代替的なストレス対策

連続体力学において最も一般的に用いられる応力の指標はコーシー応力テンソルであり、しばしば単に応力テンソルまたは「真応力」と呼ばれる。しかし、応力の指標としては他にいくつかの指標が定義される。^{[1] [2] [3]}

1. キルヒホッフ応力（）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$
2. 公称応力（）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$
3. ピオラ・キルヒホッフ応力テンソル
   1. 第一ピオラ・キルヒホッフ応力（）。この応力テンソルは公称応力（ ）の転置です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
   2. 第2ピオラ・キルヒホッフ応力またはPK2応力（）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$
4. ビオストレス（） ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

定義

次の図に示す状況を考えてみましょう。以下の定義では、図に示す表記法を使用します。

ストレス尺度の定義に使用される量

基準構成 では、面要素の外向き法線はであり、その面に作用するトラクション（変形に属する一般的なベクトルのように変形すると仮定）は力ベクトル を生み出します。変形構成 では、面要素は に変化し、外向き法線とトラクションベクトルは力 を生み出します。この面は、物体内部の仮想的な切り込みでも実際の面でも構わないことに注意してください。量は変形勾配テンソルであり、はその行列式です。 ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle J}$

コーシーストレス

コーシー応力（または真応力）は、変形された状態にある面積要素に作用する力の尺度である。このテンソルは対称であり、次のように定義される。

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

または

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

ここで、 は牽引力であり、は牽引力が作用する表面の法線です。 ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

キルヒホッフ応力

量、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

はキルヒホッフ応力テンソルと呼ばれ、行列式はです。金属の塑性（塑性変形中に体積変化がない）における数値アルゴリズムで広く用いられています。重み付きコーシー応力テンソルとも呼ばれます。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

ピオラ・キルヒホッフ応力

公称応力/第一ピオラ・キルヒホッフ応力

公称応力は、第一ピオラ・キルヒホッフ応力（PK1応力、工学応力とも呼ばれる）の転置であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

または

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

この応力は非対称であり、変形勾配と同様に2点テンソルである。
この非対称性は、テンソルとして、基準配置に1つの添字が付き、変形配置に1つの添字が付いているという事実に由来する。^[4]

第二ピオラ・キルヒホッフ応力

基準配置に戻る と、変形前のその表面に作用する牽引力が得られます。これは、その牽引力が変形に属する一般的なベクトルのように振舞うと仮定した場合です。具体的には、 ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

または、

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

PK2応力（）は対称であり、次の関係で定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

ビオストレス

ビオ応力は、右伸縮テンソル とエネルギー共役であるため有用である。ビオ応力は、 の対称部分として定義される。ここで は、変形勾配の極分解から得られる回転テンソルである。したがって、ビオ応力テンソルは次のように定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

ビオストレスは、ジョウマンストレスとも呼ばれます。

この量には物理的な解釈はない。しかし、非対称化ビオ応力には次のような解釈がある。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

関係

コーシー応力と公称応力の関係

基準構成と変形構成の領域を関連付けるナンソンの公式から：

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

今、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

指数表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

したがって、

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

は (一般的に) 対称ではないため、 とは (一般的に) 対称ではないことに注意してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

公称応力と第2P-K応力の関係

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

そして

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

または（の対称性を使用）、 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

指数表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

あるいは、次のように書くこともできる。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

コーシー応力と第2P-K応力の関係

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

2番目のPKストレスに関しては、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

指数表記では、

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

コーシー応力 (およびキルヒホッフ応力) は対称であるため、第 2 PK 応力も対称です。

あるいは、次のように書くこともできる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

明らかに、プッシュフォワードとプルバック操作の定義から、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

したがって、は によるの引き戻しであり、は の押し出しです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

変換式のまとめ

鍵： $${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

変換式

の式	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$（非等方性）
${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$（非等方性）
${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$（非等方性）	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$（非等方性）	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$

参照

• ストレス（物理学）
• 有限ひずみ理論
• 連続体力学
• 超弾性材料
• コーシー弾性材料
• 臨界面解析

参考文献

1. J. Bonet と RW Wood、「有限要素解析のための非線形連続体力学」、ケンブリッジ大学出版局。
2. RW Ogden、1984年、「非線形弾性変形」、ドーバー。
3. LD Landau、EM Lifshitz、『弾性理論』第3版
4. 三次元弾性. エルゼビア. 1988年4月1日. ISBN 978-0-08-087541-5。

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