。 $\alpha \in {\rm {i}}\times (-\infty ,0)$ $X$ $Y$

初期条件または終了条件（を意味する）を伴うブラウン極限では、過程とは分離されているため、補助過程のダイナミクスは無視でき、は実ウィーナー過程によって記述されます。を伴うその他のすべてのケースでは、過程は互いに結合しているため、のダイナミクスを導出する際には補助過程を考慮する必要があります。 $u(x,t_{0})=0$ $u(x,t_{f})=0$ $u(x,t)=0\quad \forall t$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $\alpha \neq 0$ $Y$ $X$

時間反転対称性

この理論は時間反転操作の下では対称的である。 $(t,\alpha ,q)\leftrightarrow (-t,-\alpha ,-q)$

ブラウン運動の極限では理論は最大散逸的であるが、量子の極限ではユニタリ的であり、

{\frac {d}{dt}}\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y{\Big |}_{\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }=0\,.

標準的な交換関係

拡散方程式は次のように書き直すことができる。

\mp \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\pm }={\hat {H}}({\hat {x}},{\hat {p}}^{\pm },t)\,\Psi _{\pm }\,,

ここでハミルトン演算子である。これにより、位置演算子と運動量演算子を次のように導入することができる。 ${\hat {H}}$

{\hat {x}}^{i}=x^{i}\qquad {\rm {and}}\qquad {\hat {p}}_{i}^{\pm }=\pm \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\,,

ハミルトニアンはおなじみの形をとる

H({\hat {x}},{\hat {p}},t)={\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\,{\Big [}{\hat {p}}_{i}-q\,A_{i}({\hat {x}},t){\Big ]}{\Big [}{\hat {p}}_{j}-q\,A_{j}({\hat {x}},t){\Big ]}+{\mathfrak {U}}({\hat {x}},t)\,.

これらの演算子は標準的な交換関係に従う

[{\hat {x}}^{i},{\hat {p}}_{j}^{\pm }]=\mp \alpha \,\hbar \,\delta _{j}^{i}\,.

参照

注記

^ abcd ネルソン 1966.
^ abcdefg ネルソン 1985.
^ ネルソン 2014より。
^ フェニェス 1946年。
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v t e 量子力学
背景	導入歴史タイムライン古典力学古い量子論用語集
基礎	生まれながらのルールブラケット記法相補性密度行列エネルギーレベル基底状態励起状態退化したレベルゼロ点エネルギーエンタングルメントハミルトニアン干渉デコヒーレンス測定非局所性量子状態量子ジャンプ重ね合わせトンネル工事散乱理論量子力学における対称性不確実性波動関数崩壊波動粒子二重性
処方	処方ハイゼンベルク交流マトリックス力学シュレーディンガー経路積分の定式化位相空間
方程式	クライン・ゴードンディラックワイルマヨラナラリタ・シュウィンガーパウリリュードベリシュレーディンガー
解釈	ベイズ意識は崩壊を引き起こす一貫した歴史コペンハーゲンド・ブロイ＝ボームアンサンブル隠し変数地元超決定論多世界目標の崩壊量子論理リレーショナルトランザクション
実験	ベルテストデイヴィソン・ゲルマー遅延選択量子消去二重スリットフランク・ヘルツマッハ・ツェンダー干渉計エリツァル・ヴァイドマンポッパー量子消しゴムシュテルン・ゲルラッハウィーラーの遅れた選択
科学	量子生物学量子化学量子カオス量子宇宙論量子微分積分量子力学量子幾何学量子測定問題量子心量子確率計算量子時空
テクノロジー	量子アルゴリズム量子増幅器量子バス量子セルオートマトン量子有限オートマトン量子チャネル量子回路量子複雑性理論量子コンピューティングタイムライン量子暗号量子エレクトロニクス量子誤り訂正量子イメージング量子画像処理量子情報量子鍵配送量子論理量子論理ゲート量子マシン量子機械学習量子メタマテリアル量子計測学量子ネットワーク量子ニューラルネットワーク量子光学量子プログラミング量子センシング量子シミュレータ量子テレポーテーション
拡張機能	量子ゆらぎカシミール効果量子統計力学量子場理論歴史量子重力相対論的量子力学
関連している	シュレーディンガーの猫大衆文化の中でウィグナーの友人 EPRパラドックス量子神秘主義
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