Function for incompressible divergence-free flows in two dimensions
非圧縮流の速度ベクトル場 (赤、上) の場合、その 流線 (破線) は流れ関数の等高線 (下) として計算できます。 流体力学 では 、2 種類の 流れ関数 (または ストリーム関数 ) が定義されています。
ストリーム関数の特性により、フローを分析し、グラフィカルに図示するのに役立ちます。
この記事の残りの部分では、2 次元ストリーム関数について説明します。
2次元ストリーム関数
仮定 2 次元ストリーム関数は、次の仮定に基づいています。
流れ場は速度ベクトルを持つ2次元平面流れとして記述できる。 u = [ u ( x , y , t ) v ( x , y , t ) 0 ] . {\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.} ∇ ⋅ u = 0. {\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.} ドメインにはホールがないか、または内向きまたは外向きの正味の流れがないホールのみがあります。 原則として、ストリーム関数は特定の座標系を使用する必要はありませんが、便宜上、ここでの説明では、座標 の 右手 直交座標系を 使用します。 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)}
導出
試験面 平面上の 2点 と、そしてそれらを結ぶ 同じく平面上の 連続曲線を考えます 。曲線上のすべての点の 座標 は です 。曲線の全長を とし ます 。 A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} x y {\displaystyle xy} A P {\displaystyle AP} x y {\displaystyle xy} A P {\displaystyle AP} z {\displaystyle z} z = 0 {\displaystyle z=0} A P {\displaystyle AP} L {\displaystyle L}
曲線 を水平面 まで上方に 延長してリボン状の面を作成するとします。 ここで は 流れの厚さです。この面の長さは 、幅は 、面積は です 。これを テスト面 と呼びます。 A P {\displaystyle AP} z = b {\displaystyle z=b} ( b > 0 ) {\displaystyle (b>0)} b {\displaystyle b} L {\displaystyle L} b {\displaystyle b} b L {\displaystyle b\,L}
試験面を通過するフラックス 点と 点を結ぶ試験面を通る 体積 流束は、 A {\displaystyle A} P . {\displaystyle P.} 試験表面を通る 全 体積流束は
Q ( x , y , t ) = ∫ 0 b ∫ 0 L u ⋅ n ^ d s d z {\displaystyle Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z} ここで 、 は曲線 上で定義された弧長パラメータで あり、 点 では 、 点 では である 。ここで 、 はテスト面に垂直な単位ベクトル、すなわち s {\displaystyle s} A P {\displaystyle AP} s = 0 {\displaystyle s=0} A {\displaystyle A} s = L {\displaystyle s=L} P {\displaystyle P} n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
n ^ d s = − R d r = [ d y − d x 0 ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}\,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}} ここで 、 正の軸を中心とした反時計回りの回転 に対応する 回転行列は 次のようになります。 R {\displaystyle R} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} z {\displaystyle z}
R = R z ( 90 ∘ ) = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.} の式の積分関数は とは独立な ので、外積分は次のように評価できる。 Q {\displaystyle Q} z {\displaystyle z}
Q ( x , y , t ) = b ∫ A P ( u d y − v d x ) {\displaystyle Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}
古典的な定義 ラム と バチェラーは ストリーム関数を 次のように定義している。 [3] ψ {\displaystyle \psi }
ψ ( x , y , t ) = ∫ A P ( u d y − v d x ) {\displaystyle \psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)} 上で導出した全体積流束の式を用いると 、これは次のように書ける。 Q {\displaystyle Q}
ψ ( x , y , t ) = Q ( x , y , t ) b {\displaystyle \psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}} 。 言葉で言えば、流れ関数は、 厚さが流れの平面に対して垂直に測定される、単位厚さあたりのテスト表面を通過する体積流束です。 ψ {\displaystyle \psi }
この点 とは、流れ関数がゼロとなる点を定義する基準点です。その位置は多かれ少なかれ任意に選択され、一度選択されると通常は固定されます。 A {\displaystyle A}
点の位置が わずかに 変化すると、 流れ 関数は次のように変化します。 d P = ( d x , d y ) {\displaystyle \mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)} P {\displaystyle P}
d ψ = u d y − v d x {\displaystyle \mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x} 。 正確な差分 から
d ψ = ∂ ψ ∂ x d x + ∂ ψ ∂ y d y , {\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,} したがって、流れ関数に対する流速成分 は ψ {\displaystyle \psi }
u = ∂ ψ ∂ y , v = − ∂ ψ ∂ x . {\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.} 流れ関数は速度に対して 線形で あることに注目してください。したがって、2つの非圧縮性流れ場を重ね合わせると、結果として生じる流れ場の流れ関数は、元の2つの流れ場の流れ関数の代数和になります。
参照点の位置の変化の影響 参照点の位置を から へシフトさせることを考えます 。 シフトした参照点 に対する流れ関数を とします 。 A {\displaystyle A} A ′ {\displaystyle A'} ψ ′ {\displaystyle \psi '} A ′ {\displaystyle A'}
ψ ′ ( x , y , t ) = ∫ A ′ P ( u d y − v d x ) . {\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).} そして、流れ関数は
Δ ψ ( t ) = ψ ′ ( x , y , t ) − ψ ( x , y , t ) = ∫ A ′ A ( u d y − v d x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}} これは次のことを意味します。
基準点の位置をシフトすると、 各ポイントの流れ関数に定数（定常流れの場合）または時間のみの関数（非定常流れの場合）が効果的に追加されます 。 ψ {\displaystyle \psi } P {\displaystyle P} 流線関数のシフト は、点 から点 まで 伸びる連続面を通る単位厚さあたりの体積流束の総和に等しい 。したがって、 と が 同じ流線上にある 場合のみ、 となる。 Δ ψ {\displaystyle \Delta \psi } A ′ {\displaystyle A'} A {\displaystyle A} Δ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi =0} A {\displaystyle A} A ′ {\displaystyle A'}
ベクトル回転の観点から 速度は 流れ関数で 次のよう
に表すことができます。 u {\displaystyle \mathbf {u} } ψ {\displaystyle \psi }
u = − R ∇ ψ {\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi } ここで、は 正の軸を中心とした反時計回りの回転 に対応する回転行列 である 。上式を解くと、以下の 式が得られる。 R {\displaystyle R} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} z {\displaystyle z} ∇ ψ {\displaystyle \nabla \psi }
∇ ψ = R u . {\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .} これらの形から、ベクトル と が u {\displaystyle \mathbf {u} } ∇ ψ {\displaystyle \nabla \psi }
垂直： u ⋅ ∇ ψ = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0} 同じ長さの: 。 | u | = | ∇ ψ | {\displaystyle |\mathbf {u} |=|\nabla \psi |} さらに、回転形式がコンパクトであるため、操作が容易になります (例: 存在条件を参照)。
ベクトルポテンシャルとストリーム面の観点から 一般に、 のような発散のない場 （ソレノイドベクトル場 とも呼ばれる）は、常に何らかの ベクトルポテンシャル の回転として表すことができます 。 u {\displaystyle \mathbf {u} } A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
u = ∇ × A . {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {A}}.} ストリーム関数は、 平面に垂直なベクトルポテンシャルの強度を提供するものとして理解できる。 [4] ψ {\displaystyle \psi }
A ( x , y , t ) = [ 0 0 ψ ( x , y , t ) ] , {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(x,y,t)={\begin{bmatrix}0\\0\\\psi (x,y,t)\end{bmatrix}},} 言い換えれば 、 正の方向を指す単位ベクトルです 。 A = ψ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\psi {\hat {\mathbf {z} }}} z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} z {\displaystyle z}
これはベクトル積としても表すことができる。
u = ∇ ψ × z ^ {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {z} }}} ここでベクトル計算の恒等式 を使用している
∇ × ( ψ z ^ ) = ψ ∇ × z ^ + ∇ ψ × z ^ . {\displaystyle \nabla \times \left(\psi {\hat {\mathbf {z} }}\right)=\psi \nabla \times {\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {z} }}.} に注目し 、 を定義すると 、速度場は次のように表すことができます。 z ^ = ∇ z {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\nabla z} ϕ = z {\displaystyle \phi =z}
u = ∇ ψ × ∇ ϕ . {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .} この形式は、 の水平面 と の水平面 (つまり、水平面) が直交する 流線面 のシステムを形成することを示しています。 ψ {\displaystyle \psi } z {\displaystyle z}
代替（反対の符号）定義 気象学 や 海洋学 で時々使われる別の定義 は、
ψ ′ = − ψ . {\displaystyle \psi '=-\psi .}
渦度との関係 2次元平面流れでは、 渦度 ベクトルは と定義され 、 に減少する 。ここで、 ω = ∇ × u {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} } ω z ^ {\displaystyle \omega \,{\hat {\mathbf {z} }}}
ω = − ∇ 2 ψ {\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi } または
ω = + ∇ 2 ψ ′ {\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '} これらは ポアソン方程式 の形式です。
流線との関係 同一水平面内に
無限に接近した2点から なる 2次元平面流れを考える。微積分学によれば、2点における流れ関数の値の対応する微小差は、 P = ( x , y , z ) {\displaystyle P=(x,y,z)} P ′ = ( x + d x , y + d y , z ) {\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}
d ψ ( x , y , t ) = ψ ( x + d x , y + d y , t ) − ψ ( x , y , t ) = ∂ ψ ∂ x d x + ∂ ψ ∂ y d y = ∇ ψ ⋅ d r {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} が2点とで 同じ 値、例えば を取る と仮定します 。すると、 ψ {\displaystyle \psi } C {\displaystyle C} P {\displaystyle P} P ′ {\displaystyle P'}
0 = ∇ ψ ⋅ d r , {\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,} これは、ベクトルが 表面に対して垂直であることを意味します 。なぜなら 、あらゆる場所（例えば、ベクトル回転の観点から）において、各流線は特定の流面と特定の水平面との交点に対応するからです。したがって、3次元において、特定の流線を明確に識別するには、流線関数と標高（ 座標）の両方の対応する値を指定する必要があります。 ∇ ψ {\displaystyle \nabla \psi } ψ = C {\displaystyle \psi =C} u ⋅ ∇ ψ = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0} z {\displaystyle z}
ここでの展開は、空間領域が3次元であることを前提としています。流線関数の概念は、2次元空間領域においても展開可能です。その場合、流線関数の等高線集合は面ではなく曲線となり、流線は流線関数の等高線となります。したがって、2次元において、特定の流線を明確に識別するには、対応する流線関数の値のみを指定すればよいことになります。
存在の条件 2次元平面流が 回転発散方程式を満たすこと
を示すのは簡単である。 u {\displaystyle \mathbf {u} }
( ∇ ⋅ u ) z ^ = − ∇ × ( R u ) {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,{\hat {\mathbf {z} }}=-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )} ここで 、は 正軸を中心とした反時計回りの回転 に対応する 回転行列 です。この式は、流れが非圧縮性であるかどうかに関わらず成立します。 R {\displaystyle R} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} z {\displaystyle z}
流れが非圧縮性（すなわち、 ）の場合、回転発散方程式は次のようになる。 ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
0 = ∇ × ( R u ) {\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )} 。 すると ストークスの定理 により、すべての閉ループ上 の線積分はゼロになる。 R u {\displaystyle R\,\mathbf {u} }
∮ ∂ Σ ( R u ) ⋅ d Γ = 0. {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.} したがって、 の線積分は経路独立である。最後に、 勾配定理 の逆により、 次のような スカラー関数が存在する。 R u {\displaystyle R\,\mathbf {u} } ψ ( x , y , t ) {\displaystyle \psi (x,y,t)}
R u = ∇ ψ {\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi } 。 ここでは ストリーム関数を表します。 ψ {\displaystyle \psi }
逆に、流れ関数が存在する場合は、 となります 。この結果を回転発散方程式に代入すると 、 （つまり、流れは非圧縮性）が得られます。 R u = ∇ ψ {\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi } ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
要約すると、2 次元平面流れの流れ関数は、流れが非圧縮性である場合にのみ存在します。
ポテンシャルフロー 二次元 ポテンシャル流では、流線は 等ポテンシャル 線に垂直です。 速度ポテンシャル と組み合わせることで 、流線関数は 複素 ポテンシャルを導くことができます。言い換えれば、流線関数は 二次元 ヘルムホルツ分解の ソレノイド 部分を考慮し、速度ポテンシャルは 非回転 部分を考慮します。
プロパティの概要 2 次元ストリーム関数の基本的な特性は次のようにまとめられます。
特定の点における流速の x 成分 と y 成分は、その点における流れ関数の 偏微分によって与えられます。 流れ関数の値は、すべての 流線 に沿って一定です（流線は定常流における粒子の軌跡を表します）。つまり、2次元では、各流線は 流れ関数の 等高線です。 任意の 2 点における流れ関数の値の差は、2 点を結ぶ垂直面を通る体積流束を与えます。
時間不変密度の流れに対する2次元流れ関数 流体の密度が流れ内のすべての点で時間不変である場合、すなわち、
∂ ρ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0} 、 すると、 2次元平面流れの 連続方程式 （例えば、 連続方程式#流体力学を参照）は次のようになる。
∇ ⋅ ( ρ u ) = 0. {\displaystyle \nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0.} この場合、ストリーム関数は 次のように定義されます。 ψ {\displaystyle \psi }
ρ u = ∂ ψ ∂ y , ρ v = − ∂ ψ ∂ x {\displaystyle \rho \,u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad \rho \,v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}} これは、テスト表面を通る単位厚さあたりの質量流束（体積流束ではなく）を表します。
参照
参考文献
引用 ^ ラグランジュ、J.-L. (1868)、「Mémoire sur la théorie du mouvement des Fluides (in: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin、année 1781)」、Oevres de Lagrange、vol.第 4 巻、 695 ～ 748 ページ ^ ストークス、GG （1842）、「非圧縮性流体の定常運動について」、 ケンブリッジ哲学協会紀要 、 7 ： 439-453 、 書誌コード ：1848TCaPS...7..439S 転載：ストークス、GG （ 1880）、数学および物理学論文集、第1巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 1-16 ^ ラム（1932年、62～63ページ）とバチェラー（1967年、75～79ページ） ^ Katopodes, Nikolaos D. (2019). 「粘性流体の流れ」. 自由表面流 . pp. 324– 426. doi :10.1016/B978-0-12-815489-2.00005-8. ISBN 978-0-12-815489-2 。
出典
外部リンク Joukowsky Transform インタラクティブ Web アプリ 
