ストレッチルール

古典力学では、伸張則（ラウスの法則と呼ばれることもある）は、回転軸（主軸）に平行に物体を伸張させた場合、軸に平行な方向を除いて質量の分布が変化しない限り、剛体の慣性モーメントは変化しないと述べている。^[1]この操作により、軸に平行に向いた円筒の半径は変化しない。

この規則は、平行軸の定理と垂直軸の定理と組み合わせて適用し、さまざまな形状の慣性モーメントを求めることができます。

導出

Z軸周りの剛体の（スカラー）慣性モーメントは次のように表されます。

I_{z}=\int _{V}d^{3}r\,\rho (\mathbf {r} )\,r^{2}

点からZ軸までの距離はどこにあるか。Z軸のみの伸縮を扱っているので、以下のように展開できる。 $r$

I_{z}=\int _{0}^{L}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z)\,r^{2}

ここで、は物体の高さです。物体をZ軸に沿って倍に引き伸ばすということは、質量密度を（つまり）で割ることと等価であり、さらに新しい限界と（物体の新しい高さ）にわたって積分することになるため、総質量は変わりません。つまり、新しい慣性モーメントは次のようになります。 $L$ $a$ $a$ $\rho '(x,y,z)=\rho (x,y,z/a)/a$ $0$ $aL$

{\begin{aligned}I_{z}'&=\int _{0}^{aL}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho '(x,y,z)\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}a\,dz'\int _{x,y}dx\,dy\,{\frac {\rho (x,y,z/a)}{a}}\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}dz'\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z')\,r^{2}=I_{z}\end{aligned}}

参考文献

^ Smith, JO (2010). 「ストレッチルール」.物理オーディオ信号処理. W3K Publishing . 2012年11月26日閲覧。

[1] Smith, JO (2010). 「ストレッチルール」.物理オーディオ信号処理. W3K Publishing . 2012年11月26日閲覧。