ストークス力学

ストークス力学^{[ 1 ]}は、ブラウン運動粒子に対するニュートンの第 2 法則の関連形式であるランジュバン方程式 を解く手法です。この手法では、周囲の流体に対しては連続体近似が有効なまま、懸濁粒子を離散的に扱います。つまり、懸濁粒子は一般に溶媒の分子よりも大幅に大きいと仮定します。粒子は連続体流体を介して伝達される流体力によって相互作用し、粒子のレイノルズ数が小さい場合、これらの力は線形ストークス方程式によって決定されます (これが手法の名前の由来です)。さらに、この手法では、流体の変動運動から生じるブラウン力などの非流体力や、粒子間力または外力も解析できます。したがって、ストークス力学は、沈降、拡散、レオロジーなどのさまざまな問題に適用でき、分子動力学が物質の統計的特性に対して行うのと同じレベルの理解を、多相粒子系に対して提供することを目指しています。半径 の剛体粒子が粘度と密度の非圧縮ニュートン流体中に浮遊している場合、流体の運動はナビエ・ストークス方程式によって支配され、粒子の運動は結合した運動方程式によって記述されます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

上記の式で、は 6 N次元の粒子並進/回転速度ベクトルです。は流体力、すなわち流体と粒子間の相対運動によって粒子に及ぼされる力です。は流体粒子の熱運動による確率論的ブラウン力です。は決定論的な非流体力で、ほぼあらゆる形態の粒子間力または外力、例えば同種の荷電粒子間の静電反発力などが考えられます。ブラウン動力学はランジュバン方程式を解く一般的な手法の 1 つですが、ブラウン動力学における流体相互作用は非常に単純化されており、通常は孤立した物体の抵抗のみが含まれます。 一方、ストークス動力学には多くの物体間の流体相互作用が含まれます。 流体相互作用は、せん断された懸濁液などの非平衡懸濁液にとって非常に重要であり、その微細構造、ひいては特性に重要な役割を果たします。 ストークス動力学は主に非平衡懸濁液に使用され、実験と一致する結果が得られることが示されている。^{[ 2 ]} ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$

流体力学的相互作用

粒子スケールの運動において粒子レイノルズ数が小さい場合、体積線形せん断流を受ける懸濁液中の粒子に作用する流体力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

ここで、は粒子中心で評価されたバルクせん断流の速度、は速度勾配テンソルの対称部分、 およびは、流体に対する粒子の運動（）および強制せん断流（ ）による粒子に作用する流体力／トルクを与える、配置依存の抵抗行列です。行列の添え字は、運動量（ ）と動力学量（ ）の結合を示していることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

ストークス力学の重要な特徴の一つは、流体力学的相互作用の取り扱い方であり、多数の粒子に対して計算量を制限することなく（境界積分法のように）かなり正確に計算できる。古典的なストークス力学では、 Nを系（通常は周期的な箱）内の粒子数とする演算が必要となる。近年の進歩により、計算コストは​​約^{[ 3 ] [ 4 ]にまで削減されている。} ${\displaystyle O(N^{3})}$ ${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$

ブラウン力

確率力またはブラウン運動力は流体の熱変動から生じ、次のような特徴があります。 ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)}$

角括弧はアンサンブル平均、はボルツマン定数、は絶対温度、はデルタ関数を表します。時刻と時刻 におけるブラウン力の相関の振幅は、N体系の揺らぎ散逸定理から生じます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

参照

• 浸漬境界法
• 確率的オイラーラグランジアン法

参考文献

1. Brady, John; Bossis, Georges (1988). 「ストークス力学」 . Annu. Rev. Fluid Mech . 20 : 111–157 . Bibcode : 1988AnRFM..20..111B . doi : 10.1146/annurev.fl.20.010188.000551 .
2. 瀬戸 良平; ロマン・マリ (2013). 「摩擦性剛体球懸濁液の不連続せん断増粘」. Phys. Rev. Lett . 111 (21) 218301. arXiv : 1306.5985 . Bibcode : 2013PhRvL.111u8301S . doi : 10.1103/ PhysRevLett.111.218301 . PMID 24313532. S2CID 35020010 .  
3. Brady, John; Sierou, Asimina (2001). 「加速ストークス力学シミュレーション」(PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 448 (1): 115– 146. Bibcode : 2001JFM...448..115S . doi : 10.1017/S0022112001005912 . S2CID 119505431 . 
4. Banchio, Adolfo J.; John F. Brady (2003). 「加速ストークスダイナミクス：ブラウン運動」（PDF） . Journal of Chemical Physics . 118 (22): 10323. Bibcode : 2003JChPh.11810323B . doi : 10.1063/1.1571819 .

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