テトレーション

Arithmetic operation

正則四分位の領域彩色。色相は関数の引数、明度は大きさを表す。 ${\displaystyle {}^{z}e}$

${\displaystyle {}^{n}x}$、n = 2, 3, 4, ...、2つの点の間の無限反復指数関数への収束を示す

数学において、テトレーション（またはハイパー4）は、反復累乗に基づく演算です。テトレーションには標準的な記法はありませんが、クヌースの上矢印記法と左指数記法が一般的です。 ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$ ${\displaystyle {}^{x}b}$

繰り返しべき乗の定義によれば、は を意味します。ここで、aのn個のコピーが右から左へのべき乗、つまりべき乗の繰り返しによって繰り返されます。nは関数の「高さ」と呼ばれ、a はべき乗に類似した「底」と呼ばれます。これは「 aのn回目のテトレーション」と読みます。例えば、2 を 4 にテトレーションしたもの（または 2 の 4 回目のテトレーション）は です。 ${\displaystyle {^{n}a}}$ ${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536}$

これは、べき乗の次に来る超演算であり、ペンテーションの前にあります。この言葉は、ルーベン・ルイス・グッドスタインが「tetra-（4）」と「iteration（反復）」を組み合わせて作った造語です。

テトレーションは再帰的に次のように定義される。

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{if }}n>0,\end{cases}}}$

実数、複素数、順序数などの非自然数へのテトレーションの正則拡張が可能になり、2017 年に証明されました。

テトレーションの2つの逆関数は、n乗根と対数関数に類似して、超根と超対数と呼ばれます。3つの関数はいずれも基本関数ではありません。

テトレーションは非常に大きな数の表記に使用されます。

導入

ここでは最初の4つのハイパー演算を示しており、テトレーションは4番目とみなされます。単項演算 連続は と定義され、0番目の演算とみなされます。 ${\displaystyle a'=a+1}$

1. 1 をn個コピーして、連続して結合したものをaに追加します。 $${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
2. 加算によって結合されたaのn個のコピーの乗算。 $${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
3. 乗算によって結合されたaのn個のコピーの累乗。 $${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
4. テトレーションaのn個のコピーを指数関数で右から左に結合します。 $${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$$

重要なのは、ネストされた指数は上から下に解釈されるということです。⁠ ⁠は ${\displaystyle a^{b^{c}}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{\left(b^{c}\right)}}$を意味し、⁠ ⁠ ではありません。 ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}.}$

連続、は最も基本的な演算です。加算 ( ) は基本演算ですが、自然数の加算では、 の連続する連鎖と考えることができます。乗算 ( ) も基本演算ですが、自然数の場合は、の数を含む連鎖加算として同様に考えることができます。累乗はの数を含む連鎖乗算、テトレーション ( ) はの数を含む連鎖累乗と考えることができます。上記の各演算は、前の演算を反復することで定義されますが、^[1]以前の演算とは異なり、テトレーションは基本関数ではありません。 ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$ ${\displaystyle a+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ^{n}a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

パラメータは基数と呼ばれ、パラメータは高さと呼ばれることもあります。テトレーションの本来の定義では、高さパラメータは自然数でなければなりません。例えば、「3 のそれ自身の負の5倍」や「4 のそれ自身の半分の倍」というのは非論理的です。しかし、加算、乗算、累乗を実数や複素数への拡張を可能にする方法で定義できるのと同様に、テトレーションを負数、実数、複素数に一般化する試みがいくつか行われてきました。その方法の1つは、テトレーションの再帰的定義を使用することです。任意の正の実数および非負整数に対して、 を再帰的に次のように定義できます。^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

再帰的な定義は、自然の高さの繰り返し指数化と同等です。ただし、この定義では、、、などの他の高さへの拡張も可能であり、これらの拡張の多くは活発に研究されている分野です。 ${\displaystyle ^{0}a}$ ${\displaystyle ^{-1}a}$ ${\displaystyle ^{i}a}$

用語

テトレーションには多くの用語があり、それぞれに根拠となる論理がありますが、何らかの理由で一般的に使われていない用語もあります。ここでは、それぞれの用語とその根拠、そして反論を比較します。

• テトレーションという用語は、グッドスタインが1947年の論文『再帰的数論における超限順序数』^{[2] （}グッドスタインの定理で用いられた再帰的基底表現を高次の演算に一般化した）で導入し、現在では広く使われるようになった。また、ルディ・ラッカーの『無限と心』でも広く知られるようになった。
• スーパー指数化という用語は、 1987年にブロマーが論文「スーパー指数化」で発表しました^{。[3]この用語は、エド・ネルソンが1986年に}プリンストン大学出版局から出版した著書「述語算術」の中で以前に使用されていました。
• ハイパーパワー^[4]という用語は、ハイパーとパワーを組み合わせた自然な組み合わせであり、テトレーションを適切に表現しています。問題は、ハイパー演算シーケンスにおけるハイパーの意味にあります。ハイパー演算を考えるとき、ハイパーという用語はすべてのランクを指し、スーパーという用語はランク4、つまりテトレーションを指します。したがって、これらの観点から見ると、ハイパーパワーはテトレーションのみを指しているため、誤解を招きます。
• べき乗タワー^[5]という用語は、 の「 n次べき乗タワー」という形で時々使用されます。べき乗は誤解されやすいため、べき乗演算は右結合であることに注意してください (下記参照)。テトレーションは、式の右上側からインスタンス a^a (この値を c と呼ぶ) を開始して、反復べき乗(この右結合演算を ^ と呼ぶ) です。次の左方向の a (これを「次の底」b と呼ぶ) をべき乗するには、新しい値 b^c を取得した後、左方向に作業を進めます。左方向に作業を進め、左隣の a を底 b として使用し、新しい b^c を評価します。次に、次の下降ステップで c の新しい値を使用して、「タワーを降りて」いきます。 ${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

テトレーションは、いくつかの共通用語や類似した記法記号の使用により、関連性の高い関数や式と混同されることがよくあります。以下に関連用語をいくつか示します。

テトレーションに関連する用語

用語	形状
テトレーション	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$
反復指数	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$
ネストされた指数関数（タワーも）	${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$
無限指数（タワーも）	${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

最初の2つの式では、 aは底辺、 a の出現回数は高さ（xに1を加算）です。3番目の式では、nは高さですが、底辺はそれぞれ異なります。

反復指数について言及する際には注意が必要です。この形式の表現を反復指数と呼ぶことが一般的ですが、これは反復 累乗または反復指数のいずれかを意味する可能性があるため、あいまいです。

表記

テトレーションを表現するために使用できる記法は数多くあります。他のハイパー演算の記述にも使用できる記法もあれば、テトレーションに限定され、直接拡張できない記法もあります。

テトレーションの表記スタイル

名前	形状	説明
クヌースの上矢印記法	${\displaystyle {\begin{aligned}a{\uparrow \uparrow }n\\a{\uparrow }^{2}n\end{aligned}}}$	さらに多くの矢印を配置したり、さらに強力なインデックス付き矢印を配置したりすることで、拡張が可能になります。
コンウェイ連鎖矢印記法	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	数字の 2 を増やすことで拡張が可能になります (上記の拡張機能と同等)。また、チェーンを拡張することでさらに強力になります。
アッカーマン関数	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	特殊なケースを Ackermann 関数で記述できるようにします。 ${\displaystyle a=2}$
反復指数表記	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}$	1 以外の初期値から反復指数への単純な拡張を許可します。
フーシュマンド記法[6]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {uxp} _{a}n\\[2pt]&a^{\frac {n}{}}\end{aligned}}}$	MH Hooshmand [2006]によって使用されました。
ハイパーオペレーション記法	${\displaystyle {\begin{aligned}&a[4]n\\[2pt]&H_{4}(a,n)\end{aligned}}}$	数値 4 を増やすことで拡張が可能になります。これにより、ハイパー演算のファミリーが得られます。
二重キャレット表記	a^^n	上矢印はキャレット ( ) と同じように使用されるため、テトレーションは ( )^と記述できます。これはASCIIに便利です。^^

上記の表記法の 1 つは反復指数表記法を使用しており、これは一般に次のように定義されます。

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$n a s付き。

反復指数の表記法はそれほど多くありませんが、いくつか例を挙げます。

反復指数の表記スタイル

名前	形状	説明
標準表記	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	オイラーはという表記を作り出し、反復表記もほぼ同じくらいの期間にわたって存在しています。 ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$ ${\displaystyle f^{n}(x)}$
クヌースの上矢印記法	${\displaystyle (a{\uparrow }^{2}(x))}$	矢印の数を増やすことで超べき乗や超指数関数が可能になります。大きな数に関する記事で使用されます。
テキスト表記	exp_a^n(x)	標準表記法に基づきます。ASCII に便利です。
J表記	x^^:(n-1)x	累乗を繰り返します。J （プログラミング言語）を参照してください。[7]
無限障壁表記	${\displaystyle a\uparrow \uparrow n|x}$	ジョナサン・バウワーズがこれを造語し[8]、より高次のハイパーオペレーションに拡張することができます。

例

テトレーションの急速な成長のため、以下の表のほとんどの値は科学的記数法では表記できないほど大きくなります。このような場合は、反復指数記法を用いて10進数で表します。小数点を含む値は概算値です。通常、Wolfram Alphaなどの数値計算プログラムで計算できる桁数は3↑↑4までで、3↑↑5までの桁数を表現できます。

テトレーションの例

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$	${\displaystyle {}^{5}x}$	${\displaystyle {}^{6}x}$	${\displaystyle {}^{7}x}$
1	1	1	1	1	1	1
2	4 (2 2 )	16 (2 4 )	65,536 (2 16 )	2.00353 × 10 19,728	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.29508)}$（10 6.03123×10 19,727）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.29508)}$
3	27 (3 3 )	7,625,597,484,987 (3 27 )	1.25801 × 10 3,638,334,640,024 [9]	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1.09902)}$ （10 6.00225×10 3,638,334,640,023）	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1.09902)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1.09902)}$
4	256 (4 4 )	1.34078 × 10 154 (4 256 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$（10 8.0723×10 153）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(2.18726)}$
5	3,125 (5 5 )	1.91101 × 10 2,184 (5 3,125 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$（10 1.33574×10 2,184）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(3.33928)}$
6	46,656 (6 6 )	2.65912 × 10 36,305 (6 46,656 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$（10 2.0692×10 36,305）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(4.55997)}$
7	823,543 (7 7 )	3.75982 × 10 695,974 (7 823,543 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$（3.17742 × 10の695,974桁）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(5.84259)}$
8	16,777,216 (8 8 )	6.01452 × 10 15,151,335	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$（5.43165 × 10 15,151,335桁）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(7.18045)}$
9	3億8742万489円（99円）	4.28125 × 10 369,693,099	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$（4.08535 × 10 369,693,099桁）	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(8.56784)}$
10	10,000,000,000 (10 10 )	10 10,000,000,000	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$（10 10,000,000,000 + 1桁）	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{7}(1)}$

注: x が10 と桁違いに異ならない場合、すべての に対して となります。例えば、上記の表では、次の行ではその差はさらに小さくなります。 ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$ ${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

拡張機能

テトレーションは2つの異なる方法で拡張できます。式 において、底辺aと高さn はどちらも、テトレーションの定義と性質を用いて一般化できます。底辺と高さは非負整数 を超えて、 、などの複素関数、そして高さnが無限大の場合など、様々な領域に拡張できますが、テトレーションの性質がより限定されているため、テトレーションの拡張可能性は低くなります。 ${\displaystyle ^{n}a\!}$ ${\displaystyle {^{n}0}}$ ${\displaystyle {}^{n}i}$

基底のドメインの拡張

ベースゼロ

指数関数は一貫して定義されていない。したがって、テトレーションは前述の式では明確に定義されない。しかし、は明確に定義されており、存在する：^[10] ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle \,{^{n}0}}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

したがって、 を一貫して定義できます。これは を定義することに類似しています。 ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

この拡張では、となるので、元の定義の規則は依然として当てはまります。 ${\displaystyle {}^{0}0=1}$ ${\displaystyle {^{0}a}=1}$

複合塩基

周期によるテトレーション

脱出によるテトレーション

複素数はべき乗できるため、 z = a + bi（aとbは実数）の形の基数にテトレーションを適用できます。例えば、z = iのⁿ zでは、自然対数の主枝を用いることでテトレーションが実現されます。オイラーの公式を用いると、以下の関係が得られます。

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

これは、任意のⁿ i = a + biに対して^{n +1} i = a′ + b′iの再帰定義を示唆している。

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

次のような近似値が導き出されます。

複素塩基のテトレーションの値

${\textstyle {}^{n}i}$	おおよその値
${\textstyle {}^{1}i=i}$	私
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0.2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0.9472 + 0.3208 i
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0.0501 + 0.6021 i
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0.3872 + 0.0305 i
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0.7823 + 0.5446 i
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0.1426 + 0.4005 i
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0.5198 + 0.1184 i
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0.5686 + 0.6051 i

前のセクションと同様に、逆関係を解くと、予想どおり⁰ i = 1および⁻¹ i = 0が得られ、 nの値が負の場合、虚軸上で無限大の結果が得られます。^{[引用が必要]}複素平面にプロットすると、シーケンス全体は極限0.4383 + 0.3606 iまで螺旋状に進みます。これは、 nが無限大となる値として解釈できます。

このようなテトレーション列はオイラーの時代から研究されてきましたが、そのカオス的な振る舞いのために十分に理解されていません。歴史的に発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束に焦点を当ててきました。現在の研究は、フラクタルおよび記号数学ソフトウェアを備えた強力なコンピュータの登場によって大きく恩恵を受けています。テトレーションに関する知見の多くは、複雑な力学に関する一般的な知識と、指数写像に関する具体的な研究に由来しています。^[要出典]

異なる高さに対するドメインの拡張

無限の高さ

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$無限反復指数関数は基底に対して収束する ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

複素平面上の関数。実数値の無限反復指数関数（黒の曲線）を示す。 ${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

テトレーションは無限高まで拡張できます。つまり、 における特定のaおよびn の値に対して、無限大nに対する明確な結果が存在します。これは、ある区間内の基数において、高さが無限大に近づくにつれて、テトレーションは有限値に収束するためです。例えば、は 2 に収束するため、 は 2 に等しいと言えます。 2 への収束傾向は、小さな有限タワーを評価することで確認できます。 ${\displaystyle {}^{n}a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

一般に、無限反復指数関数は、 n が無限大に近づくにつれての極限として定義され、 e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}で収束します。これは、おおよそ 0.066 ^[11]から1.44 ^{[12]の範囲で収束し、これは}レオンハルト・オイラー^[13]によって示された結果です。この極限が存在するとすれば、方程式y = x ^yの正の実数解です。したがって、x = y ^{1/ y}です。xの無限指数関数を定義する極限は、y ^{1 / y}の最大値がe 1/ ^{e であるため、 x > e 1/ e}の場合には^存在しません。また、 0 < x < e ^{− e}の場合には、この極限は存在しません。 ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$ ${\displaystyle {}^{n}x}$

これは、次の定義によって複素数zに拡張できます。

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

ここで、WはランバートのW関数を表します。この式は収束するという仮定から導かれ 、したがって、、、、（下記の平方根参照）となります。 ${\displaystyle z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}=a}$ ${\displaystyle z^{a}=a}$ ${\displaystyle z=a^{1/a}}$ ${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$ ${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$

極限y = ^∞ x (正の実数直線上に存在する場合、つまりe ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}の場合)はx ^y = yを満たす必要があるため、 x ↦ y = ^∞ xはy ↦ x = y ^{1/ y}の逆関数 (の下側ブランチ) であることがわかります。

負の高さ

テトレーションの再帰規則を逆にすると、

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

書くには:

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

kに-1を代入すると

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^[14]

この方法では、より小さな負の値は適切に定義できません。同じ式でkに-2を代入すると、

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

明確に定義されていない。しかし、集合として考えられる場合もある。^[14]

の場合、 の任意の定義は規則と整合する。なぜなら 、 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$任意の。 ${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

実際の高さの線形近似

${\displaystyle \,{}^{x}e}$線形近似を使用する

線形近似（連続性要件の解、微分可能性要件の近似）は次のように与えられます。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

したがって：

線形近似値

近似	ドメイン
${\textstyle {}^{x}a\approx x+1}$	−1 < x < 0の場合
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}}$	0 < x < 1の場合
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	1 < x < 2の場合

などがある。しかし、これは区分的にしか微分可能ではない。x が整数値の場合、導関数は に掛けられる。 が連続的に微分可能であるのは の場合のみである。例えば、これらの方法と ${\displaystyle \ln {a}}$ ${\displaystyle x>-2}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$ ${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Hooshmandの論文^[6]の主な定理は次のように述べています。が連続であり、以下の条件を満たす場合: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$ ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$は(−1, 0)上で微分可能であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }}$は（−1, 0）上の非減少関数または非増加関数であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

は方程式によって一意に決定される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

ここで、はxの小数部を表し、は関数 の-反復関数です。 ${\displaystyle (x)=x-[x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle \exp _{a}}$

証明は、2番目から4番目の条件からfが[−1, 0]上の線形関数であることが自明に分かるということです。

自然テトレーション関数の線形近似は連続的に微分可能であるが、その二階微分は引数の整数値では存在しない。フーシュマンドはこれについて、次のような別の一意性定理を導出した。 ${\displaystyle {}^{x}e}$

が次を満たす連続関数である場合: ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$は(−1, 0)に凸であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

次に. [これは、自然なテトレーション関数の線形近似に対する Hooshmand の名前です。] ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$ ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

証明は前とほぼ同じです。再帰方程式により が保証され、凸性条件により が(−1, 0)上で線形であることが示されます。 ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ${\displaystyle f}$

したがって、自然テトレーションへの線形近似は、方程式の唯一の解であり、(−1, +∞)上で凸となる。他の十分微分可能な解はすべて、区間(−1, 0)上に変曲点を持つ必要がある。 ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

実高度の高次近似

x = −2からx = 2までの関数の線形近似と二次近似（それぞれ赤と青）の比較 ${\displaystyle ^{x}0.5}$

線形近似を超えて、（微分可能性の要件に対する）二次近似は次のように与えられます。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

これはすべての について微分可能だが、2回微分可能ではない。例えば、これが線形近似と同じ場合である。^[1] ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$ ${\displaystyle a=e}$

この関数は計算方法上、指数関数とは異なり「打ち消されない」。つまり、 ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$。

二次近似があるように、三次近似やn次の近似に一般化する方法も存在するが、それらははるかに扱いにくい。^{[1] [15]}

複雑な高さ

複素平面へのテトレーションの解析的拡張の図。レベルと準位は太い曲線で示されている。 ${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$ ${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$ ${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

2017 年に、（ のときと同値）を補助条件、 （対数の吸引/反発不動点、おおよそ）とともに満たす唯一の関数 が存在することが証明されました^[16]。さらに、は、における実軸に沿った切断を除いて のすべてで正則です。この構成は、Kouznetsov (2009) ^[17]によって最初に予想され、1950 年に Kneser によって厳密に実行されました。^[18] Paulsen と Cowgill の証明は、Kneser の元の構成を任意の基数 に拡張し、その後の研究ではで を許容する方法を示しました。^[19] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(z+1)=\exp {\bigl (}F(z){\bigr )}}$ ${\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}}$ ${\displaystyle b=e}$ ${\displaystyle F(0)=1}$ ${\displaystyle F(z)\to \xi _{\pm }}$ ${\displaystyle 0.318\pm 1.337\,\mathrm {i} }$ ${\displaystyle z\to \pm i\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\leq -2}$ ${\displaystyle b>e^{1/e}\approx 1.445}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |b|>e^{1/e}}$

2025 年 5 月、Vey は、シュレーダー方程式を用いて、任意の複素基底および複素高さに対する統一的な正則拡大を与えた。具体的には、写像 の吸引（または反発）不動点付近に線形化座標を構築し、2 つの解析展開（各不動点の周り 1 つ）をパッチして、のすべてでおよび を満たす単一 の関数を生成する。重要なステップは、 が の不動点、 、および - 倍反復を表す を定義することである。次に、シュレーダーの関数方程式を局所的に（ の近くで）解き、両方の枝を正則に拡張し、既知のカットライン以外にモノドロミーがないようにそれらを接着する。Vey はまた、局所シュレーダー展開における係数の明示的な級数も提供し、 の階乗収束を証明する厳密な境界を与える。^[20] ${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(w)=b^{w}}$ ${\displaystyle F_{b}(z)}$ ${\displaystyle F_{b}(z+1)=b^{\,F_{b}(z)}}$ ${\displaystyle F_{b}(0)=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \displaystyle \Phi _{b}(w)=\lim _{n\to \infty }\;s^{n}{\Bigl (}f^{\circ n}(w)-\alpha {\Bigr )},}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(w)=b^{w}}$ ${\displaystyle s=f'(\alpha )}$ ${\displaystyle f^{\circ n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Phi _{b}{\bigl (}b^{\,w}{\bigr )}\;=\;s\;\Phi _{b}(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{n}^{(b)}}$ ${\displaystyle \Phi _{b}(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}^{(b)}\,(w-\alpha )^{n},}$ ${\displaystyle a_{n}^{(b)}}$

Kneser (および Vey) のテトレーションを使用すると、例として、、および など の値があります。 ${\displaystyle {}^{\tfrac {\pi }{2}}e\approx 5.82366\ldots }$ ${\displaystyle {}^{\tfrac {1}{2}}2\approx 1.45878\ldots }$ ${\displaystyle {}^{\tfrac {1}{2}}e\approx 1.64635\ldots }$

テトレーションが のすべて（既知のカットを除く）において正則であるという要件は、一意性にとって本質的である。正則性を緩和すると、ほぼ周期的な摂動を前置または後置合成することで得られる実解析的「解」は無数に存在する。例えば、任意の高速減衰実数列およびに対して、と を依然として満たすが、虚数方向から忍び寄る追加の特異点を持つ と設定することができる 。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}}$ ${\displaystyle \{\beta _{n}\}}$ ${\displaystyle S(z)=F_{b}{\Bigl (}\,z+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi n\,z)\,\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-\cos(2\pi n\,z){\bigr ]}\,\beta _{n}{\Bigr )},}$ ${\displaystyle S(z+1)=b^{S(z)}}$ ${\displaystyle S(0)=1}$

<!-- Vey のソリューションを擬似コードで「呼び出す」例 (シリーズ形式) -->関数ComplexTetration(b, z): # 1) w ↦ b^w の固定点αを求める α ← 実数直線に近い α = b^α の一意の解 # 2) 乗数 s = b^α · ln(b) を計算する s ← b**α * log(b) # 3) シュレーダー方程式の係数{a_n}をαの周りで解きます。 # Φ_b(w) = ∑_{n=0}^∞ a_n · (w − α)^n, Φ_b(b^w) = s · Φ_b(w) {a_n} ← LinearSystemSchroeder(b, α, s)を解く # 4) 0の周りの局所冪級数を介して逆関数φ_b⁻¹を定義する φ_inv(u) = α + ∑_{n=1}^∞ c_n · u^n # （級数反転からの係数c_n） # 5) F_b(z) = φ_b⁻¹(s^(-z) · Φ_b(1)) とおく φ_inv( s^(−z) * ∑_{n=0}^∞ a_n · (1 − α)^n ) を返す

序数テトレーション

テトレーションは超限帰納法によって順序数に対して定義できる。すべてのαおよびすべてのβ > 0に対して： $${\displaystyle {}^{0}\alpha =1}$$ $${\displaystyle {}^{\beta }\alpha =\sup(\{\alpha ^{{}^{\gamma }\alpha }:\gamma <\beta \})\,.}$$

非基本的な再帰性

テトレーション（ に限定）は初等帰納的関数ではない。帰納法によって、すべての初等帰納的関数fに対して定数cが 存在し、 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

右辺を と表記します。逆に、テトレーションが基本再帰的であると仮定します。も基本再帰的です。上記の不等式より、となる定数cが存在します。 とすると、 となり、これは矛盾です。 ${\displaystyle g(c,x)}$ ${\displaystyle g(x,x)+1}$ ${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

逆演算

べき乗には、ルートと対数の2つの逆演算があります。同様に、テトレーションの逆は、しばしばスーパールート、スーパー対数と呼ばれます（実際、3以上のすべてのハイパー演算には、同様の逆があります）。例えば、関数 では、2つの逆は、 yの3乗スーパールートと、 xの底yのスーパー対数 です。 ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

スーパールート

スーパールートは、基数に関するテトレーションの逆演算です。 の場合、yはxのn番目のスーパールートです(または)。 ${\displaystyle ^{n}y=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

例えば、

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

したがって 2 は 65,536 の 4 番目の超根です。 ${\displaystyle \left({\sqrt[{4}]{65{,}536}}_{s}=2\right)}$

平方スーパールート

グラフ ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

2次超根、平方超根、または超平方根には、 2つの同値な表記法があり、と である。これは の逆であり、ランバートW関数で表すことができる。^[21] ${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$ ${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$または

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

この関数は、以下の式が次の場合にのみ成り立つため、根関数と対数関数の反射的な性質も示しています。 ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

平方根と同様に、 xの超平方根には単一の解がない場合があります。平方根とは異なり、xの超平方根の数を特定するのは難しい場合があります。一般に、の場合、xには、公式を使用して計算された 0 から 1 の間の 2 つの正の超平方根があります。また、 の場合、 xには、公式を使用して計算された 1 より大きい 1 つの正の超平方根があります。 x が正で より小さい場合、実数の超平方根は存在しませんが、上記の式を使用すると、1 以外の任意の有限のxに対して、可算的に無限個の複素超平方根が生成されます。[ 21 ]関数^は、データ クラスターのサイズを決定するために使用されています。^[22] ${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$ ${\displaystyle e^{-1/e}}$

で： ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

その他のスーパールート

グラフ ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$

3次超根を求めるための、より単純で高速な公式の一つは、再帰公式です。この場合、次のように使えます。 ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

この再帰式は、上に示した Lambert W 関数による平方超根の明示的な表現を利用します。の形式で表すことができ、平方超根を 2 回適用します。 ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$ ${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$ ${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$

各整数n > 2に対して関数ⁿ xが定義され、x ≥ 1で増加し、ⁿ 1 = 1となるため、x ≥ 1に対してxのn番目のスーパールート、が存在します。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

ただし、上記の線形近似を使用すると、−1 < y ≤ 0の場合、は存在できません。 ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$ ${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

平方超ルートと同様に、他の超ルートの用語も通常のルートに基づいて定義できます。「立方超ルート」は と表すことができます。「4次超ルート」は と表すことができます。また、「n次超ルート」は です。ただし、n^次ルートは複数存在する可能性があるため、 は一意に定義されない場合があることに注意してください。例えば、xはnが奇数の場合には1つの（実数）超ルートを持ち、nが偶数の場合には最大2つの超ルートを持ちます。^[要出典] ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

テトレーションの無限高への拡張と同様に、スーパールートはn = ∞まで拡張でき、 1/ e ≤ x ≤ eであれば定義済みとなります。 であり、したがって となることに注意してください。したがって、 が定義済みである場合、は通常のテトレーションとは異なり、 は基本関数となります。例えば、 となります。 ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$ ${\displaystyle y=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

ゲルフォンド・シュナイダーの定理によれば、任意の正の整数nの超根は整数か超越根のいずれかであり、は整数か無理数のいずれかである。^[23]後者の場合に無理数超根が超越根であるかどうかは未だに未解決の問題である。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

超対数

テトレーションの連続的に増加する（xにおいて）定義^x aが選択されると、対応する超対数または がすべての実数xおよびa > 1に対して定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$ ${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

関数slog _a  x は次を満たします:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

未解決の質問

テトレーションの拡張に関する問題以外にも、特に整数や無理数などの数体系間の関係に関しては、テトレーションに関して未解決の問題がいくつかあります。

• ⁿ πが整数となる整数が存在するかどうかは分かっていません。なぜなら の小数点以下の桁数を十分に正確に計算できなかったからです。^{[24] [追加の引用が必要]のn} eについても同様で、直接計算以外の方法は知られていません。実際、であるため、となります。および が与えられている場合、についてとなります。Schanuelの予想が与えられると、 の代数的独立性により、任意の正の整数nに対してⁿ e は整数ではないと考えられています。^[25] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle \log _{10}(e)\cdot {}^{3}e=1656520.36764}$ ${\displaystyle {}^{4}e>2\cdot 10^{1656520}}$ ${\displaystyle {}^{3}\pi <1.35\cdot 10^{18}\ll 10^{1656520}}$ ${\displaystyle \pi <e^{2}}$ ${\displaystyle {}^{4}\pi <{}^{n}e}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle e,{}^{2}e,{}^{3}e,\dots }$
• ⁿ qが任意の正の整数nと正の非整数有理数qに対して有理数であるかどうかは分かっていません。^{[23]例えば、方程式4} x = 2の正の根が有理数であるかどうかは分かっていません。 ^[要出典]
• ^e πまたは^π e (Kneser の拡張を使用して定義) が有理数であるかどうかは不明です。

アプリケーション

h頂点のグラフHと各ε > 0に対して、定義する。

${\displaystyle D=2\uparrow \uparrow 5h^{4}\log(1/\varepsilon ).}$

このとき、 n頂点のグラフGはHのコピーが最大でnh/D個あり、そのグラフ^Gは最大でεn2辺を削除することでHフリーにすることができる。^[26]

参照

• アッカーマン関数
• ビッグオー記法
• 二重指数関数
• ハイパーオペレーション
• 反復対数
• 対称レベルインデックス演算

参考文献

1. Neyrinck, Mark. 算術演算の調査. 2019年1月9日閲覧。
2. RL Goodstein (1947). 「再帰的数論における超限順序数」. Journal of Symbolic Logic . 12 (4): 123– 129. doi :10.2307/2266486. JSTOR  2266486. S2CID  1318943.
3. N. Bromer (1987). 「スーパー指数化」.数学マガジン. 60 (3): 169– 174. doi :10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR  2689566.
4. JF MacDonnell (1989). 「超べき関数 x x … {\displaystyle x^{x^{\dots }}} のいくつかの臨界点」 .国際数学教育ジャーナル. 20 (2): 297– 305. doi :10.1080/0020739890200210. MR  0994348.
5. Weisstein, Eric W.「Power Tower」. MathWorld .
6. Hooshmand, MH (2006). 「超べき乗関数と超指数関数」.積分変換と特殊関数. 17 (8): 549– 558. doi :10.1080/10652460500422247. S2CID  120431576.
7. 「Power Verb」。J Vocabulary、J Software 。 2011年10月28日閲覧。
8. "Spaces" . 2022年2月17日閲覧。
9. DiModica, Thomas. テトレーション値. 2023年10月15日閲覧。
10. 「ハイパー演算子のはしごを登る：テトレーション」。math.blogoverflow.com . Stack Exchange Mathematics Blog . 2019年7月25日閲覧。
11. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A073230 ((1/e)^e)の10進展開」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
12. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A073229 (e^(1/e)の10進展開)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
13. オイラー、L. 「De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus」。アクタ・アカド。科学的。ペトロポール。 2、29–51、1783 。オイラー、L.オペラ オムニア、シリーズ プリマ、Vol.に再版。6: 代数解説。ライプツィヒ、ドイツ: Teubner、350–369 ページ、1921 年 (ファクシミリ)
14. Müller, M. 「Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation? (PDF) . 2013年12月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2018年12月12日閲覧。
15. Andrew Robbins. テトレーションと超対数の解析的区分拡張を解く。拡張は論文の第2部「結果の始まり」に記載されている。
16. Paulsen, W.; Cowgill, S. (2017年3月). 「複素平面における F ( z + 1 ) = b F ( z ) {\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}} の解法」(PDF) . Advances in Computational Mathematics . 43 : 1– 22. doi :10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID  9402035.
17. Kouznetsov, D. (2009年7月). 「複素z平面におけるF (z + 1) = exp ⁡ (F (z)) {\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))}の解」(PDF) .計算数学. 78 (267): 1647– 1670. doi :10.1090/S0025-5718-09-02188-7.
18. クネーザー、H. (1950)。 "Reelle Analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen"。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。187：56～ 67 ${\displaystyle \varphi (\varphi (x))=e^{x}}$
19. Paulsen, W. (2018年6月). 「複素基数のテトレーション」.計算数学の進歩. 45 : 243–267 . doi :10.1007/s10444-018-9615-7.
20. Vey, Vincent (2025年5月). 「シュレーダー方程式によるテトレーションの複素基数と高さへの正則拡張」
21. Corless, RM; Gonnet, GH; Hare, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE (1996). 「Lambert W関数について」( PostScript ) . Advances in Computational Mathematics . 5 : 333. arXiv : 1809.07369 . doi :10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
22. Krishnam, R. (2004)、「大規模無線センサーネットワークの効率的な自己組織化」– 博士論文、ボストン大学工学部、pp. 37–40
23. Marshall, Ash J.、および Tan, Yiren、「aa 形式の有理数と irrational 」、Mathematical Gazette 96、2012 年 3 月、106 ～ 109 ページ。
24. ビショフ、マノン (2024年1月24日). 「円周率の力に関する荒唐無稽な主張が超越論的な謎を生み出す」サイエンティフィック・アメリカン. 2024年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年4月23日閲覧。
25. Cheng, Chuangxun; Dietel, Brian; Herblot, Mathilde; Huang, Jingjing; Krieger, Holly; Marques, Diego; Mason, Jonathan; Mereb, Martin; Wilson, S. Robert (2009). 「Schanuelの予想のいくつかの結果」. Journal of Number Theory . 129 (6): 1464– 1467. arXiv : 0804.3550 . doi :10.1016/j.jnt.2008.10.018.
26. Jacob Fox, グラフ除去補題の新たな証明, arXiv プレプリント (2010). arXiv:1006.1300 [math.CO]

外部リンク

• ダニエル・ガイスラー、テトレーション
• イオアニス・ガリダキス「ハイパー4の非整数への拡張について」（日付なし、2006年以前）（次の参考文献のよりシンプルで読みやすいレビュー）
• Ioannis Galidakis、「hyper4 と Knuth の上矢印表記法の実数への拡張について」 (日付なし、2006 年以前)。
• Robert Munafo、「ハイパー4 関数の実数への拡張 (テトレーションの実数への拡張に関する非公式な議論)」
• Lode Vandevenne, 2の平方根のテトレーション. (2004). (テトレーションを実数に拡張する試み。)
• Ioannis Galidakis、『数学』、(テトレーション研究に関する参考文献の決定版リスト。Lambert W 関数、リーマン面、解析接続に関する多くの情報が含まれています。)
• Joseph MacDonell、「超能力関数のいくつかの重要なポイント」、Wayback Machineに 2010 年 1 月 17 日にアーカイブ。
• Dave L. Renfro、無限反復指数のWebページ
• ノーベル, R. (1981). 「指数関数の反復」.アメリカ数学月刊誌. 88 (4): 235– 252. doi :10.1080/00029890.1981.11995239.
• ハンス・マウラー「Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)」。Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4、(1901)、p. 33～50。( Knobel の論文の の使用法を参照。) ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ ${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• 第四次作戦
• ルカ・モロニ「無限の力の塔の奇妙な性質」（https://arxiv.org/abs/1908.05559）

さらに読む

• Galidakis, Ioannis; Weisstein, Eric Wolfgang . 「Power Tower」. MathWorld . 2019年7月5日閲覧。

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