Dimensionless number characterising the behavior of particles suspended in a fluid flow
ストークス数の変化による影響の図解。オレンジと緑の軌道は、それぞれストークス数が小さい場合と大きい場合です。オレンジ色の曲線は、ストークス数が1未満の粒子が流線（青）に沿って進む軌道です。一方、緑の曲線はストークス数が1より大きい場合の軌道で、粒子は流線に沿って進みません。この粒子は、黄色で示された点で障害物の1つ（茶色の円）に衝突します ストークス 数 （ Stk ）は、 ジョージ・ガブリエル・ストークス にちなんで名付けられた 、 流体の流れ の中に 懸濁した 粒子の挙動を特徴付ける 無次元数です。ストークス数は、粒子（または 液滴 ）の特性時間と流れまたは障害物の特性時間 の比として定義されます。
S t k = t 0 u 0 l 0 {\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {t_{0}\,u_{0}}{l_{0}}}} ここで 、 は粒子の 緩和時間 （抗力による粒子速度の指数関数的減衰における時定数）、 は障害物から十分離れた流れの流体速度、 は 障害物の特性寸法（通常は障害物の直径）または流れの特性長さスケール（境界層の厚さなど）です。 [1] ストークス数の低い粒子は流体の流線に沿って進みます（完全な 移流 ）が、ストークス数の高い粒子は慣性によって支配され、最初の軌道に沿って進み続けます。 t 0 {\displaystyle t_{0}} u 0 {\displaystyle u_{0}} l 0 {\displaystyle l_{0}}
ストークス流れ の場合 、つまり粒子（または液滴）の レイノルズ数が 約1未満の場合には、粒子の 抗力係数 はレイノルズ数自体に反比例します。この場合、粒子の特性時間は次のように表されます。 ここで 、は粒子 密度 、 は粒子径、 は流体の 動粘性 です。 [2] t 0 = ρ p d p 2 18 μ g {\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}} ρ p {\displaystyle \rho _{p}} d p {\displaystyle d_{p}} μ g {\displaystyle \mu _{g}}
実験流体力学において、ストークス数は 粒子画像流速測定法（PIV） 実験におけるフロートレーサーの忠実度を表す指標であり、PIV実験では、非常に小さな粒子を乱流に巻き込み、光学的に観測することで流体の動きの速度と方向（流体の 速度場 とも呼ばれる）を決定します。許容できるトレース精度を得るには、粒子の応答時間が流れの最小時間スケールよりも速くなければなりません。ストークス数が小さいほどトレース精度は高くなります。 の場合 、特に流れが急激に減速する場所では、粒子は流れから離れます。 の場合 、粒子は流体の流線に沿って移動します。 の場合 、トレース精度の誤差は1%未満です。 [3] S t k ≫ 1 {\displaystyle \mathrm {Stk} \gg 1} S t k ≪ 1 {\displaystyle \mathrm {Stk} \ll 1} S t k < 0.1 {\displaystyle \mathrm {Stk} <0.1}
粒子画像流速測定法（PIV）における緩和時間と追跡誤差 PIVの追跡精度における2種類の粒子サイズの比較。 プロピレングリコール の模擬粒子（青い点）がよどみ点流れ場（灰色の流線）内を移流している様子。1mmの粒子はよどみ点板に衝突するのに対し、0.1mmの粒子は流線に沿って移動している点に注目してください。 前述のように、ストークス数はPIVデータセットの品質を推定する手段を提供します。しかし、特性速度または長さスケールの定義は、すべてのアプリケーションで明確であるとは限りません。したがって、ストークス領域における粒子の微分方程式を定義するだけで、追跡遅延がどのように発生するかについてより深い洞察を得ることができます。ある速度で流体とともに移動する粒子は、 移流する際に変化する流体速度場に遭遇します。粒子のラグランジュ座標系における流体の速度を と仮定しましょう 。これらの速度の差が、粒子の経路を修正するために必要な抗力を生み出します。 v p ( t ) {\displaystyle v_{p}(t)} v f ( t ) {\displaystyle v_{f}(t)}
Δ v ( t ) = v f ( t ) − v p ( t ) {\displaystyle \Delta v(t)=v_{f}(t)-v_{p}(t)}
ストークスの抗力は次のようになります。
F D = 3 π μ d p Δ v {\displaystyle F_{D}=3\pi \mu d_{p}\Delta v}
粒子の質量は次のとおりです。
m p = ρ p 4 3 π ( d p 2 ) 3 = ρ p π d p 3 6 {\displaystyle m_{p}=\rho _{p}{\frac {4}{3}}\pi {\bigg (}{\frac {d_{p}}{2}}{\bigg )}^{3}=\rho _{p}{\frac {\pi d_{p}^{3}}{6}}}
したがって、粒子の加速度はニュートンの第二法則を通じて求められます。
d v p ( t ) d t = F D m p = 18 μ d p 2 ρ p Δ v ( t ) {\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {F_{D}}{m_{p}}}={\frac {18\mu }{{d_{p}}^{2}\rho _{p}}}\Delta v(t)}
緩和時間を 次のように置き換えることができることに注意してください。 t 0 = ρ p d p 2 18 μ g {\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}}
d v p ( t ) d t = 1 t 0 Δ v ( t ) {\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {1}{t_{0}}}\Delta v(t)}
上記の1階微分方程式は ラプラス変換 法によって解くことができます。
t 0 s v p ( s ) = v f − v p ( s ) {\displaystyle t_{0}sv_{p}(s)=v_{f}-v_{p}(s)} v p ( s ) v f ( s ) = 1 t 0 s + 1 {\displaystyle {\frac {v_{p}(s)}{v_{f}(s)}}={\frac {1}{t_{0}s+1}}}
上記の解は、周波数領域において、特性時間 を持つ1次システムを特徴づける 。したがって、-3 dBゲイン（カットオフ）周波数は次のようになる。 t 0 {\displaystyle t_{0}}
f − 3 dB = 1 2 π t 0 {\displaystyle f_{-3{\text{ dB}}}={\frac {1}{2\pi t_{0}}}}
サイド パネルにプロットされたカットオフ周波数と粒子伝達関数により、非定常流れアプリケーションでの PIV エラーと、それが乱流スペクトル量および運動エネルギーに与える影響を評価できます。
異なる粒子径の空気中のプロピレングリコール粒子のボード線図。
衝撃波を通過する粒子 前のセクションで説明した粒子追跡におけるバイアス誤差は周波数領域では明らかですが、粒子の運動を追跡して流れ場の測定を行う場合（ 粒子画像流速測定法 など）には、その影響を捉えるのが難しい場合があります。上記の微分方程式に対する単純でありながら洞察に富んだ解は、強制関数が ヘヴィサイドの階段関数（衝撃波を通過する粒子を表す）である場合に可能です。この場合、 は衝撃波の上流の流速であり、 は 衝撃波前後の速度低下です。 v f ( t ) = V u − Δ V H ( t ) {\displaystyle v_{f}(t)=V_{u}-\Delta VH(t)} V u {\displaystyle V_{u}} Δ V {\displaystyle \Delta V}
粒子のステップ応答は単純な指数関数です。
v p ( t ) = ( V u − Δ V ) + Δ V e − t / t 0 {\displaystyle v_{p}(t)=(V_{u}-\Delta V)+\Delta Ve^{-t/t_{0}}}
時間の関数としての速度を、距離の関数としての粒子速度分布に変換するには、方向への1次元の速度ジャンプを仮定します。 衝撃波の位置が であると 仮定し、前の式を積分すると、次の式が得られます。 x {\displaystyle x} x = 0 {\displaystyle x=0}
x particle = ∫ 0 Δ t v p ( t ) d t = ∫ 0 Δ t ( V u − Δ V ) d t + ∫ 0 Δ t Δ V e − t / t 0 d t {\displaystyle x_{\text{particle}}=\int _{0}^{\Delta t}v_{p}(t)dt=\int _{0}^{\Delta t}(V_{u}-\Delta V)dt+\int _{0}^{\Delta t}\Delta Ve^{-t/t_{0}}dt}
x particle = Δ t ( V u − Δ V ) + Δ t Δ V ( 1 − e − Δ t / t 0 ) {\displaystyle x_{\text{particle}}=\Delta t(V_{u}-\Delta V)+\Delta t\Delta V(1-e^{-\Delta t/t_{0}})}
緩和時間 （速度が 95% 変化するまでの時間）を考慮すると、次のようになります。 Δ t = 3 t 0 {\displaystyle \Delta t=3t_{0}}
x particle , 95 % = 3 t 0 ( V u − Δ V ) + 3 t 0 Δ V ( 1 − e − 3 ) {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-\Delta V)+3t_{0}\Delta V(1-e^{-3})}
x particle , 95 % = 3 t 0 ( V u − 0.05 Δ V ) {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-0.05\Delta V)}
これは、粒子速度が 衝撃波から下流の速度の5%以内に収束することを意味します。実際には、PIVシステムでは、衝撃波はおよそこの 距離だけぼやけて見えることになります。 x particle , 95 % {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}} x particle , 95 % {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}}
たとえば、よどみ点温度 298 K で マッハ数 の通常の衝撃波を考えてみましょう。のプロピレングリコール粒子は 流れを だけぼかしますが 、 は 流れを だけぼかします (ほとんどの場合、許容できない PIV 結果が生成されます)。 M = 2 {\displaystyle M=2} d p = 1 μ m {\displaystyle d_{p}=1~\mu {\text{m}}} x particle , 95 % = 5 mm {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=5{\text{ mm}}} d p = 10 μ m {\displaystyle d_{p}=10~\mu {\text{m}}} x particle , 95 % = 500 mm {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=500{\text{ mm}}}
衝撃波は流れの急激な減速の最悪のシナリオですが、PIV における粒子追跡誤差の影響を示しており、その結果、オーダーの長さスケールで取得された速度場がぼやけてしまいます 。 x particle , 95 % {\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}}
非ストークス抗力領域 前述の分析は、超ストークス領域、つまり粒子レイノルズ数が1よりはるかに大きい場合では正確ではありません。マッハ数が1よりはるかに小さいと仮定すると、ストークス数の一般化された形がイスラエルとロスナーによって実証されました。 [4]
Stk e = Stk 24 Re o ∫ 0 Re o d Re ′ C D ( Re ′ ) Re ′ {\displaystyle {\text{Stk}}_{\text{e}}={\text{Stk}}{\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}
「粒子自由流レイノルズ数」は どこにありますか？ Re o {\displaystyle {\text{Re}}_{o}}
Re o = ρ g | u | d p μ g {\displaystyle {\text{Re}}_{o}={\frac {\rho _{g}|\mathbf {u} |d_{p}}{\mu _{g}}}}
追加の関数 は次のように定義される。 [4] これは非ストークス抗力補正係数を記述する。 ψ ( Re o ) {\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})}
Stk e = Stk ⋅ ψ ( Re o ) {\displaystyle {\text{Stk}}_{e}={\text{Stk}}\cdot \psi ({\text{Re}}_{o})}
この関数は次のように定義されます。
ψ {\displaystyle \psi } 球状粒子の非ストークス抗力補正係数を表す ψ ( Re o ) = 24 Re o ∫ 0 Re o d Re ′ C D ( Re ′ ) Re ′ {\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}
限界粒子自由流レイノルズ数を考慮すると、 となり 、 したがって となる 。したがって、予想通り、ストークス抗力領域では補正係数は1となる。Wessel & Righi [5] は、Schiller & Naumann [6] による球面抗力に関する経験的相関式 を用いて を評価した。 Re o → 0 {\displaystyle {\text{Re}}_{o}\to 0} C D ( Re o ) → 24 / Re o {\displaystyle C_{D}({\text{Re}}_{o})\to 24/{\text{Re}}_{o}} ψ → 1 {\displaystyle \psi \to 1} ψ {\displaystyle \psi } C D ( Re ) {\displaystyle C_{D}({\text{Re}})}
ψ ( Re o ) = 3 ( c Re o 1 / 3 − arctan ( c Re o 1 / 3 ) ) c 3 / 2 Re o {\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {3({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}-\arctan({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}))}{c^{3/2}{\text{Re}}_{o}}}}
ここで、定数は です 。従来のストークス数は、大きな粒子の自由流レイノルズ数に対する抗力を大幅に過小評価します。その結果、粒子が流体の流れ方向から離れる傾向が過大評価されます。これは、後続の計算や実験の比較において誤差につながります。 c = 0.158 {\displaystyle c=0.158}
粒子の非等速サンプリングへの応用 例えば、整列した薄壁の円形ノズルによる粒子の選択的捕捉は、BelyaevとLevin [7] によって次のように示されています。
c / c 0 = 1 + ( u 0 / u − 1 ) ( 1 − 1 1 + S t k ( 2 + 0.617 u / u 0 ) ) {\displaystyle c/c_{0}=1+(u_{0}/u-1)\left(1-{\frac {1}{1+\mathrm {Stk} (2+0.617u/u_{0})}}\right)}
ここで 、は粒子濃度、 は速度、添え字の0はノズルからかなり上流にある状態を示します。特性距離はノズルの直径です。ここでストークス数は次のように計算されます。 c {\displaystyle c} u {\displaystyle u}
S t k = u 0 V s d g {\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {u_{0}V_{s}}{dg}}}
ここで 、は粒子の沈降速度、 はサンプリングチューブの内径、は 重力加速度です。 V s {\displaystyle V_{s}} d {\displaystyle d} g {\displaystyle g}
参照 ストークスの法則 - レイノルズ数が1未満の粒子に対する流体中の抗力について [8]
参考文献 ^ Raffel, M.; Willert, CE; Scarano, F.; Kahler, CJ; Wereley, ST; Kompenhans, J. (2018). 粒子画像流速測定法 （第3版）. スイス [ua]: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-68851-0 。 ^ ブレネン、クリストファー・E. (2005). 『多相流の基礎』 （再版）. ケンブリッジ [ua]: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521848046 。 ^ キャメロン・トロペア、アレクサンダー・ヤリン、ジョン・フォス編 (2007年10月9日)。 シュプリンガー実験流体力学ハンドブック 。シュプリンガー 。ISBN 978-3-540-25141-5 。 ^ ab Israel, R.; Rosner, DE (1982-09-20). 「一般化ストークス数を用いた圧縮性気体流からの非ストークス粒子の空力的捕捉効率の決定」 エアロゾル科学技術 . 2 (1): 45– 51. Bibcode :1982AerST...2...45I. doi :10.1080/02786828308958612. ISSN 0278-6826 ^ Wessel, RA; Righi, J. (1988-01-01). 「円筒上への粒子の慣性衝突に関する一般化相関」 エアロゾル科学技術 . 9 (1): 29– 60. Bibcode :1988AerST...9...29W. doi : 10.1080/02786828808959193 . ISSN 0278-6826. ^ L、シラー、Z. ナウマン (1935)。 「Uber die grundlegenden Berechnung bei der Schwerkraftaufbereitung」。 Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure 。 77 : 318–320 . ^ Belyaev, SP; Levin, LM (1974). 「代表的エアロゾルサンプルの採取技術」 エアロゾル科学 . 5 (4): 325– 338. Bibcode :1974JAerS...5..325B. doi :10.1016/0021-8502(74)90130-X. ^ Dey, S; Ali, SZ; Padhi, E (2019). 「終端落下速度：流水力学の観点から見たストークスの遺産」 Proceedings of the Royal Society A . 475 (2228). Bibcode :2019RSPSA.47590277D. doi : 10.1098/rspa.2019.0277 . PMC 6735480. PMID 31534429. 20190277.
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