正規分布する確率変数の合計

確率論では、正規分布する確率変数の合計を計算することは、確率変数の算術の一例です。

これを、混合分布を形成する正規分布の合計と混同しないでください。

独立確率変数

XとYが正規分布する（したがって、同時に正規分布する） 独立した確率変数であるとすると、それらの和も正規分布する。すなわち、

${\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$

${\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$

${\displaystyle Z=X+Y,}$

それから

${\displaystyle Z\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}).}$

これは、2つの独立した正規分布に従う確率変数の合計が正規分布に従うことを意味し、その平均は2つの平均の合計であり、その分散は2つの分散の合計である（つまり、標準偏差の2乗は標準偏差の2乗の合計である）。^{[ 1 ]}

この結果が成り立つためには、XとYが独立しているという仮定を捨てることはできませんが、 XとYが別々にではなく一緒に正規分布しているという仮定に弱めることができます。^{[ 2 ]}（例についてはここを参照してください。）

平均に関する結果はすべての場合に当てはまりますが、分散に関する結果には無相関性は必要ですが、独立性は必要ありません。

証明

特性関数を用いた証明

特性関数

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it(X+Y)}\right)}$

2つの独立した確率変数XとYの合計は、2つの別々の特性関数の積に過ぎません。

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),\qquad \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)}$

XとYの。

^{期待値μと分散σ2}の正規分布の特性関数は

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left(it\mu -{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}\right).}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)&=\exp \left(it\mu _{X}-{\sigma _{X}^{2}t^{2} \over 2}\right)\exp \left(it\mu _{Y}-{\sigma _{Y}^{2}t^{2} \over 2}\right)\\[6pt]&=\exp \left(it(\mu _{X}+\mu _{Y})-{(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})t^{2} \over 2}\right).\end{aligned}}}$

これは期待値と分散を持つ正規分布の特性関数である。 ${\displaystyle \mu _{X}+\mu _{Y}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}$

最後に、2 つの異なる分布が同じ特性関数を持つことはできないため、X  +  Yの分布はまさにこの正規分布になる必要があることを思い出してください。

畳み込みを用いた証明

独立した確率変数XとYに対して、 Z = X  +  Yの分布f _Zはf _Xとf _Yの畳み込みに等しくなります。

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(z-x)f_{X}(x)\,dx}$

f _Xとf _Yが正規密度である とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)={\mathcal {N}}(x;\mu _{X},\sigma _{X}^{2})={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}}}e^{-(x-\mu _{X})^{2}/(2\sigma _{X}^{2})}\\[5pt]f_{Y}(y)={\mathcal {N}}(y;\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Y}}}e^{-(y-\mu _{Y})^{2}/(2\sigma _{Y}^{2})}\end{aligned}}}$

畳み込みに代入します:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{(z-x-\mu _{Y})^{2} \over 2\sigma _{Y}^{2}}\right]{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}}}\exp \left[-{(x-\mu _{X})^{2} \over 2\sigma _{X}^{2}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-x-\mu _{Y})^{2}+\sigma _{Y}^{2}(x-\mu _{X})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z^{2}+x^{2}+\mu _{Y}^{2}-2xz-2z\mu _{Y}+2x\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}(x^{2}+\mu _{X}^{2}-2x\mu _{X})}{2\sigma _{Y}^{2}\sigma _{X}^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {2\pi }}\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\exp \left[-{\frac {x^{2}(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})-2x(\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X})+\sigma _{X}^{2}(z^{2}+\mu _{Y}^{2}-2z\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}\sigma _{X}^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]\end{aligned}}}$

を定義し、平方完成させる： ${\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {x^{2}-2x{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}+{\frac {\sigma _{X}^{2}(z^{2}+\mu _{Y}^{2}-2z\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{\sigma _{Z}^{2}}}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}+{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})^{2}+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}}{\sigma _{Z}^{2}}}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{\frac {\sigma _{Z}^{2}\left(\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})^{2}+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}^{2}\right)-\left(\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}\right)^{2}}{2\sigma _{Z}^{2}\left(\sigma _{X}\sigma _{Y}\right)^{2}}}\right]{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{(z-(\mu _{X}+\mu _{Y}))^{2} \over 2\sigma _{Z}^{2}}\right]\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\sigma _{X}^{2}(z-\mu _{Y})+\sigma _{Y}^{2}\mu _{X}}{\sigma _{Z}^{2}}}\right)^{2}}{2\left({\frac {\sigma _{X}\sigma _{Y}}{\sigma _{Z}}}\right)^{2}}}\right]\,dx\end{aligned}}}$

積分の式はx上の正規密度分布なので、積分は 1 と評価されます。望ましい結果は次のとおりです。

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{Z}}}\exp \left[-{(z-(\mu _{X}+\mu _{Y}))^{2} \over 2\sigma _{Z}^{2}}\right]}$

畳み込み定理の使用

ガウス分布のフーリエ変換は^{[ 3 ]}であることが示される。 ${\displaystyle f_{X}(x)={\mathcal {N}}(x;\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f_{X}\}=F_{X}(\omega )=\exp \left[-j\omega \mu _{X}\right]\exp \left[-{\tfrac {\sigma _{X}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]}$

畳み込み定理により：

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=(f_{X}*f_{Y})(z)\\[5pt]&={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}{\mathcal {F}}\{f_{X}\}\cdot {\mathcal {F}}\{f_{Y}\}{\big \}}\\[5pt]&={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}\exp \left[-j\omega \mu _{X}\right]\exp \left[-{\tfrac {\sigma _{X}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]\exp \left[-j\omega \mu _{Y}\right]\exp \left[-{\tfrac {\sigma _{Y}^{2}\omega ^{2}}{2}}\right]{\big \}}\\[5pt]&={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}\exp \left[-j\omega (\mu _{X}+\mu _{Y})\right]\exp \left[-{\tfrac {(\sigma _{X}^{2}\ +\sigma _{Y}^{2})\omega ^{2}}{2}}\right]{\big \}}\\[5pt]&={\mathcal {N}}(z;\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})\end{aligned}}}$

幾何学的証明

まず、 X、YがN（0、1）の正規化されたケースを考えます。そのPDFは次のようになります。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}$

そして

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-y^{2}/2}.}$

Z = X  +  Yとすると、 ZのCDFは 次のようになる 。

${\displaystyle z\mapsto \int _{x+y\leq z}f(x)g(y)\,dx\,dy.}$

この積分は、 x + y = zの線の下にある半平面上で行われます。

重要な観察点は、関数

${\displaystyle f(x)g(y)={\frac {1}{2\pi }}e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,}$

は放射対称である。そこで、座標平面を原点を中心に回転し、直線x + y = zが次式で表されるような新しい座標を選択する。ここで、は幾何学的に決定される。放射対称性のため、となり、 ZのCDFは次式となる。 ${\displaystyle x',y'}$ ${\displaystyle x'=c}$ ${\displaystyle c=c(z)}$ ${\displaystyle f(x)g(y)=f(x')g(y')}$

${\displaystyle \int _{x'\leq c,y'\in \mathbb {R} }f(x')g(y')\,dx'\,dy'.}$

これは簡単に積分できる。ZのCDFは次のようになる 。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{c(z)}f(x')\,dx'=\Phi (c(z)).}$

の値を決定するために、平面を回転させて直線x + y = zが垂直になり、x切片がcになるようにしたことに注意してください。つまり、cは原点から直線 x + y = zまでの垂直二等分線に沿った距離に相当し、この二等分線は原点に最も近い点（この場合は ）で直線x + y = z と交わります。したがって、距離は となり、 Zの CDFは、つまり ${\displaystyle c(z)}$ ${\displaystyle (z/2,z/2)\,}$ ${\displaystyle c={\sqrt {(z/2)^{2}+(z/2)^{2}}}=z/{\sqrt {2}}\,}$ ${\displaystyle \Phi (z/{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle Z=X+Y\sim N(0,2).}$

ここで、a、bが任意の実定数（両方がゼロではない）である場合、その確率は上記と同じ積分によって求められますが、境界線は となります。同じ回転法が使え、このより一般的なケースでは、直線上の原点に最も近い点は（符号付き）距離aに位置することがわかります。 ${\displaystyle aX+bY\leq z}$ ${\displaystyle ax+by=z}$

${\displaystyle {\frac {z}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

離れて、

${\displaystyle aX+bY\sim N(0,a^{2}+b^{2}).}$

同じ議論を高次元で展開すると、

${\displaystyle X_{i}\sim N(0,\sigma _{i}^{2}),\qquad i=1,\dots ,n,}$

それから

${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}\sim N(0,\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}).}$

これで基本的には終わりです。

${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\Leftrightarrow {\frac {1}{\sigma }}(X-\mu )\sim N(0,1).}$

つまり、一般的に言えば、

${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\qquad i=1,\dots ,n,}$

それから

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\sim N\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}(a_{i}\sigma _{i})^{2}\right).}$

相関確率変数

変数XとYが共に正規分布する確率変数である場合、 X  +  Yは依然として正規分布し（多変量正規分布を参照）、平均は平均の和となる。しかし、相関関係があるため、分散は加法性を持たない。実際、

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},}$

ここで、ρは相関係数です。特に、ρ < 0の場合には、分散はXとYの分散の合計よりも小さくなります。

この結果は、共分散行列を使用して、2 つ以上のランダム変数に対して拡張できます。

XとYが共に正規分布することが分かっているという条件は、それらの和が正規分布するという結論を適用するために必要であることに注意してください。変数XとYはそれぞれ正規分布するが、より複雑な共分布を示す場合があります。その場合、X  +  Yは当然のことながら、複雑な非正規分布を示す可能性があります。場合によっては、このような状況はコピュラを用いて処理できます。

証拠

この場合（XとYの平均がゼロの場合）、考慮する必要があるのは

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{x\,y}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {x^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}-{\frac {2\rho xy}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)\right]\delta (z-(x+y))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}$

上と同様に、置換を行う。 ${\displaystyle y\rightarrow z-x}$

この積分は解析的に簡略化するのが複雑ですが、数式処理プログラムを使えば簡単に行えます。この場合、 確率分布f _Z ( z ) は次のように与えられます。

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{+}}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2\sigma _{+}^{2}}}\right)}$

どこ

${\displaystyle \sigma _{+}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}}}.}$

代わりにZ = X  −  Yとすると、

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi (\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y})}}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y})}}\right)}$

これは次のように書き直すこともできる。

${\displaystyle \sigma _{X-Y}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}}}.}$

標準正規分布と比較すると、各分布の標準偏差は明らかです。

参考文献

1. レモンズ、ドン・S.（2002）、物理学における確率過程入門、ジョンズ・ホプキンス大学出版局、p.34、ISBN 0-8018-6866-1
2. レモンズ（2002）35～36ページ
3. Derpanis, Konstantinos G. (2005年10月20日). 「ガウス分布のフーリエ変換」(PDF) .

参照

• 不確実性の伝播
• 確率変数の代数
• 安定した分布
• 標準誤差（統計）
• 比率分布
• 製品流通
• スラッシュ分布
• 確率分布の畳み込みの一覧

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