水没（数学）

Differential map between manifolds whose differential is everywhere surjective

数学において、沈み込み（しんりょう）とは、微分可能多様体間の微分写像であり、その微分推力が至る所で射影的である。これは微分位相幾何学における基本概念であり、沈み込みと双対である。

意味

MとNを微分可能多様体とし、それらの間の微分可能写像とする。写像fが点における沈み込みであるとは、その微分が ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

は射影 線型写像である。^[1]この場合、pは写像fの正則点と呼ばれる。そうでない場合、pは臨界点と呼ばれる。逆像のすべての点pが正則点である場合、点はfの正則値である。各点で沈み込みとなる微分可能写像fは沈み込みと呼ばれる。同様に、 fの微分がNの次元に等しい定数階数を持つ場合、 fは沈み込みである。 ${\displaystyle q\in N}$ ${\displaystyle f^{-1}(q)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle Df_{p}}$

一部の著者は、pにおけるfのヤコビ行列の階数が最大ではない点を説明するために臨界点という用語を使用しています。 ^{[2]確かに、これは}特異点理論でより有用な概念です。 Mの次元がNの次元以上である場合、これらの 2 つの臨界点の概念は一致します。ただし、 Mの次元がNの次元より小さい場合、上記の定義によればすべての点が臨界となります (微分は射影的になることはできません)。ただし、ヤコビ行列の階数は依然として最大である可能性があります ( dim Mに等しい場合)。上記の定義は、より一般的に使用されている定義であり、たとえば、サードの定理の定式化で使用されています。

沈み込み定理

次元と の滑らかな多様体間の沈み込みが与えられたとき、それぞれに対しての周りでの の射影チャート、およびの周りの の射影チャートが存在し、 は沈み込みに制限され、これを座標で と表すと、通常の直交射影となる。応用として、それぞれに対して、の対応するファイバー （との次元の差に等しい次元）に、 の滑らかな部分多様体の構造を持たせることができる。 ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon U\to V}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{p}=f^{-1}({p})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

この定理は逆関数定理の結果です(逆関数定理#多様体構造を与える を参照)。

例えば、で与えられるヤコビ行列は ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

これは、を除くすべての点で最大ランクを持ちます。また、ファイバー ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

はに対して空であり、 のときは点に等しい。したがって、 に対しては滑らかな沈み込みのみが存在し、部分集合はに対して2次元の滑らかな多様体である。 ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus {(0,0,0)}\to \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$ ${\displaystyle t>0}$

例

• あらゆる投影 ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• 局所微分同相写像
• リーマン沈み込み
• 滑らかなベクトル束、あるいはより一般的な滑らかなファイブレーションへの射影。微分の全射性は、局所自明化の存在のための必要条件である。

球体間の地図

沈み込みの大きな例としては、次のような高次元の球面間の沈み込みが挙げられる。

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

そのファイバーは次元 である。これは、ファイバー（要素 の逆像）が次元 の滑らかな多様体であるためである。そして、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p\in S^{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

そして引き戻しを取る

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&x\rightarrow {\gamma }&S^{k}\end{matrix}}}$

枠付きボルディズムと呼ばれる特殊なボルディズムの例が得られます。実際、枠付きコボルディズム群は安定ホモトピー群と密接に関連しています。 ${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$

代数多様体の族

沈み込みのもう一つの大きなクラスは、繊維が滑らかな代数多様体である代数多様体 の族によって与えられます。これらの多様体の根底多様体を考慮すると、滑らかな多様体が得られます。例えば、楕円曲線のワイエルシュトラス族は、交差ホモロジーや倒錯層など、より複雑な理論を証明するために用いられる多くの技術的な複雑さを含むため、広く研究されている沈み込みです。この族は次のように与えられます。 ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\right\}}$

ここではアフィン直線、はアフィン平面です。複素多様体を考慮しているため、これらは複素直線と複素平面の空間と同値です。特異点が存在するため（重根が存在するため）、実際には点を削除する必要があることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle t=0,1}$

局所正規形

f : M → Nがpにおける沈み込みでf ( p ) = q ∈ Nならば、 Mにおけるpの開近傍 UとNにおけるqの開近傍Vが存在し、 pにおける局所座標( x ₁ , …, x _m )とqにおける局所座標( x ₁ , …, x _n )が存在してf ( U ) = Vとなり、これらの局所座標における写像fは標準射影となる。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

したがって、微分可能写像f : M → Nの下で、 Nの正則値qのMの完全逆像f ⁻¹ ( q )は、空であるか、次元dim M − dim Nの微分可能多様体（連結されていない可能性もある）のいずれかである。これは、正則値定理（沈み込み定理とも呼ばれる）の内容である。特に、写像fが沈み込みである場合、この結論はNのすべてのqに対して成立する。

位相多様体の沈み込み

一般の位相多様体に対しても沈み込みは明確に定義されている。^[3]位相多様体の沈み込みは連続的な射影f  : M → Nであって、 Mのすべてのpに対して、 pにおけるψとf(p)におけるφといった連続チャートに対して、写像ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φはR ^mからR ⁿへの射影写像に等しく、ここでm = dim( M ) ≥ n = dim( N )である。

参照

• エーレスマンのファイバ化定理

注記

1. クランピンとピラニ、1994年、p. 243. ド・カルモ、1994 年、p. 185. フランケル、1997、p. 181. ガロット、フーリン、ラフォンテーヌ、2004 年、p. 12. コシンスキー、2007、p. 27. ラング 1999、p. 27. スタンバーグ、2012、p. 378.
2. アーノルド、グセイン＝ザーデ、ヴァルチェンコ、1985年。
3. ラング 1999、27ページ。

参考文献

• アーノルド、ウラジミール I. ;グセイン・ザード、サビル・Ｍ．ヴァルチェンコ、アレクサンダー N. (1985)。微分可能写像の特異点: 第 1 巻。ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3187-9。
• ブルース、ジェームズ・W.; ギブリン、ピーター・J. (1984). 『曲線と特異点』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-42999-4. MR  0774048。
• クランプン、マイケル; ピラニ、フェリックス・アーノルド・エドワード (1994). 『応用微分幾何学』ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-23190-9。
• カルモ、マンフレド・ペルディガオ(1994)。リーマン幾何学。ISBN 978-0-8176-3490-2。
• フランケル、セオドア（1997年）『物理学の幾何学』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38753-1. MR  1481707。
• ガロット、シルベストル。Hulin, ドミニク;ラフォンテーヌ、ジャック (2004)。リーマン幾何学(第 3 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-20493-0。
• コシンスキー、アントニ・アルバート (2007) [1993].微分多様体. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-46244-8。
• ラング、セルジュ(1999). 『微分幾何学の基礎』 . 数学大学院テキスト. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-98593-0。
• シュロモ・ツヴィ・スターンバーグ（2012年）『数学と物理学における曲率』ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-47855-5。

さらに読む

• https://mathoverflow.net/questions/376129/surjective-submersions-to-b に十分な条件と必要な条件は何ですか?rq=1

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