対称集合

群の部分集合の性質（数学）

数学では、群Gの空でない部分集合S は、そのすべての要素の逆集合を含む場合、対称的であると言われます。

意味

集合記法では、群の部分集合が対称的であるとは、その逆も属する場合である。 したがって、が乗法的に書かれる場合、対称的であるのは、次の場合に限ります。 が加法的に書かれる場合、対称的であるのは、次の場合に限ります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S}$ ${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

がベクトル空間の部分集合である場合、ベクトル空間の加法群構造に関して対称であるとき、対称集合と呼ばれる。つまり、であり、 のときのみ成り立つ。部分集合の 対称包は を含む最小の対称集合であり、 に等しい。に含まれる最大の対称集合は ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S,}$ ${\displaystyle -S\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup -S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cap -S.}$

十分な条件

対称集合の任意の和集合と積集合は対称的である。

ベクトル空間内の任意のベクトル部分空間は対称集合です。

例

対称集合の例としては、 のタイプの区間や、 と の集合などがある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (-k,k)}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

がグループの任意の部分集合である場合、およびは対称集合です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ${\displaystyle S\cap S^{-1}}$

実ベクトル空間または複素ベクトル空間の任意のバランスの取れた部分集合は対称です。

参照

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達できるように「膨らませる」ことができるセット
• バランスのとれた機能 – 機能分析における構成リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• バランスセット – 機能分析における構成
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質

参考文献

• R. クリステスク、「位相ベクトル空間」、Noordhoff International Publishing、1977 年。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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