スベルドラップ波

スベルドラップ波（ポアンカレ波、または回転重力波^{[ 1 ]}としても知られる）は、海や大きな湖で発生する波で、重力と地球の自転の影響を受けます（コリオリの力を参照）。

回転しない流体の場合、浅水波は重力のみの影響を受ける（重力波を参照）。ここで、浅水重力波の位相速度（ c）は次のように表される。

${\displaystyle c=(gH)^{1/2}}$

浅水重力波の群速度（c g ）は次の ように表される_。

${\displaystyle c_{\text{g}}=(gH)^{1/2}}$すなわち ${\displaystyle c=c_{\text{g}}}$

ここで、gは重力、λは波長、Hは全深度です

導出

流体が回転している場合、十分に長い波長を持つ重力波（後述）も回転力の影響を受けます。一定の回転速度f ₀を持つ線形化された浅水方程式は^{[ 2 ]}です

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-f_{0}v=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+f_{0}u=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+H(u_{x}+v_{y})=0,}$

ここで、uとvは水平速度、hは自由表面の瞬間高さです。フーリエ解析を用いてこれらの式を組み合わせることで、スベルドラップ波の分散関係を求めることができます。

${\displaystyle \omega ^{2}=f_{0}^{2}+gH(k^{2}+l^{2}),}$

ここで、kとl は水平方向と垂直方向に関連付けられた波数であり、振動の周波数です。 ${\displaystyle \omega }$

極限ケース

ポアンカレ波を考える際に注目すべき主なモードは2つあります。^{[ 1 ] [ 2 ]}

• 短波極限（ロスビー変形半径 ）。この極限では、分散関係は非回転重力波の解に帰着する。 $${\displaystyle (k^{2}+l^{2})\gg {\frac {f_{0}^{2}}{gH}}\qquad {\textrm {or}}\qquad (k^{2}+l^{2})\gg L_{\text{R}}^{-1},}$$ ${\displaystyle L_{\text{R}}={\frac {(gH)^{1/2}}{f_{0}}}}$
• 純粋に回転力によって駆動される慣性振動のように見える長波限界。 $${\displaystyle (k^{2}+l^{2})\ll {\frac {f_{0}^{2}}{gH}}\qquad {\textrm {or}}\qquad (k^{2}+l^{2})\ll L_{\text{R}}^{-1},}$$

1次元の場合の解

一方向（）に進む波の場合、水平速度は次の式に等しいことが分かる。 ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle u={\frac {\omega }{kH}}H_{0}\cos(kx-\omega t)}$

${\displaystyle v={\frac {f_{0}}{kH}}H_{0}\sin(kx-\omega t).}$

これは、回転を加えると、波が伝播する波の位相に対して90°の振動を発生することを示しています。一般的に、これらは重力と回転の相対的な強さに依存する楕円軌道です。長波の極限では、これらは慣性振動を特徴とする円軌道です。

参考文献

1. Kundu, PK, LM Cohen. 「流体力学」, 638 pp. Academic, California (1990).
2. ヴァリス、ジェフリー・K. 大気海洋流体力学：基礎と大規模循環. ケンブリッジ大学出版局, 2006.

参照

• ケルビン波
• ロスビー波
• 地球流体力学
• スヴェルドラップ
• ハラルド・スヴェルドラップ

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