ストラン分割

応用数学において、ストラング分割法は、微分作用素の和に分解可能な微分方程式を解く数値的手法である。ギルバート・ストラングにちなんで名付けられた。これは、流体力学における化学反応など、時間スケールが大きく異なる作用素を含む問題の計算を高速化したり、多次元偏微分方程式を一次元問題の和に縮約して解いたりするのに用いられる。

分数ステップ法

ストラング分割の前段階として、次のような微分方程式を考える。

{\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})+L_{2}({y})

ここで、は微分演算子である。とが定数係数行列である場合、関連する初期値問題の正確な解は次のようになる。 $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$

y(t)=e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}

。

とが可換ならば、指数法則によりこれは次式と等しくなります。 $L_{1}$ $L_{2}$

y(t)=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}

。

そうでない場合でも、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式により、2次の誤差を犠牲にして、和の指数を指数の積に置き換えることは可能です。

e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(t^{2})

。

これにより、元の初期問題を解く代わりに、両方のサブ問題を交互に解く数値スキームが生成されます。

{\チルダ {y}}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}

y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\チルダ {y}}_{1}

{\チルダ {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}

y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\チルダ {y}}_{2}

等

この文脈では、部分問題を解く数値スキームは $e^{L_{1}\Delta t}$

{\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})

一次まで。このアプローチは線形問題に限定されず、任意の微分演算子に適用できます。 $L_{1}$

ストラン分割は、演算順序を変更することで、このアプローチを2次まで拡張します。各演算子で完全な時間ステップを実行する代わりに、以下のように時間ステップを実行します。

{\チルダ {y}}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{0}

{\bar {y}}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\チルダ {y}}_{1}

y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{1}

{\チルダ {y}}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{1}

{\bar {y}}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}

y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{2}

等

ストラング分割が2次のものであることは、ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式、根付き木解析、あるいはテイラー展開を用いた誤差項の直接比較のいずれかを用いて証明できる。この手法が2次の精度を持つためには、解演算子も2次の近似でなければならない。 $e^{\cdots}$

ストラング、ギルバート.差分スキームの構築と比較について. SIAM Journal on Numerical Analysis 5.3 (1968): 506–517. doi : 10.1137/0705041
マクラクラン、ロバート I.、G. ラインアウト W. クイスペル。分割方法。 Acta Numerica 11 (2002): 341–434。土井：10.1017/S0962492902000053
ルヴェック、ランドール・J.、双曲型問題のための有限体積法。第31巻。ケンブリッジ大学出版局、2002年。（pbk ISBN 0-521-00924-3）