微分の直線性

Calculus property

微積分学では、関数の任意の線形結合の導関数は、関数の導関数の同じ線形結合に等しくなります。^[1]この性質は、微分の線形性、線形性の規則、^[2]または微分の重ね合わせの規則として知られています。^[3]これは、微分の基本的な性質であり、2 つのより簡単な微分規則、つまり和の規則(2 つの関数の和の導関数は、導関数の和である) と定数倍の規則(関数の定数倍の導関数は、導関数の同じ定数倍である) を 1 つの規則にまとめたものです。^{[4] [5]したがって、微分は}線形である、または微分演算子は線形演算子であると言えます。^[6]

ステートメントと導出

fとgをαとβが定数である関数とする。

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).}$

微分法の和則によれば、これは

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),}$

そして、微分法における定数倍則により、これは次のように帰着する。

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

括弧を省略すると、次のように記述されることが多いです。

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.}$

定義からの詳細な証明/導出

線形性原理全体を一度に証明することも、個々のステップ（定数倍と加算）を個別に証明することもできます。ここでは両方を示します。

線形性を直接証明すると、定数係数則、和則、および差分則も特別なケースとして証明されます。和則は、両方の定数係数を に設定することによって得られます。差分則は、最初の定数係数を に、2 番目の定数係数を に設定することによって得られます。定数係数則は、2 番目の定数係数または 2 番目の関数のいずれかを に設定することによって得られます。(技術的な観点から、 2 番目の関数の定義域も考慮する必要があります。問題を回避する 1 つの方法は、2 番目の関数を最初の関数に等しくし、2 番目の定数係数を に設定することです。また、2 番目の定数係数と 2 番目の関数の両方を 0 に定義することもできます。この場合、2 番目の関数の定義域は、他の可能性の中でも、最初の関数のスーパーセットになります。) ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

逆に、定数因数則と和則をまず証明すれば、線形性と差分則を証明できます。線形性の証明は、最初の関数と2番目の関数を、定数係数を乗じた2つの関数として定義することによって行われます。そして、前のセクションの導出で示したように、まず和則を用いて微分し、次に定数因数則を用いることで、線形性の結論に達します。差分則を証明するには、2番目の関数を、定数係数を乗じた別の関数として再定義します。これを簡略化すると、微分に関する差分則が得られます。 ${\displaystyle -1}$

以下の証明/導出では、^{[7] [8]}の係数が使用され、それらは上記の係数に対応しています。 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

直線性（直接）

とします。 を関数とします。を関数とし、がと が両方とも定義されている場合にのみ定義されるものとします。(言い換えると、 の定義域はとの定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=af(x)+bg(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

定義によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

極限の和の法則を用いるには、と がそれぞれ個別に存在することを知る必要があります。これらのより小さな極限については、と がそれぞれ個別に存在することを知ることで、 の係数法則を用いることができるようになります。定義により、と です。つまり、と がそれぞれ存在することを知っていれば、と がそれぞれ個別に存在することもわかります。これにより、 の係数法則を用いて次のように書くことができます。 ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

そして

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}$$

これで、と がそれぞれ個別に存在することが分かっているので、極限の和に対する極限則を適用することができます。ここから、これまで取り組んでいた微分に直接戻ることができます。最終的に、最初に主張したことを証明しました。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

和

を関数とします。を関数とし、がと が両方とも定義されている場合にのみ定義されるものとします。(言い換えると、 の定義域はとの定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=f(x)+g(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

定義によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$ここで極限の和に関する法則を用いるには、個々の極限、およびが両方とも存在することを示す必要があります。定義により、およびなので、導関数およびが存在する場合は常に極限が存在します。したがって、導関数が存在すると仮定すると、上記の導出を続けることができます。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

したがって、私たちが示したかったことは次のとおりです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

違い

を関数とします。を関数とし、がと が両方とも定義されている場合にのみ定義されるものとします。(言い換えると、 の定義域はとの定義域の共通部分です。)を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=f(x)-g(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

定義によれば、次のことがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

ここで極限差の法則を用いるには、個々の極限、およびが両方とも存在することを示す必要があります。定義により、およびとなるので、これらの極限は、導関数およびが存在する場合には必ず存在します。したがって、導関数が存在すると仮定すれば、上記の導出を続けることができます。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

したがって、私たちが示したかったことは次のとおりです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

定数係数

を関数とします。 を定数係数とします。 を関数とします。ただし、 j は が定義されている場合にのみ定義されます。（言い換えると、 の定義域はの定義域に等しいです。）を の定義域とします。 とします。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=af(x)}$

それを証明したいのです。 ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

定義によれば、次のことがわかります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}}$$

さて、定数係数の極限法則を使って、

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$が存在することを示す必要があります。しかし、微分の定義により、 は存在します。したがって、が存在するなら、 も 存在します。 ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

したがって、が存在すると仮定すると、極限法則を使用して証明を続けることができます。 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}}$$

したがって、 のとき、 が成り立つことが証明されました。 ${\displaystyle j(x)=af(x)}$ ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

参照

• 積分の微分 – 平均値積分の微分の問題
• 三角関数の微分 – 三角関数の導関数を求める数学的プロセス
• 微分法則 – 関数の微分を計算するための規則
• 分布（数学）  - 関数の概念の一般化Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 一般ライプニッツ則 – 微積分における積分則の一般化
• 部分積分 – 微積分における数学的手法
• 逆関数と微分 – 逆関数の微分の公式Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 積の法則 – 積の微分の公式
• 商の法則 – 関数の比の微分公式
• 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式

参考文献

1. ブランク、ブライアン・E.; クランツ、スティーブン・ジョージ (2006)、微積分学：単変数、第1巻、シュプリンガー、p. 177、ISBN 9781931914598。
2. 71～ 72ページ 、ISBN 9780961408824。
3. Stroyan, KD (2014), Calculus Using Mathematica, Academic Press, p. 89, ISBN 9781483267975。
4. エステップ、ドナルド（2002）、「20.1 関数の線形結合」、一変数実用解析、学部数学テキスト、シュプリンガー、pp.  259– 260、ISBN 9780387954844。
5. ゾーン、ポール（2010）、実解析の理解、CRCプレス、p.184、ISBN 9781439894323。
6. Gockenbach, Mark S. (2011), 有限次元線形代数、離散数学とその応用、CRC Press、p. 103、ISBN 9781439815649。
7. 「微分化ルール」CEMCのオープンコースウェア。 2022年5月3日閲覧。
8. ドーキンス、ポール. 「様々な導関数特性の証明」.ポールのオンラインノート. 2022年5月3日閲覧。

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