Coefficients of an algebra over a field
外積を リー括弧として用いると 、3次元実ベクトルの代数はSU(2)とSO(3)のリー代数と同型となる。構造定数は であり 、 は 反対称 レヴィ・チヴィタ記号 である 。 f a b c = ϵ a b c {\displaystyle f^{abc}=\epsilon ^{abc}} ϵ a b c {\displaystyle \epsilon ^{abc}} 数学 において 、 体上の代数 の 構造定数 または 構造係数は、基底 ベクトル の積の基底展開（基底ベクトルの 線形結合 への）の係数です 。代数における積の演算は双線型であるため、線形性により基底ベクトルの積が分かれば任意の要素の積を計算できます（行列で、基底ベクトルに対する演算子の作用を提供することで、任意のベクトルに対する線形演算子の作用を計算できるのと同じです）。したがって、構造定数を使用して代数の積の演算を指定できます（行列が線形演算子を定義するのと同じです）。構造定数が与えられれば、結果として得られる積は 双線型性 によって得られ、ベクトル空間内のすべてのベクトルに一意に拡張できるため、代数の積を一意に決定できます。
構造定数は、代数の明示的な形式が与えられる必要がある場合に常に用いられます。したがって、 物理学 における リー代数 を議論する際には、基底ベクトルが物理空間における特定の方向を示したり、特定の 粒子に対応したりするため、構造定数が頻繁に用いられます（リー代数は体上の代数であり、双線型積は リー括弧 によって与えられ 、通常は 交換子 によって定義されることを思い出してください）。
意味 代数の基礎となる ベクトル空間 の基底ベクトル の集合が与えられれば 、積演算は基底ベクトルの積によって一意に定義されます。 { e i } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}
e i ⋅ e j = c i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}} 。 構造 定数 または 構造係数 は、同じ基底における の係数です。 c i j k {\displaystyle c_{ij}^{\;k}} c i j {\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}
e i ⋅ e j = c i j = ∑ k c i j k e k {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}} 。 言い換えると、それらは基底ベクトルの 線形結合 として 表現される係数です 。 c i j {\displaystyle \mathbf {c} _{ij}} e k {\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
代数が他の構造（例えば、 不定直交群 so( p , q )の代数上の 擬リーマン計量 ）を持たない限り、上限と下限の添え字は区別されないことが多い。つまり、構造定数は、すべて上限、またはすべて下限の添え字で表記されることが多い。上限と下限の区別は慣例であり、読者に、下限の添え字は 双対ベクトル の成分のように振舞う、つまり 基底変換 に対して 共 変であるのに対し、上限の添え字は 反変で あるということを思い出させるものである。
構造定数は明らかに選択された基底に依存します。リー代数の場合、基底としてよく用いられる慣例の一つは、 カルタン部分代数 によって定義されるラダー作用素を用いるものです。これは、本稿の後半で、いくつかの予備的な例を示した後に説明します。
例: リー代数 リー代数において、基底ベクトルは代数の 生成元 と呼ばれ、積は リー括弧 と呼ばれます（リー括弧は既存の積に加える追加の積演算であることが多いため、別の名前が必要になります）。代数において、2つのベクトルとに対して 、 リー括弧は と表記されます 。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} [ A , B ] {\displaystyle [A,B]}
ここでも、上付き添字と下付き添字を特に区別する必要はありません。上付き添字でも下付き添字でも構いません。 物理学 では、生成元については 、構造定数については または （上付き添字と下付き添字の区別を無視して） という表記法を用いるのが一般的です 。生成元対のリー括弧の線型展開は、以下のようになります。 T i {\displaystyle T_{i}} f a b c {\displaystyle f_{ab}^{\;\;c}} f a b c {\displaystyle f^{abc}}
[ T a , T b ] = ∑ c f a b c T c {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}} 。 また、線形拡張により、構造定数はリー代数の すべての 要素のリー括弧を完全に決定します。
すべてのリー代数は ヤコビ恒等式 を満たす。基底ベクトルについては、次のように書ける。
[ T a , [ T b , T c ] ] + [ T b , [ T c , T a ] ] + [ T c , [ T a , T b ] ] = 0 {\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0} そして、これは構造定数に関して対応する恒等式に直接つながります。
f a d e f b c d + f b d e f c a d + f c d e f a b d = 0. {\displaystyle f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.} 上記およびこの記事の残りの部分では、 繰り返しインデックスに アインシュタインの合計規則を使用します。
構造定数はリー代数表現 において役割を果たし 、実際には 随伴表現 の行列要素を正確に与えます。 キリング形式 と カシミール不変量 も、構造定数を用いて記述すると特に単純な形になります。
構造定数は、リー群 の2つの元の積に対する ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式 の近似においてしばしば現れる 。 リー代数の小さな元に対して、単位元近傍のリー群の構造は次のように与えられる。 X , Y {\displaystyle X,Y}
exp ( X ) exp ( Y ) ≈ exp ( X + Y + 1 2 [ X , Y ] ) . {\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).} 1/2 という係数に注意してください。これらは のような微分方程式の明示的な表現にも現れます。 詳細は ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式#無限小の場合 を参照してください。 e − X d e X {\displaystyle e^{-X}de^{X}}
リー代数の例
𝔰𝔲(2)と𝔰𝔬(3) 特殊ユニタリ群 SU(2) の 代数は 3次元であり、生成元は パウリ行列 で与えられる。SU(2)群の生成元は交換関係を満たす（ここで は レヴィ・チヴィタ記号 ）。 ここで s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} σ i {\displaystyle \sigma _{i}} ε a b c {\displaystyle \varepsilon ^{abc}} [ σ a , σ b ] = 2 i ε a b c σ c {\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon ^{abc}\sigma _{c}} σ 1 = ( 0 1 1 0 ) , σ 2 = ( 0 − i i 0 ) , σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
この場合、構造定数は である 。定数2 i は 基底ベクトルの定義に取り込まれることに注意されたい。したがって、 を定義すると 、次のように書くこともできる。 f a b c = 2 i ε a b c {\displaystyle f^{abc}=2i\varepsilon ^{abc}} t a = − i σ a / 2 {\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2} [ t a , t b ] = ε a b c t c {\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\varepsilon ^{abc}t_{c}}
これにより、リー群 SU(2) のリー代数が SO(3) の リー代数と同型であることが強調されます。これにより、構造定数は 回転群 SO(3) の構造定数と一致するようになります。つまり、 角運動量演算子 の交換子は 一般的に次のように表されます。 ここ
で、 3次元空間における回転の 右手の法則 に従うように記述されます。 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} [ L i , L j ] = ε i j k L k {\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}} L x = L 1 = ( 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ) , L y = L 2 = ( 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 ) , L z = L 3 = ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},~~L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},~~L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}
これら 2 組の構造定数の 係数 2 iの違いは、微妙な点が絡んでいるため、いらだたしい場合があります。 たとえば、2 次元複素ベクトル空間に 実構造 を与えることができます。これにより、の 2 つの非等価な 2 次元 基本表現が 生じます。これらは同型ですが、 複素共役表現です。ただし、どちらも 実構造 を持つ空間に作用するため、 実表現 であると考えられます 。 [1] 3 次元の場合、 実表現 である 随伴表現が 1 つだけあります。より正確には、上記の 双対表現 と同じです 。つまり、 転置 は 自身を負にすることが分かります。 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} L k T = − L k . {\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.}
いずれにせよ、構造定数を純粋に実数として記述することができるため、リー群は実数であると見なされます。
𝔰𝔲(3) SU(3) は それほど自明ではない例である [2]
定義表現における その生成元 Tは次のようになります。
T a = λ a 2 . {\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,} ここで 、 ゲルマン行列はSU(2)の パウリ行列 のSU(3)類似体である 。 λ {\displaystyle \lambda \,}
λ 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle \lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} λ 2 = ( 0 − i 0 i 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle \lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} λ 3 = ( 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) {\displaystyle \lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}} λ 4 = ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) {\displaystyle \lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}} λ 5 = ( 0 0 − i 0 0 0 i 0 0 ) {\displaystyle \lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}} λ 6 = ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ) {\displaystyle \lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}} λ 7 = ( 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ) {\displaystyle \lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}} λ 8 = 1 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ) . {\displaystyle \lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}
これらは関係に従う
[ T a , T b ] = i f a b c T c {\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,} { T a , T b } = 1 3 δ a b + d a b c T c . {\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,} 構造定数は完全に反対称であり、以下のように与えられる。
f 123 = 1 {\displaystyle f^{123}=1\,} f 147 = − f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = − f 367 = 1 2 {\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,} f 458 = f 678 = 3 2 , {\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,} インデックスを並べ替えてもこれらに関連しないその他すべてのもの はゼロになります。 f a b c {\displaystyle f^{abc}}
d は 次の値を取ります:
d 118 = d 228 = d 338 = − d 888 = 1 3 {\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 {\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,} d 146 = d 157 = − d 247 = d 256 = d 344 = d 355 = − d 366 = − d 377 = 1 2 . {\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,}
𝔰𝔲(N) 𝔰𝔲(N) の一般的な場合、生成元間の交換関係や反交換関係を計算することなく、構造定数を求めるための閉じた公式が存在する。まず、 パウリ行列とゲルマン行列の一般化に基づいて、𝔰𝔲(N) の生成元を定義する（ブラケット記法を用いる。ここでは行列の単位）。 対称行列 が存在する。 N 2 − 1 {\displaystyle N^{2}-1} | m ⟩ ⟨ n | {\displaystyle |m\rangle \langle n|} N ( N − 1 ) / 2 {\displaystyle N(N-1)/2}
T ^ α n m = 1 2 ( | m ⟩ ⟨ n | + | n ⟩ ⟨ m | ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\alpha _{nm}}={\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|+|n\rangle \langle m|)} 、 N ( N − 1 ) / 2 {\displaystyle N(N-1)/2} 反対称行列、
T ^ β n m = − i 1 2 ( | m ⟩ ⟨ n | − | n ⟩ ⟨ m | ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\beta _{nm}}=-i{\frac {1}{2}}(|m\rangle \langle n|-|n\rangle \langle m|)} 、 対 角行列、 N − 1 {\displaystyle N-1}
T ^ γ n = 1 2 n ( n − 1 ) ( ∑ l = 1 n − 1 | l ⟩ ⟨ l | + ( 1 − n ) | n ⟩ ⟨ n | ) ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\gamma _{n}}={\frac {1}{\sqrt {2n(n-1)}}}{\Big (}\sum _{l=1}^{n-1}|l\rangle \langle l|+(1-n)|n\rangle \langle n|){\Big )}} 。 これらの行列を微分するために、次のインデックスを定義します。
α n m = n 2 + 2 ( m − n ) − 1 {\displaystyle \alpha _{nm}=n^{2}+2(m-n)-1} 、 β n m = n 2 + 2 ( m − n ) {\displaystyle \beta _{nm}=n^{2}+2(m-n)} 、 γ n = n 2 − 1 {\displaystyle \gamma _{n}=n^{2}-1} 、 条件付き 。 1 ≤ m < n ≤ N {\displaystyle 1\leq m<n\leq N}
ゼロでない全反対称構造定数はすべて
f α n m α k n β k m = f α n m α n k β k m = f α n m α k m β k n = 1 2 {\displaystyle f^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{nk}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}} 、 f β n m β k m β k n = 1 2 {\displaystyle f^{\beta _{nm}\beta _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}} 、 f α n m β n m γ m = − m − 1 2 m , f α n m β n m γ n = n 2 ( n − 1 ) {\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}},~f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}} 、 f α n m β n m γ k = 1 2 k ( k − 1 ) , m < k < n {\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n} 。 ゼロでない全対称構造定数はすべて
d α n m α k n α k m = d α n m β k n β k m = d α n m β m k β n k = 1 2 {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\alpha _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{kn}\beta _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{mk}\beta _{nk}}={\frac {1}{2}}} 、 d α n m β n k β k m = − 1 2 {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\beta _{nk}\beta _{km}}=-{\frac {1}{2}}} 、 d α n m α n m γ m = d β n m β n m γ m = − m − 1 2 m {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{m}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}}} 、 d α n m α n m γ k = d β n m β n m γ k = 1 2 k ( k − 1 ) , m < k < n {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n} 、 d α n m α n m γ n = d β n m β n m γ n = 2 − n 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{n}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\frac {2-n}{\sqrt {2n(n-1)}}}} 、 d α n m α n m γ k = d β n m β n m γ k = 2 k ( k − 1 ) , n < k {\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{k(k-1)}}},~n<k} 、 d γ n γ k γ k = 2 n ( n − 1 ) , k < n {\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{k}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}},~k<n} 、 d γ n γ n γ n = ( 2 − n ) 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{n}\gamma _{n}}=(2-n){\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}}} 。 導出の詳細については [3] と [4]を参照。
他の代数からの例
ホール多項式 ホール多項式は ホール代数 の構造定数です。
ホップ代数 ホップ代数 の積に加えて、 余積 と対蹠も 構造定数で表現できます。ホップ代数における無矛盾条件を定義する接続公理は、これらの様々な構造定数間の関係として表現できます。
アプリケーション すべての構造定数が 0 のとき、 リー群はまさに アーベル群になります。 リー群は、 その構造定数が実数であるときにのみ 実数となります。 構造定数は、リー代数が単純 コンパクト リー代数 の 直和で ある場合に限り、すべてのインデックスにおいて完全に反対称になります 。 冪 零リー群が 格子を許容する場合、かつそのリー代数が有理構造定数を持つ基底を許容する場合に限る。これはマルチェフの条件である。すべての冪零リー群が格子を許容するわけではない。詳細についてはラグナサンも参照のこと。 [5] 量子色力学 において 、記号 は ゲージ共変 グルーオン場強度テンソル を表し、これは 量子電気力学 における 電磁場強度テンソル F μν に 類似している。これは次式で与えられる： [6] ここで f abc は SU (3)の構造定数である。a 、 b 、 c の添え字 を押し上げるか引き下げるかの規則は 自明で あり (+,... +)、 f abc = f abc = fとなることに注意されたい。 G μ ν a {\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}\,} G μ ν a = ∂ μ A ν a − ∂ ν A μ a + g f a b c A μ b A ν c , {\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,} 紀元前 一方、 μ または ν インデックスについては、例えば メトリックシグネチャ （+ − − −） に対応する、 非自明な 相対論的規則があります。
リー代数の基底の選択 リー代数 の基底を与えるための従来のアプローチの一つは、 カルタン部分 代数の固有ベクトルとして現れる、いわゆる「ラダー作用素」を用いることです 。ここでは、この基底の構築を、従来の記法を用いて簡単に概説します。別の構成（ セール構成）については、 半単純リー代数の 記事で説明しています 。
リー代数 が与えられたとき 、カルタン部分代数 は最大アーベル部分代数である。定義により、カルタン部分代数は互いに可換な元から構成される。上では 直交 基底を自由に選ぶことができる。この基底を 次の ように書く。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} H 1 , ⋯ , H r {\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r}}
⟨ H i , H j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}} ここでは ベクトル空間上の 内積 である。この部分代数の次元は 代数の 階数 と呼ばれる。 随伴表現 において、行列は 互いに可換であり、同時に対角化することができる。行列は（同時） 固有ベクトル を 持つ 。固有値がゼロでないものは 慣例的に で表される 。 と共に、 これらはベクトル空間 全体を張る 。交換関係は次のように表される。 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } r {\displaystyle r} a d ( H i ) {\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})} a d ( H i ) {\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})} α {\displaystyle \alpha } E α {\displaystyle E_{\alpha }} H i {\displaystyle H_{i}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[ H i , H j ] = 0 and [ H i , E α ] = α i E α {\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }} 固有ベクトル は全体のスケールまでしか決定されない。従来の正規化の1つは、 E α {\displaystyle E_{\alpha }}
⟨ E α , E − α ⟩ = 1 {\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1} これにより、残りの交換関係は次のように書ける。
[ E α , E − α ] = α i H i {\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}} そして
[ E α , E β ] = N α , β E α + β {\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }} この最後の条件は、根（以下に定義）の合計 が非ゼロ値になるというものです 。 は、 の値を上げる/下げるという性質を持つため、 ラダー演算子 と呼ばれることもあります 。 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } α + β ≠ 0 {\displaystyle \alpha +\beta \neq 0} E α {\displaystyle E_{\alpha }} β {\displaystyle \beta }
与えられた に対して、 はと 同数存在する ので、ベクトル を定義することができます。 このベクトルは代数の 根 と呼ばれます。リー代数の根は規則的な構造で現れます（例えば、 単純なリー代数 では、根は2つの異なる長さしか持ちません）。 詳細は ルート系を参照してください。 α {\displaystyle \alpha } α i {\displaystyle \alpha _{i}} H i {\displaystyle H_{i}} α = α i H i {\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i}}
構造定数は、根の 場合にのみ非ゼロとなるという性質を持ちます 。さらに、それらは反対称です。 N α , β {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }} α + β {\displaystyle \alpha +\beta }
N α , β = − N β , α {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }} そして常に、
N α , β = − N − α , − β {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }} これらは共循環条件も満たす： [7]
N α , β = N β , γ = N γ , α {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }} いつでも 、そしてまた α + β + γ = 0 {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}
N α , β N γ , δ + N β , γ N α , δ + N γ , α N β , δ = 0 {\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0} いつでも 。 α + β + γ + δ = 0 {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =0}
参考文献 ^ フルトン、ウィリアム 、 ハリス、ジョー (1991). 表現論 入門. 大学院 数学テキスト 、数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249. OCLC 246650103. ^ ワインバーグ、スティーブン （1995年） 『場の量子論 』第1巻『基礎』ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-55001-7 。 ^ Bossion, D.; Huo, P. (2021). 「𝔰𝔲(N)リー代数における構造定数の一般式」. arXiv : 2108.07219 [math-ph]. ^ Bossion, D.; Ying, W.; Chowdhury, SN; Huo, P. (2022). 「SU(N)リー群の位相空間における非断熱写像ダイナミクス」. J. Chem. Phys . 157 (8): 084105. Bibcode :2022JChPh.157h4105B. doi :10.1063/5.0094893. PMID: 36049982. S2CID : 251187368. ^ Raghunathan, Madabusi S. (2012) [1972]. 「2. 冪零リー群の格子」. リー群の離散部分群. Springer. ISBN 978-3-642-86428-5 。 ^ Eidemüller, M.; Dosch, HG; Jamin, M. (2000) [1999]. 「QCD和則による場の強度相関子」. Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 86 ( 1– 3): 421– 5. arXiv : hep-ph/9908318 . Bibcode :2000NuPhS..86..421E. doi :10.1016/S0920-5632(00)00598-3. S2CID 18237543. ^ コーンウェル、JF (1984). 物理学における群論 第2巻 リー群とその応用. アカデミック・プレス. ISBN 0121898040 . OCLC 969857292. 
![{\displaystyle [A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1993067bb075f2ebfa02e78959b7c5bed68e06f4)
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![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc651b044961890d0d46ffed06e9c3f892e6570)
![{\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ae57c8b4abd049b22dc80cf66e6238f61c71ff)
![{\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f36f1610dbc36d7ce8757ca0a497dbb130f91)
![{\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffaf5f7103cee22ab11e6643e8dafbbb4a8e565)
![{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c47510c0154478eb8413a39a1d7f62275d4313)
