対称テンソル

数学において、対称テンソルは、ベクトル引数の順列に対して不変である非混合テンソルです。

T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})

記号{1, 2, ..., r }の任意の順列σに対して成り立つ。あるいは、 rの添え字を持つ量として座標で表されたr 次の対称テンソルは、

T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.

有限次元ベクトル空間V上のr次対称テンソルの空間は、V上のr次斉次多項式空間の双対と自然に同型である。特性零の体上では、すべての対称テンソルの次数付きベクトル空間は、 V上の対称代数と自然に同一視できる。関連する概念として、反対称テンソルまたは交代形式がある。対称テンソルは、工学、物理学、数学の分野で広く用いられる。

意味

Vをベクトル空間とし、

T\in V^{\otimes k}

k位のテンソル。Tが対称テンソルとなるのは、

\tau _{\sigma }T=T\,

シンボル{1,2,..., k }上のすべての順列σ（またはこれらのシンボル上のすべての転置）に関連付けられた編組マップについて。

Vの基底{ e ⁱ }が与えられると、階数kの任意の対称テンソルT は次のように表される。

T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}

添え字対称な係数（基底におけるテンソルの成分）の一意なリストを求める。つまり、 $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$

T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}

すべての順列 σに対して。

V上に定義されたk位の対称テンソル全体の成す空間は、しばしばS ^k ( V ) または Sym ^k ( V )と表記される。それ自体はベクトル空間であり、V がN次元の場合、Sym ^k ( V )の次元は二項係数である。

\dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.

次に、 k = 0,1,2,...に対してSym ^k ( V )の直和としてSym( V )を構築します。

\operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).

例

対称テンソルの例は数多くあります。例えば、計量テンソル、アインシュタインテンソル、リッチテンソルなどが挙げられます。 $g_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }$ $R_{\mu \nu }$

物理学や工学で用いられる多くの材料特性や場は、対称テンソル場として表すことができます。例えば、応力、ひずみ、異方性導電率などが挙げられます。また、拡散MRIでは、脳や体の他の部位における拡散を記述するために、対称テンソルがよく用いられます。

楕円体は代数多様体の例であり、そのため、一般階では、同次多項式の形で対称テンソルが射影多様体を定義するために使用され、そのように研究されることがよくあります。

リーマン多様体にレヴィ・チヴィタ接続が与えられている場合、共変曲率テンソルは微分2次元形式のベクトル空間上の対称2階テンソルとなる。これは、を視点とすると、各引数ペア内の反対称性に加えて、第1引数ペアと第2引数ペア間の対称性も得られるという事実に対応する。^[1] $(M,g)$ $\nabla$ ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ $R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}$ $R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}$ $R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}$

テンソルの対称部分

が特性0の体上のベクトル空間であるとする。T ∈ V ^⊗^{k が}位数のテンソルである場合、の対称部分はで定義される対称テンソルである。 $V$ $k$ $T$

\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,

k個の記号上の対称群にまたがる和。基底を用いて、アインシュタインの和の慣性を用いると、

T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},

それから

\operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.

テンソルの右側に現れる成分は、しばしば次のように表記される。

T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}

対称化される添え字は括弧（）で囲みます。反対称化を示すには角括弧[]を使用します。

対称積

Tが単純テンソルである場合、純粋テンソル積として与えられる

T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}

Tの対称部分は因数の対称積です。

v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.

一般に、可換かつ結合的な積⊙を定義することでSym(V)を代数に変換することができます。[2] 2つのテンソルT1∈Symk1 ( ^_V )と_T2∈Symk2 ( ^V⁾が与えられたとき、対称化演算子を使用して以下を定義^し^_ます_。

T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).

^{結果として得られる積は実際には可換かつ結合的であることが（KostrikinとManin [2]}によって検証されているように）検証できる。場合によっては演算子が省略される：T ₁T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂。

場合によっては指数表記が使用されます。

v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.

ここでvはベクトルです。ここでも、場合によっては⊙が省略されます。

v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.

分解

対称行列の理論と同様に、階数2の（実）対称テンソルは「対角化」できる。より正確には、任意のテンソルT∈Sym2(V)に対して、整数r、非零単位ベクトル_v1 , _... , vr∈V 、重み λ1 _, ... , λr_が^存在し、

T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.

このような分解が可能な最小の数rは、 Tの（対称）階数である。この最小の表現に現れるベクトルはテンソルの主軸であり、一般に重要な物理的意味を持つ。例えば、慣性テンソルの主軸は、慣性モーメントを表すポアンソ楕円体を定義する。シルベスターの慣性法則も参照のこと。

任意の位数kの対称テンソルに対して、分解

T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}

も可能である。このような分解が可能な最小の数rは、 Tの対称ランクである。^[3]この最小分解は Waring 分解と呼ばれ、テンソルランク分解の対称形式である。2 次テンソルの場合、これは任意の基底でテンソルを表す行列のランクに対応し、最大ランクが基礎となるベクトル空間の次元に等しいことはよく知られている。しかし、より高次の場合、これは必ずしも成り立たない。ランクは基礎となるベクトル空間の次元数よりも高くなる可能性がある。さらに、対称テンソルのランクと対称ランクは異なる場合があります。^[4]

参照

注記

^ カルモ、マンフレド・ペルディガン・ド (1992)。リーマン幾何学。フランシス・J・フラハティ。ボストン：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3490-8. OCLC 24667701。
^ ab Kostrikin, Alexei I. ; Manin, Iurii Ivanovich (1997).線形代数と幾何学. 代数、論理、応用. 第1巻. Gordon and Breach. pp. 276– 279. ISBN 9056990497。
^ Comon, P.; Golub, G.; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). 「対称テンソルと対称テンソルランク」. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi :10.1137/060661569. S2CID 5676548.
^ Shitov, Yaroslav (2018). 「コモン予想に対する反例」. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry . 2 (3): 428– 443. arXiv : 1705.08740 . doi :10.1137/17m1131970. ISSN 2470-6566. S2CID 119717133.

参考文献

ブルバキ、ニコラ（1989）、数学原論、代数I、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64243-9。
ブルバキ、ニコラス(1990)、数学要素、代数 II、シュプリンガー・フェルラーグ、ISBN 3-540-19375-8。
Greub、Werner Hildbert (1967)、多重線形代数、Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、Band 136、Springer-Verlag New York, Inc.、ニューヨーク、MR 0224623。
シュロモ・スターンバーグ（1983年）『微分幾何学講義』ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0316-0。

外部リンク

セザール・O・アギラール「対称kテンソルの次元」

[1] カルモ、マンフレド・ペルディガン・ド (1992)。リーマン幾何学。フランシス・J・フラハティ。ボストン：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3490-8. OCLC 24667701。

[Kostrikin1997-2] Kostrikin, Alexei I. ; Manin, Iurii Ivanovich (1997).線形代数と幾何学. 代数、論理、応用. 第1巻. Gordon and Breach. pp. 276– 279. ISBN 9056990497。

[Comon2008-3] Comon, P.; Golub, G.; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). 「対称テンソルと対称テンソルランク」. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi :10.1137/060661569. S2CID 5676548.

[4] Shitov, Yaroslav (2018). 「コモン予想に対する反例」. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry . 2 (3): 428– 443. arXiv : 1705.08740 . doi :10.1137/17m1131970. ISSN 2470-6566. S2CID 119717133.