応力拡大係数

Quantity in fracture mechanics; predicts stress intensity near a crack's tip

亀裂先端の極座標。

破壊力学において、応力拡大係数（K）は、遠隔荷重または残留応力によって引き起こされる亀裂または切欠きの先端近傍の応力状態（「応力拡大」）を予測するために使用されます。^{[1]これは、均質な線形}弾性材料 に通常適用される理論的構成であり、脆性材料の破壊基準を提供するのに役立ち、損傷許容の分野において重要な手法です。この概念は、亀裂先端で小規模な降伏を示す材料にも適用できます。

Kの大きさは、試験片の形状、亀裂または切欠きの大きさと位置、そして材料にかかる荷重の大きさと分布に依存します。Kは次のように表されます。^{[2] [3]}

${\displaystyle K=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,f(a/W)}$

ここで、 は亀裂長さaと試験片幅Wに依存する試験片形状の関数であり、σは印加応力です。 ${\displaystyle f(a/W)}$

線形弾性理論によれば、き裂先端近傍の応力分布（ ）は、き裂先端を原点とする極座標（）において、次の形をとると予測される^[4]。 ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle r,\theta }$

${\displaystyle \sigma _{ij}(r,\theta )={\frac {K}{\sqrt {2\pi r}}}\,f_{ij}(\theta )+\,\,{\rm {higher\,order\,terms}}}$

ここで、Kは応力拡大係数（単位は応力×長さの^1/2）であり、荷重と形状によって変化する無次元量です。理論的には、 rが0に近づくと応力はに近づき、応力特異点が生じます。^[5]しかし実際には、この関係は先端（rが小さい）に非常に近いところでは成り立ちません。これは、塑性は通常、材料の降伏強度を超える応力で発生し、線形弾性解はもはや適用できないためです。それでも、亀裂先端の塑性領域が亀裂長さに比べて小さい場合は、亀裂先端近くの漸近応力分布が依然として適用可能です。 ${\displaystyle f_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \infty }$

さまざまなモードの応力拡大係数

モード I、モード II、およびモード III の亀裂荷重。

1957 年、G. アーウィンは、亀裂周辺の応力は応力拡大係数と呼ばれる尺度係数で表せることを発見しました。彼は、任意の荷重を受ける亀裂は、3 種類の線形独立亀裂モードに分解できることを発見しました。^[6]これらの荷重タイプは、図に示すようにモード I、II、または III に分類されます。モード I は、亀裂表面が直接離れる開口 (引張) モードです。モード II は、亀裂表面が亀裂の前縁に垂直な方向に互いの上を滑り合う滑り (面内せん断) モードです。モード III は、亀裂表面が互いに対して、かつ亀裂の前縁に平行に移動する引き裂き (面外せん断) モードです。モード I は、工学設計で遭遇する最も一般的な荷重タイプです。

3つの異なるモードの応力拡大係数を表すために、異なる添え字が用いられる。モードIの応力拡大係数は、き裂開口モードに指定され適用される。モードIIの応力拡大係数は、き裂すべりモードに適用され、モードIIIの応力拡大係数は、き裂引張モードに適用される。これらの係数は、正式には次のように定義される。^[7] ${\displaystyle K_{\rm {I}}}$ ${\displaystyle K_{\rm {II}}}$ ${\displaystyle K_{\rm {III}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yy}(r,0)\\K_{\rm {II}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yx}(r,0)\\K_{\rm {III}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yz}(r,0)\,.\end{aligned}}}$

応力場と変位場の方程式

モードIの応力場は[6]で表される。 ${\displaystyle K_{\rm {I}}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {2\pi r}}}\cos {\frac {\theta }{2}}\left\{{\begin{aligned}1-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\1+\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {3\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}}$、 そして ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rr}\\\sigma _{\theta \theta }\\\sigma _{r\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{\sqrt {2\pi r}}}\cos {\frac {\theta }{2}}\left\{{\begin{aligned}1+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}}$。 ${\displaystyle \sigma _{zz}=\nu _{1}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=\nu _{1}(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })}$、 ${\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{rz}=\sigma _{\theta z}=0}$。 変位は ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[(2\kappa +1)\sin {\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {I}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa -1)\cos {\frac {\theta }{2}}-\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}$ ${\displaystyle u_{z}=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })}$ ここで、平面応力条件の場合 ${\displaystyle \kappa ={\frac {(3-\nu )}{(1+\nu )}}}$、、、、​​ ${\displaystyle \nu _{1}=0}$ ${\displaystyle \nu _{2}=\nu }$ 平面ひずみの場合 ${\displaystyle \kappa =(3-4\nu )}$、、。​ ${\displaystyle \nu _{1}=\nu }$ ${\displaystyle \nu _{2}=0}$ モードIIの場合 ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}-\sin {\frac {\theta }{2}}(2+\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {3\theta }{2}})\\\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}(1-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {3\theta }{2}})\end{aligned}}\right\}}$ そして ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rr}\\\sigma _{\theta \theta }\\\sigma _{r\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}(1-3\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\\-3\sin {\frac {\theta }{2}}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}(1-3\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}})\end{aligned}}\right\}}$、 ${\displaystyle \sigma _{zz}=\nu _{1}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=\nu _{1}(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })}$、 ${\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{rz}=\sigma _{\theta z}=0}$。 ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{x}\\u_{y}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[(2\kappa +3)\sin {\frac {\theta }{2}}+\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\-(1+\nu )\left[(2\kappa -3)\cos {\frac {\theta }{2}}+\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u_{r}\\u_{\theta }\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {II}}}{2E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{{\begin{aligned}(1+\nu )\left[-(2\kappa -1)\sin {\frac {\theta }{2}}+3\sin {\frac {3\theta }{2}}\right]\\(1+\nu )\left[-(2\kappa +1)\cos {\frac {\theta }{2}}+3\cos {\frac {3\theta }{2}}\right]\end{aligned}}\right\}}$ ${\displaystyle u_{z}=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})=-\left({\frac {\nu _{2}z}{E}}\right)(\sigma _{rr}+\sigma _{\theta \theta })}$ そして最後に、モードIIIについて ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {III}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}-\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\sigma _{rz}\\\sigma _{\theta z}\end{aligned}}\right\}={\frac {K_{\rm {III}}}{\sqrt {2\pi r}}}\left\{{\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}\right\}}$ と。 ${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{rr}=\sigma _{\theta \theta }=\sigma _{zz}=\sigma _{xy}=\sigma _{r\theta }=0}$ ${\displaystyle u_{z}={\frac {2K_{\rm {III}}}{E}}{\sqrt {\frac {r}{2\pi }}}\left\{2(1+\nu )\sin {\frac {\theta }{2}}\right\}}$、 ${\displaystyle u_{x}=u_{y}=u_{r}=u_{\theta }=0}$。

エネルギー放出率とJ積分との関係

平面応力条件下では、純粋モードIまたは純粋モードII荷重下の亀裂のひずみエネルギー解放率（ ）は、応力集中係数と次の関係があります。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)}$

${\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)}$

ここで、はヤング率、は材料のポアソン比である。材料は等方性、均質性、線形弾性体であると仮定する。亀裂は初期亀裂の方向に沿って伸びると仮定する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

平面ひずみ条件の場合、同等の関係はもう少し複雑になります。

${\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,}$

${\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,.}$

純粋なモードIII負荷の場合、

${\displaystyle G_{\rm {III}}=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1}{2\mu }}\right)=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

ここで、せん断弾性係数です。平面ひずみにおける一般的な荷重の場合、線形結合は次式で表されます。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G=G_{\rm {I}}+G_{\rm {II}}+G_{\rm {III}}\,.}$

平面応力についても、3 つのモードの寄与を加えることで同様の関係が得られます。

上記の関係は、J積分と応力拡大係数を結び付けるためにも使用できる。

${\displaystyle G=J=\int _{\Gamma }\left(W~dx_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~ds\right)\,.}$

臨界応力強度係数

応力拡大係数 は、幾何学的パラメータ（荷重タイプ）を含む適用応力の大きさを増幅するパラメータです。どのモード状況でも、応力拡大係数は材料に加えられる荷重に正比例します。材料に非常に鋭い亀裂や Vノッチができると、 の最小値を経験的に決定できます。これが亀裂を伝播させるために必要な応力拡大係数の臨界値です。平面ひずみでのモード I 荷重に対して決定されたこの臨界値は、材料の臨界破壊靭性（ ）と呼ばれます。 の単位は、応力に距離の平方根を乗じた値です（例：MN/m ^3/2）。 の単位は、 に達して亀裂の伝播が発生するためには、ある臨界距離をかけて材料の破壊応力に達しなければならないことを意味します。モード I 臨界応力拡大係数 は、破壊力学で最も頻繁に使用される工学設計パラメータであるため、橋梁、建物、航空機、さらには鐘などに使用される破壊耐性材料を設計する場合には理解しておく必要があります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {I} }}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$

研磨ではひび割れを検出できません。通常、ひび割れが見られる場合、それは応力拡大係数^{[要出典]によって予測される}臨界応力状態に非常に近い状態です。

G基準

G基準は、臨界応力拡大係数（または破壊靭性）と3つのモードの応力拡大係数を関連付ける破壊基準である。この破壊基準は^{[8]のように表される。}

${\displaystyle K_{\rm {c}}^{2}=K_{\rm {I}}^{2}+K_{\rm {II}}^{2}+{\frac {E'}{2\mu }}\,K_{\rm {III}}^{2}}$

ここで、 は平面ひずみに対する破壊靭性、は平面応力に対する破壊靭性です。平面応力の臨界応力拡大係数は、と表記されることが多いです。 ${\displaystyle K_{\rm {c}}}$ ${\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2})}$ ${\displaystyle E'=E}$ ${\displaystyle K_{\rm {c}}}$

例

無限板：均一な一軸応力

均一な応力場を持つ無限平面において、荷重方向に垂直な長さの直線亀裂を仮定した場合の応力集中係数は[5] [7]である。 ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{\mathrm {I} }=\sigma {\sqrt {\pi a}}}$

モード I 荷重下の無限プレートの亀裂。

無限領域におけるペニー型の亀裂

無限領域における半径1ペニー型亀裂の先端における一軸引張下の応力集中係数は[1]である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {2}{\pi }}\sigma {\sqrt {\pi a}}\,.}$

一軸張力を受ける無限領域内のペニー型の亀裂。

有限板：均一な一軸応力

幅と高さの有限板の中央に亀裂がある場合、応力集中係数のおおよその関係は[7]である。 ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\cfrac {1-{\frac {a}{2b}}+0.326\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}{\sqrt {1-{\frac {a}{b}}}}}\right]\,.}$ 亀裂が幅の中央に位置していない場合、すなわち、位置Aにおける応力拡大係数は、級数展開によって近似することができる[7] [9] ${\displaystyle d\neq b}$ ${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1+\sum _{n=2}^{M}C_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\right]}$ ここで、係数は応力拡大係数曲線[7]のフィッティングから、様々な値に対して6で 得られる。同様の（ただし同一ではない）式が亀裂先端Bにも存在する。AとBにおける応力拡大係数の代替式は[10] : 175 である。 ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{A}\,\,,K_{\rm {IB}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{B}}$ どこ ${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{A}&:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta }{4}}\right)\left(1+{\frac {1}{4{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}}}\right)^{2}\right]{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}\\\Phi _{B}&:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB}}}-1}{1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1}\left[\left({\frac {\alpha _{A}-\alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)^{0.9}\right]\right\}}}\right]\end{aligned}}}$ と ${\displaystyle \beta :=\sin \left({\frac {\pi \alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)~,~~\alpha _{A}:={\frac {\pi a}{2d}}~,~~\alpha _{B}:={\frac {\pi a}{4b-2d}}~;~~\alpha _{AB}:={\frac {4}{7}}\,\alpha _{A}+{\frac {3}{7}}\,\alpha _{B}\,.}$ 上記の式では、 は亀裂の中心から点Aに最も近い境界までの距離です。上記の式は、中心亀裂の近似式に簡略化されないことに注意してください。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=b}$

モード I 荷重下の有限プレートの亀裂。

一軸応力を受ける板のエッジクラック

長さ の拘束されていない端亀裂を含む寸法の板について、板の寸法が および となる場合、単軸応力下における亀裂先端の応力拡大係数は[5]である。 ${\displaystyle 2h\times b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h/b\geq 0.5}$ ${\displaystyle a/b\leq 0.6}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1.122-0.231\left({\frac {a}{b}}\right)+10.55\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-21.71\left({\frac {a}{b}}\right)^{3}+30.382\left({\frac {a}{b}}\right)^{4}\right]\,.}$ およびの場合、応力拡大係数は次のように近似できる。 ${\displaystyle h/b\geq 1}$ ${\displaystyle a/b\geq 0.3}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\frac {1+3{\frac {a}{b}}}{2{\sqrt {\pi {\frac {a}{b}}}}\left(1-{\frac {a}{b}}\right)^{3/2}}}\right]\,.}$

一軸応力を受ける有限プレートのエッジ亀裂。

無限板：二軸応力場における斜め亀裂

二軸応力場における長さの斜め亀裂に対して、 -方向と-方向の応力がある場合、応力集中係数は[7] [11] ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(\cos ^{2}\beta +\alpha \sin ^{2}\beta \right)\\K_{\rm {II}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(1-\alpha \right)\sin \beta \cos \beta \end{aligned}}}$ ここで、 は亀裂と -軸が作る角度です。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$

二軸荷重を受けた薄板の斜めの亀裂。

平面内点力を受ける板の亀裂

長さ の亀裂を含む寸法 の板を考えます。 と の成分を持つ点力が板の点 ( ) に作用します。 ${\displaystyle 2h\times 2b}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle F_{y}}$ ${\displaystyle x,y}$ 板が亀裂の大きさに比べて大きく、かつ、力の位置が亀裂に比較的近い場合、すなわち、、、、の場合、板は無限大とみなすことができる。この場合、亀裂先端B（）における応力拡大係数は[11] [12] ${\displaystyle h\gg a}$ ${\displaystyle b\gg a}$ ${\displaystyle x\ll b}$ ${\displaystyle y\ll h}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}+{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\\K_{\rm {II}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}+{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\end{aligned}}}$ どこ ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&=1-{\text{Re}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\,,\,\,G_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\\H_{1}&={\text{Re}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\,,\,\,H_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\end{aligned}}}$ ここで、は平面ひずみ、は平面応力、 はポアソン比である。先端Bにおける応力拡大係数は、 ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle \kappa =3-4\nu }$ ${\displaystyle \kappa =(3-\nu )/(1+\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{y}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}-{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\\K_{\rm {II}}&=-{\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}-{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\,.\end{aligned}}}$ 先端Aにおける応力拡大係数（ ）は上記の関係から決定できる。位置 における荷重については、 ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=-K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$ 同様に負荷についても、 ${\displaystyle F_{y}}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=-K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$

およびの成分を持つ局所的な力の作用下にあるプレートの亀裂。 ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle F_{y}}$

プレートに負荷のかかった亀裂

亀裂が点力によって荷重を受けている場合、点Bにおける応力集中係数は[7] ${\displaystyle F_{y}}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle -a<x<a}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\,.}$ 力が の間に均一に分布している場合、先端Bにおける応力拡大係数は ${\displaystyle -a<x<a}$ ${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,{\rm {d}}x\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\rm {d}}x,\,.}$

プレートに生じたひび割れ。

無限板における平行亀裂の積み重ね

出典: ^[13]

亀裂間隔が亀裂長さよりもはるかに大きい場合（h >> a）、隣接する亀裂間の相互作用効果は無視でき、応力集中係数は長​​さ 2a の単一亀裂の応力集中係数と等しくなります。

すると、亀裂先端の応力拡大係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\end{aligned}}}$

亀裂の長さが間隔よりもはるかに大きい場合 (a >> h )、亀裂は半無限亀裂のスタックと見なすことができます。

すると、亀裂先端の応力拡大係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {h}}\end{aligned}}}$

コンパクト張力試験片

コンパクト引張試験片の亀裂先端における応力拡大係数は[14] ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[16.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-104.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+369.9\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-573.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+360.5\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$ ここで、は適用された荷重、は試験片の厚さ、は亀裂の長さ、は試験片の幅です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle W}$

破壊靭性試験用のコンパクトな引張試験片。

片刃ノッチ曲げ試験片

片側ノッチ曲げ試験片のき裂先端における応力拡大係数は[14]である。 ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {4P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[1.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-2.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+12.3\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-21.2\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+21.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$ ここで、は適用された荷重、は試験片の厚さ、は亀裂の長さ、は試験片の幅です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle W}$

破壊靭性試験用の片端ノッチ曲げ試験片（三点曲げ試験片とも呼ばれる）

参照

• 破壊力学
• 破壊靭性
• ひずみエネルギー解放率
• J積分
• 材料破壊理論
• パリスの法則

参考文献

1. Anderson, TL (2005).破壊力学：基礎と応用. CRC Press.
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外部リンク

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• www.fracturemechanics.org の応力拡大係数（Bob McGinty 著）

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