ストークス流関数

流体力学において、ストークス流線関数は、軸対称の三次元非圧縮流れにおける流線と流速を記述するために使用されます。ストークス流線関数の値が一定である面は、流速ベクトルに対してどの位置でも接線となる流管を囲みます。さらに、この流管内の体積流束は一定であり、流れのすべての流線はこの面上に位置します。ストークス流線関数に関連する速度場はソレノイド状であり、発散はゼロです。この流線関数は、ジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられました。

円筒座標

円筒座標系（ ρ 、 φ 、 z ）を考える。z軸は非圧縮性流れが軸対称となる直線、φは方位角、ρはz軸からの距離である。この場合_、流速成分uρとuz_はストークス流関数を用いて次のように表される。^[1] $\Psi$

{\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}

方位角速度成分u _{φ は}流れ関数に依存しません。軸対称性のため、3つの速度成分（ u _ρ 、 u _φ 、 u _z ）はすべてρとzのみに依存し、方位角φには依存しません。

ストークス流関数の定数値ψで囲まれた表面を通る体積流束は、2π ψに等しくなります。

球座標

球座標（ r , θ , φ ）において、 rは原点からの半径距離、θは天頂角、φは方位角である。回転対称軸θ = 0の軸対称流れにおいては、流れを記述する量は方位角φ に依存しない。流速成分u _rとu _θは、ストークス流関数と以下の関係にある：^[2] $\Psi$

{\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}

繰り返しますが、方位角速度成分u _{φ は}ストークス流関数ψの関数ではありません。一定ψの面積で囲まれた流管を通過する体積流束は、前述のように2π ψに等しくなります。

渦度

渦度は次のように定義されます:

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}

、どこ

{\boldsymbol {\psi }}={\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},

単位ベクトルは- 方向にあります。 ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ $\phi \,$

ストークス流関数を用いた渦度の導出

{\boldsymbol {\omega }}

次のように定義される渦度を考えてみましょう。

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.

球座標における回転の定義から：

{\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(u_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}

まず、との要素が 0 に等しいことに注目してください。次に、とをに代入すると、結果は次のようになります。 $r$ $\theta$ $u_{r}$ $u_{\theta }$ $\omega _{\phi }.$

{\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}

次に次の代数演算が実行されます。

{\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}

結果として、計算から渦度ベクトルは次のようになることがわかります。

{\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.

円筒形との比較

円筒座標系と球座標系は、

z=r\,\cos \theta \,

そして

\rho =r\,\sin \theta .\,

反対の符号による代替定義

一般的な流れ関数の記事で説明したように、ストークス流れ関数と流速の関係については、反対の符号規則を使用した定義も使用されています。^[3]

ゼロ発散

円筒座標では、速度場uの発散は次のようになる: ^[4]

{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}

非圧縮性の流れの場合に予想されるとおりです。

球座標では^[5]

{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}

一定流線関数の曲線としての流線

微積分学から、勾配ベクトルは曲線に垂直であることが分かっています（例えば、等高線集合#等高線集合と勾配を参照）。の式を用いてがに関してどこでもであることが示されれば、の等高線は流線であることが証明されます。 $\nabla \Psi$ $\Psi =C$ ${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,$ ${\boldsymbol {u}}$ $\Psi ,$ $\Psi$

円筒座標

円筒座標では、

\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}

。

そして

{\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.

となることによって

\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.

球座標

そして球座標では

\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }

そして

{\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.

となることによって

\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.

注記

^ バチェラー（1967年）、78ページ。
^ バチェラー（1967年）、79ページ。
^ 例えば、Brenner, Howard (1961). 「粘性流体中を球が平面に向かってゆっくりと移動する」.化学工学科学. 16 ( 3–4 ): 242– 251. Bibcode :1961ChEnS..16..242B. doi :10.1016/0009-2509(61)80035-3.
^ バチェラー（1967年）、602ページ。
^ バチェラー（1967年）、601ページ。

参考文献

バチェラー、GK（1967年）『流体力学入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-66396-2。
ラム, H. (1994).流体力学（第6版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-45868-9。1879 年に初版が出版され、第 6 版が 1932 年に初めて出版されました。
ストークス, GG (1842). 「非圧縮性流体の定常運動について」.ケンブリッジ哲学協会紀要. 7 : 439–453 .書誌コード:1848TCaPS...7..439S.
再録：Stokes, GG (1880). Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. pp. 1–16.

[1] バチェラー（1967年）、78ページ。

[2] バチェラー（1967年）、79ページ。

[3] 例えば、Brenner, Howard (1961). 「粘性流体中を球が平面に向かってゆっくりと移動する」.化学工学科学. 16 ( 3–4 ): 242– 251. Bibcode :1961ChEnS..16..242B. doi :10.1016/0009-2509(61)80035-3.

[4] バチェラー（1967年）、602ページ。

[5] バチェラー（1967年）、601ページ。