サブネット（数学）

Generalization of the concept of subsequence to the case of nets

位相幾何学および関連する数学の分野において、サブネットとは、部分列の概念をネットに一般化したものです。ネットにおける「部分列」に相当する概念は「サブネット」です。その定義は完全に単純ではありませんが、部分列に関する多くの定理をネットに可能な限り一般化できるように設計されています。

「サブネット」には、等価ではない定義が3つあります。サブネットの最初の定義は、1955年にジョン・L・ケリーによって提唱されました^[1]。その後、1970年にスティーブン・ウィラードがケリーの定義を独自に（等価ではない）改変した定義を提唱しました^[1]。 ウィラードの意味でのサブネットとケリーの意味でのサブネットは、「サブネット」の最も一般的な定義です^[1]。しかし、これらはいずれも、フィルターにおける「サブシーケンス」に相当する「従属フィルター」の概念とは等価ではありません（従属フィルターが存在する場合、そのフィルターと従属フィルターの関係を、対応するネットとサブネットの関係で説明できないという意味で等価ではありません）。 「サブネット」の3番目の定義（ケリーやウィラードの定義とは異なる）は「従属フィルタ」の概念と同等であり、スマイリー（1957年）、アーネスとアンデネス（1972年）、マーデシュワール（1983年）らによって独立して導入されたが、あまり使われていない。^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$

この記事では、Willard による定義について説明します (他の定義については、「トポロジ内のフィルター#サブネットと従属フィルターの非等価性」の記事で説明されています)。

定義

「サブネット」にはいくつかの異なる非同等の定義がありますが、この記事では1970年にStephen Willardによって導入された定義^[1]を使用します。これは次のとおりです。とがそれぞれ有向集合とから構成される集合内のネットである場合、は（Willardの意味で）のサブネットまたは ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ウィラードサブネット^[1]）が存在するとき、単調な 最終関数が、 となる。 関数は単調、順序保存、および のとき常に と順序準同型でありその像がにおいて共最終的と呼ばれる。 集合においてあるということは、任意のに対して となるものが存在するということであり任意の に対して とが存在する^{[注 1]。} $${\displaystyle h:I\to A}$$ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j)}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a;}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h(i)\geq a.}$

ネットは関数であり、ネットは関数であるため、定義条件はより簡潔かつ明確に、またはのように記述することができる。ここで、は関数の合成を表し、は関数の表記法である。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle s_{\bullet }:I\to X,}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{h(\bullet )}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle x_{h(\bullet )}:=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\circ h:I\to X.}$

サブネットとサブシーケンス

重要なのは、サブネットは単にネットをそのドメインの有向サブセットに制限するものではないということである 。対照的に、定義上、 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle A.}$与えられた数列の部分列とは、与えられた数列からいくつかの要素を削除することで、残りの要素の相対的な位置関係を変えずに形成される数列のことである部分列であるとは、任意の数列に対してとなる（つまり となる）正の整数の厳密増加数列が存在する場合である。数列はによって定義される関数と正準的に同一視できる、数列部分列であるとは、厳密増加関数が存在し、 となる場合のみである。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{1}<h_{2}<h_{3}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{n}=x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(s_{1},s_{2},\ldots \right)=\left(x_{h_{1}},x_{h_{2}},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(h_{1},h_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle h_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\mapsto h_{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h.}$

サブシーケンスはサブネットです

全ての部分列はサブネットである。なぜなら、が の部分列である場合、 によって定義される写像は順序保存写像であり、その像はその余域において共終的であり、すべての に対してを満たすからである。 ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\mapsto h_{n}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}=x_{h(n)}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

シーケンスとサブネットですが、サブシーケンスではありません

シーケンスは サブネットではあるが、の部分シーケンスではない。なぜなら、によって定義される写像は順序保存写像であり、その像は であり、すべての に対してを満たすからである^{[注 2]。} ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

シーケンスはネットですが、シーケンスには部分シーケンスではないサブネットがあります。重要な違いは、サブネットはネット内の同じ点を複数回使用でき、サブネットのインデックスセットははるかに大きなカーディナリティを持つことができることです。単調性を要求しないより一般的な定義を用いると、シーケンスは、ある部分シーケンスからその項を繰り返して並べ替えることで得られる場合にのみ、与えられたシーケンスのサブネットとなります。^[2]

シーケンスではないシーケンスのサブネット

数列のサブネットは必ずしも数列ではありません。[ 3 ^] 例えば、 が通常の順序で導かれ、が の天井とすることで が定義されるとします。すると は順序を保存する写像 (非減少関数であるため) であり、その像はその余域の共終部分集合となります。 が任意の数列 (例えば定数数列) であるとし、すべての についてとします(つまり、 とします)。このネットは数列の定義域が非可算集合であるため数列ではありません。しかし、は数列 のサブネットです。なぜなら(定義により)すべての について が成り立つからです。したがっては数列ではないのサブネットです。 ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle h:(I,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$ ${\displaystyle h(I)=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle s_{r}:=x_{h(r)}}$ ${\displaystyle r\in I}$ ${\displaystyle s_{\bullet }:=x_{\bullet }\circ h}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle s_{r}=x_{h(r)}}$ ${\displaystyle r\in I.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

さらに、シーケンスはのサブネットでもあります。なぜなら、 を送る包含写像は順序保存写像であり、その像はその共域の共終部分集合であり、すべて に対して成り立つからです。したがって、 とは（同時に）互いのサブネットです。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle \iota :\mathbb {N} \to I}$ ${\displaystyle n\mapsto n}$ ${\displaystyle \iota (\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}=s_{\iota (n)}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$

サブセットによって誘導されるサブネット

が無限集合で、が列であるとする。すると、は 上のネットであり、これも のサブネットである（包含写像 を とする）。このサブネットは、を の最小値として定義することで部分列を誘導する（つまり、任意の整数 についてと とする）。このように、 の任意の無限部分集合は、部分列として表すことができる標準的なサブネットを誘導する。しかし、以下に示すように、列のすべてのサブネットが部分列であるわけではない。 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\mapsto i}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf I}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{i\in I:i>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$

アプリケーション

この定義は、部分列に関するいくつかの重要な定理を一般化します。

• ネットが収束するのは、のすべてのサブネットが収束する場合のみである。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$
• ネットがクラスタポイントを持つのは、そのネットが収束するサブネットを持つ場合のみである。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle y}$
• 位相空間がコンパクトであるためには、その中のすべてのネットに収束サブネットが必要です (証明についてはネットを参照してください)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

を「サブネット」の定義における恒等写像とし、を の共終部分集合とすることを要求すると、共終サブネットの概念が導き出されますが、例えば共終サブネットに限定すると上記の 2 番目の定理がティコノフ プランクに対して成立しなくなるため、この概念は不十分であることがわかります。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

クラスタリングと閉鎖

がサブセット内のネットであり、がのクラスター ポイントである場合、言い換えると、サブセット内のネットのすべてのクラスター ポイントはそのセットの閉包に属します。 ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S.}$

がネットである場合、のすべてのクラスタポイントの集合は^[3]に等しい。ここで、各 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

収束とクラスタリング

ネットが点に収束する場合、 は必然的にそのネットのクラスタ点となる。^[3] 一般にその逆は保証されない。つまり、がネットのクラスタ点となることは可能だが、が に収束しない可能性がある。しかし、が にクラスタ化する 場合、に収束するのサブネットが存在する。このサブネットは、 および の近傍フィルタから次のように 明示的に構築できる。 を と宣言することで有向集合にする と、 およびは のサブネットとなる。なぜなら、写像 はおよびの共終部分集合となる単調関数だからである。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle I:=\left\{(a,U)\in A\times {\mathcal {N}}_{x}:x_{a}\in U\right\}}$$ $${\displaystyle (a,U)\leq (b,V)\quad {\text{ if and only if }}\quad a\leq b\;{\text{ and }}\;U\supseteq V;}$$ ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\alpha :\;&&I&&\;\to \;&A\\[0.3ex]&&(a,U)&&\;\mapsto \;&a\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \alpha (I)=A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x_{\alpha (\bullet )}:=\left(x_{\alpha (i)}\right)_{i\in I}=\left(x_{\alpha (a,U)}\right)_{(a,U)\in I}=\left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}.}$

したがって、ある点が与えられたネットのクラスタ点となるのは、 ^[3]に収束するサブネットを持つ場合のみである。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$

参照

• セットのフィルター - 「大きな」セットを表すサブセットのファミリー
• トポロジーにおけるフィルタ#サブネット – 基本的なトポロジーの概念と結果を記述し特徴付けるためのフィルタの使用

注記

1. 一部の著者は、サブネットのより一般的な定義を用いています。この定義では、写像は条件を満たす必要があります。任意の写像に対して、常にそのような写像が存在する。このような写像は最終的であるが、必ずしも単調であるとは限りません。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle h(b)\geq a}$ ${\displaystyle b\geq b_{0}.}$
2. 実際、これは、すべての に対してであり、言い換えれば、 を上の関数として考えると、 は上の恒等写像であるのに対し、 ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

引用

1. シェヒター1996、157–168ページ。
2. ゲーラー、ヴェルナー (1977).基礎構造分析 I .アカデミー・フェルラーク、ベルリン。、サッツ 2.8.3、p. 81
3. ウィラード2004、73–77ページ。

参考文献

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3885380064。
• ケリー、ジョン・L. (1991).一般位相幾何学. シュプリンガー. ISBN 3540901256。
• ルンデ、フォルカー (2005)。トポロジーの味。スプリンガー。ISBN 978-0387-25790-7。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

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