ストークス問題

流体力学において、ストークス問題（ストークス第二問題とも呼ばれる）、あるいはストークス境界層、振動境界層とも呼ばれる問題は、振動する固体表面によって生じる流れを決定する問題であり、ジョージ・ストークス卿にちなんで名付けられました。これは、ナビエ・ストークス方程式の厳密解を持つ最も単純な非定常問題の一つと考えられています。^[1]^[2]乱流においても、これは依然としてストークス境界層と呼ばれていますが、流れに関する有用な情報を得るには、実験、数値シミュレーション、または近似法に頼る必要があります。

フローの説明

出典: ^[3]^[4]

無限長の板が方向の速度で振動しており、その板は流体の無限領域に位置している。ここでは振動周波数である。非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は次のように帰着する。 $U\cos \omega t$ $x$ $y=0$ $\omega$

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

ここでは動粘性係数である。圧力勾配は問題には関係しない。壁面における滑りのない初期状態は $\nu$

u(0,t)=U\cos \omega t,\quad u(\infty ,t)=0,

2番目の境界条件は、無限遠では運動が感じられないという事実に起因します。流れはプレートの運動のみによるものであり、圧力勾配は課されていません。 $y=0$

解決

出典: ^[5]^[6]

周期性のため初期条件は不要である。方程式と境界条件はともに線形であるため、速度はある複素関数の実部として表すことができる。

u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]

なぜなら。 $\cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]$

これを偏微分方程式に代入すると常微分方程式になる。

f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0

境界条件付き

f(0)=1,\quad f(\infty )=0

上記の問題の解決策は

f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]

u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)

振動板によって生じる擾乱は、流体中を横波として伝播しますが、指数関数によって大きく減衰します。この波の浸透深さは、振動周波数とともに減少しますが、流体の動粘性とともに増大します。 $\delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}$

流体によってプレートに及ぼされる単位面積あたりの力は

F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)

プレートの振動と発生する力の間には位相のずれがあります。

境界付近の渦度振動

振動ストークス流に対するストークスの解から得られる重要な観察結果は、渦度振動が薄い境界層に限定され、壁から離れるにつれて指数関数的に減衰することである。 ^[7]この観察結果は乱流境界層の場合にも有効である。ストークス境界層（多くの場合、流体体積の大部分を占める）の外側では、渦度振動は無視できる。良好な近似として、流速振動は境界層外側では非回転であり、運動の振動部分にポテンシャル流理論を適用することができる。これにより、これらの流れの問題の解法が大幅に簡素化され、音波や水波の非回転流れ領域でよく適用される。

上壁で囲まれた流体

流体領域が高さにある上部の静止壁で囲まれている場合、流速は次のように表される。 $y=h$

u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]

どこ。 $\lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}$

自由表面で囲まれた流体

流体領域の範囲が自由表面を表すと仮定すると、 1968年にChia-Shun Yih ^[8]によって示された解は次のように与えられる。 $0<y<h$ $y=h$

u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(W-W^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}

ここで、およびは、 $\delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}$ $W^{*}$ $W.$

平面剛板近傍の振動圧力勾配による流れ

遠方場流速の正弦波振動によるストークス境界層。水平方向の速度は青線で、対応する水平方向の粒子変位は赤点で示されています。

振動する遠方場流れの場合、平板は静止しており、解の線形重ね合わせを用いることで、振動する平板の前述の解から容易に構成できる。平板から遠く離れた場所では一様な速度振動があり、平板では速度が零であるとする。元の問題における静止流体とは異なり、ここでは無限遠における圧力勾配は時間の調和関数でなければならない。したがって、解は次のように与えられる。 $u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t$ $u(0,t)=0$

u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],

これは壁面y = 0ではゼロであり、静止壁面の滑りなし条件に対応します。この状況は、固体壁近傍の音波や、水波における海底近傍の流体運動でよく見られます。静止壁面近傍の振動流の渦度は、振動板の場合の渦度と等しく、符号が逆になります。

円筒幾何学におけるストークス問題

ねじり振動

無限に長い半径の円筒が、角速度（ここでは周波数）でねじり振動しているとする。すると、速度は初期の過渡期を経て^{[9]に近づく。} $a$ $\Omega \cos \omega t$ $\omega$

v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]

ここで、は第二種修正ベッセル関数である。この解は実引数^[10]を用いて次のように表される。 $K_{1}$

{\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}

どこ

\Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},

$\mathrm {kei}$ およびはケルビン関数であり、はとして定義される無次元振動レイノルズ数であり、は動粘性です。 $\mathrm {ker}$ $R_{\omega }$ $R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu$ $\nu$

軸振動

円筒が軸方向に速度で振動する場合、速度場は $U\cos \omega t$

u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]

ここで、第 2 種の修正ベッセル関数です。 $K_{0}$

ストークス・クエット流

出典: ^[11]

クエット流れでは、板の片方の並進運動の代わりに、片方の面の振動が起こります。底壁がで静止し、上壁がで速度で振動運動しているとすると、速度場は次のように表されます。 $y=0$ $y=h$ $U\cos \omega t$

u=U\ \Re \left\{e^{-i\omega t}{\frac {\sin ky}{\sin kh}}\right\},\quad {\text{where}}\quad k={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}.

移動面上の単位面積あたりの摩擦力は、固定面上の単位面積あたりの摩擦力はです。 $-\mu U\Re \{k\cot kh\}$ $\mu U\Re \{k\csc kh\}$

参照

レイリー問題

参考文献

^ Wang, CY (1991). 「定常ナビエ・ストークス方程式の厳密解」. Annual Review of Fluid Mechanics . 23 : 159–177 . Bibcode :1991AnRFM..23..159W. doi :10.1146/annurev.fl.23.010191.001111.
^ ランドー＆リフシッツ（1987年）、83-85頁。
^ バチェラー、ジョージ・キース著『流体力学入門』ケンブリッジ大学出版局、2000年。
^ ラガーストロム、パコ・アクセル著『層流理論』プリンストン大学出版局、1996年。
^ アチソン、デイビッド・J. 初等流体力学. オックスフォード大学出版局, 1990.
^ ランダウ、レフ・ダビドヴィッチ、エフゲニー・ミハイロヴィッチ・リフシッツ。「流体力学」。（1987年）。
^ フィリップス（1977年）、46ページ。
^ Yih, CS (1968). 非定常流れまたは非定常形状の不安定性パート1. 振動面上の水平液層の不安定性. 流体力学ジャーナル, 31(4), 737-751.
^ Drazin, Philip G.、 Norman Riley . ナビエ・ストークス方程式：流れの分類と厳密解. 第334号. Cambridge University Press, 2006.
^ Rivero, M.; Garzón, F.; Núñez, J.; Figueroa, A. (2019). 「ねじり振動する円筒によって誘起される流れの研究」. European Journal of Mechanics - B/Fluids . 78 : 245– 251. Bibcode :2019EuJMB..78..245R. doi :10.1016/j.euromechflu.2019.08.002. S2CID 201253195.
^ Landau, LD, Sykes, JB (1987). 流体力学: 第6巻. pp. 88

[1] Wang, CY (1991). 「定常ナビエ・ストークス方程式の厳密解」. Annual Review of Fluid Mechanics . 23 : 159–177 . Bibcode :1991AnRFM..23..159W. doi :10.1146/annurev.fl.23.010191.001111.

[2] ランドー＆リフシッツ（1987年）、83-85頁。

[3] バチェラー、ジョージ・キース著『流体力学入門』ケンブリッジ大学出版局、2000年。

[4] ラガーストロム、パコ・アクセル著『層流理論』プリンストン大学出版局、1996年。

[5] アチソン、デイビッド・J. 初等流体力学. オックスフォード大学出版局, 1990.

[6] ランダウ、レフ・ダビドヴィッチ、エフゲニー・ミハイロヴィッチ・リフシッツ。「流体力学」。（1987年）。

[Phil46-7] フィリップス（1977年）、46ページ。

[8] Yih, CS (1968). 非定常流れまたは非定常形状の不安定性パート1. 振動面上の水平液層の不安定性. 流体力学ジャーナル, 31(4), 737-751.

[9] Drazin, Philip G.、 Norman Riley . ナビエ・ストークス方程式：流れの分類と厳密解. 第334号. Cambridge University Press, 2006.

[10] Rivero, M.; Garzón, F.; Núñez, J.; Figueroa, A. (2019). 「ねじり振動する円筒によって誘起される流れの研究」. European Journal of Mechanics - B/Fluids . 78 : 245– 251. Bibcode :2019EuJMB..78..245R. doi :10.1016/j.euromechflu.2019.08.002. S2CID 201253195.

[11] Landau, LD, Sykes, JB (1987). 流体力学: 第6巻. pp. 88

v t e 海洋物理学
波	エアリー波理論バランタインスケールベンジャミン・フェア不安定性ブシネスク近似砕ける波クラポティスクノイド波海を渡る分散エッジウェーブ赤道波重力波グリーンの法則インフラグラビティ波内部波イリバレン数ケルビン波運動波沿岸漂流物ルークの変分原理ミッシュ基準緩やかな傾斜の方程式放射線ストレス異常波ドラウプナー波ロスビー波ロスビー重力波海の状態セイシュ有義波高ソリトンストークスドリフトストークス問題ストークス波うねりトロコイド波津波メガ津波逆流ウルセル数波の作用ウェーブベース波の高さ波の非線形性波力発電波動レーダーウェーブセットアップ波の浅瀬化波乱流波と流れの相互作用波と浅瀬 1 次元のサン・ヴナン方程式浅水方程式風のフェッチ風のセットアップ風波モデル
循環	大気循環気圧傾斜境界電流コリオリの力コリオリ・ストークス力クレイク・ライボビッチ渦力ダウンウェリングエディエクマン層エクマン螺旋エクマン輸送エルニーニョ – 南方振動大循環モデル地球化学海洋セクション研究地衡流全球海洋データ分析プロジェクトメキシコ湾流フンボルト海流熱水循環ラングミュア循環沿岸漂流物ループ電流モジュラー海洋モデル海流海洋動的サーモスタット海洋ダイナミクス海洋環流オーバーフロープリンストン海洋モデル離岸流海底海流スヴェルドラップバランス熱塩循環シャットダウン湧昇ワールプール風力発電による電流世界海洋循環実験
潮汐	両泳動点地球の潮汐潮の満ち引き内部潮流月潮間隔近地点大潮離岸流 12分の1の法則緩潮潮汐の理論潮汐波潮汐力潮力発電潮汐競争潮位差潮汐共鳴潮位計潮線
地形	アビサルファン深海平原環礁水深図炭酸塩プラットフォーム沿岸地理冷水湧出大陸棚大陸の隆起大陸棚輪郭線ギヨー水路測量ノールオーシャンバンク海洋盆地海洋高原海溝パッシブマージン海底海山海底峡谷海底火山
プレートテクトニクス	収束境界発散境界破砕帯熱水噴出孔海洋地質学中央海嶺モホロヴィチッチ不連続性海洋地殻外海溝隆起リッジプッシュ海底拡大スラブプルスラブ吸引スラブ窓沈み込み変換断層ヴァイン・マシューズ・モーリー仮説火山弧
海洋ゾーン	底生生物深層海洋水深海沿岸中深海海洋外洋性光子サーフィンスワッシュ
海面	深海津波評価と報告全球海面観測システム北西棚運用海洋学システム海面曲線海面低下海面上昇世界測地系
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