Reference frame
同期 フレーム とは、時間 座標が 共動するすべての観測者にとって 固有時間 を定義する参照フレームである。これは、 任意 の点において 時間線に沿った法線を持ち、 その点を頂点とする 光円錐が構築できるような定数時間 超曲面を原点として選ぶことによって構築される。この超曲面上のすべての区間要素は 空間的である。この超曲面に垂直な 測地線 の族が 描かれ、超曲面を始点とする時間座標として定義される。計量テンソル成分の観点から 、同期フレームは次のように定義される。 g i k {\displaystyle g_{ik}}
g 00 = 1 , g 0 α = 0 {\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0} このような構成、ひいては同期フレームの選択は 、一意ではないものの、常に可能である。これは、時間に依存しない空間座標の任意の変換、さらには、この幾何学的構成に用いられる超曲面の任意の選択によってもたらされる変換を可能にする。 α = 1 , 2 , 3. {\displaystyle \alpha =1,2,3.}
任意の参照フレームにおける同期 異なる空間点に位置する時計の同期とは 、異なる場所で起こる出来事が、それらの時計が同じ時刻を示している場合、同時発生として測定できることを意味します。 特殊相対性理論 では、空間距離要素 dl は、同じ瞬間に起こる2つの非常に近い出来事の間隔として定義されます。 一般相対性理論 では、これはできません。つまり、 dt ≡ dx 0 = 0を 計量 に代入するだけでは dlを定義できません。その理由は、空間の異なる点において、 固有時 と時間座標 x 0 ≡ t の依存関係が異なるためです 。つまり、 τ {\displaystyle \tau } c d τ = g 00 d x 0 . {\displaystyle cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}
図 1. 光信号による曲がった空間での時計の同期。 この場合、 dlを 求めるには、次の方法で2つの微小近傍点間で時間を同期させることができます（図1）。 ボブは 、座標x α を持つ 空間上の点 Bから、非常に近い座標 x α を持つ点 A にいるアリスに光信号を送信します 。アリスは即座にその信号をボブに反射します。この操作に必要な時間（ボブによって測定）に c を掛けると、明らかにアリスとボブの間の距離の2倍になります。 x α + d x α {\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}
空間座標と時間座標が分離された線要素は次のようになり ます 。
d s 2 = g α β d x α d x β + 2 g 0 α d x 0 d x α + g 00 ( d x 0 ) 2 , {\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }+2g_{0\alpha }\,dx^{0}\,dx^{\alpha }+g_{00}\left(dx^{0}\right)^{2},} 式1
ここで、項内のギリシャ数字の繰り返しは、値1、2、3による和を意味します。信号が到達してから点 A で反射するまでの間隔はゼロです（到達と反射という2つのイベントが、空間と時間において同じ点で発生しています）。光信号の場合、空間と時間の間隔はゼロであるため、上記の式を設定すると、 dx 0 を解くことで 2つの根が得られます。 d s = 0 {\displaystyle ds=0}
d x 0 ( 1 ) = 1 g 00 ( − g 0 α d x α − ( g 0 α g 0 β − g α β g 00 ) d x α d x β ) , {\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),} d x 0 ( 2 ) = 1 g 00 ( − g 0 α d x α + ( g 0 α g 0 β − g α β g 00 ) d x α d x β ) , {\displaystyle dx^{0(2)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }+{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),} 式2
これはアリスとボブの間の両方向の信号の伝播に対応します。 x 0 が ボブの時計におけるアリスへの信号到着/アリスからの信号反射の瞬間である場合、ボブからの信号の出発の瞬間とボブへの信号の戻りの瞬間は、それぞれ x 0 + dx 0 (1) と x 0 + dx 0 (2) に対応します。 図 1 の太線は、それぞれ座標 x α と x α + dx α を持つアリスとボブの世界線であり、赤い線は信号の世界線です。 図 1 では、 dx 0 (2) が正で dx 0 (1) が負であると想定していますが、必ずしもそうではありません。 dx 0 (1) と dx 0 (2) は同じ符号になることがあります。後者の場合、 アリスの位置への信号到着の瞬間における値 x 0 (アリス) が、ボブの位置から信号が出発した瞬間における値 x 0 (ボブ) よりも小さくなる可能性があるという事実は、空間上の異なる地点にある時計は同期していないはずなので、矛盾を生じない。信号の出発からボブの位置への到着までの完全な「時間」間隔は、
d x 0 ( 2 ) − d x 0 ( 1 ) = 2 g 00 ( g 0 α g 0 β − g α β g 00 ) d x α d x β . {\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.} それぞれの固有時間間隔は、上記の関係に を乗じることで得られ、 2点間の 距離 dlはさらに c /2 を乗じることで得られます。結果として、 g 00 / c {\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c}
d l 2 = ( − g α β + g 0 α g 0 β g 00 ) d x α d x β . {\displaystyle dl^{2}=\left(-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }.} 式3
これは、空間座標要素を通じて距離を定義する必須の関係です。
このような同期は、点間の光信号の交換によって行われるべきであることは明らかです。 図1の微小に近い点 A と 点B 間の信号伝播をもう一度考えてみましょう。Aでの反射の瞬間と同時である点 B の時計の読みは、 点B における信号の送信と受信の瞬間のちょうど中間にあります 。この瞬間にアリスの時計が y 0 、ボブの時計が x 0を示しているとすると、 アインシュタインの同期条件 により 、
y 0 = ( x 0 + d x 0 ( 1 ) ) + ( x 0 + d x 0 ( 2 ) ) 2 = x 0 + 1 2 ( d x 0 ( 2 ) + d x 0 ( 1 ) ) = x 0 + Δ x 0 . {\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.} ここで 式2を代入して、 無限小の点で同時に起こる2つのイベント間の
「時間」 x 0 の差を求めます。
Δ x 0 = − g 0 α d x α g 00 ≡ g α d x α . {\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }}{g_{00}}}\equiv g_{\alpha }\,dx^{\alpha }.} 式4
この関係により、どんな微小な空間体積でも時計の同期が可能になります。点 A からさらに同期を続けることで、時計の同期、つまり任意の開線上の事象の同時性を決定できます。同期条件は、式4に g 00 を乗じ、左辺の項を移動させる ことで別の形で表すことができます 。
Δ x 0 = g 0 i d x i = 0 {\displaystyle \Delta x_{0}=g_{0i}dx^{i}=0} 式5
または、 2 つの極めて近い点間の 「共変微分」 dx 0はゼロになるはずです。
しかし、一般に、閉曲線に沿って時計を同期させることは不可能である。閉曲線に沿って出発し、出発点に戻ると、Δ x 0の値はゼロとは異なる。したがって、空間全体にわたって時計を一義的に同期させることは不可能である。例外は、すべての成分 g 0α がゼロとなる参照系である 。
すべての時計を同期させることができないのは、基準系の性質であり、時空そのものの性質ではありません。いかなる重力場においても、3つの g 0αが ゼロとなるように基準系を選択することは、常に無限の方法で可能であり、それによって時計の完全な同期が可能になります。このクラスには、空間座標を定義する物体系の選択を必要とせず、時間座標を単純に変更するだけで g 0αを ゼロにできるケースが含まれます。
特殊相対性理論においても、相対的に動く時計の固有時の経過は異なります。一般相対性理論では、同じ基準系であっても、空間上の異なる地点では固有時が異なります。これは、ある空間点で起こる2つの事象間の固有時の間隔と、別の空間点で起こる事象と同時発生する事象間の時間間隔が、一般に異なることを意味します。
円筒座標と時間 で表される静止（慣性）系を考えてみましょう 。この系における間隔は次のように与えられます。 関係を用いて 一様回転座標系に変換すると 、間隔は次のように変化します。 r ′ ϕ ′ , z ′ {\displaystyle r'\,\phi ',\,z'} t ′ {\displaystyle t'} d s 2 = c 2 d t ′ 2 − d r ′ 2 − r ′ 2 d ϕ ′ 2 − d z ′ 2 . {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt'^{2}-dr'^{2}-r'^{2}d\phi '^{2}-dz'^{2}.} ( r , ϕ , z ) {\displaystyle (r,\phi ,z)} x 0 / c = t = t ′ , x 1 = r = r ′ , x 2 = ϕ = ϕ ′ − Ω t ′ , x 3 = z = z ′ {\displaystyle x^{0}/c=t=t',\,x^{1}=r=r',\,x^{2}=\phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'}
d s 2 = ( c 2 − Ω 2 r 2 ) d t 2 − 2 Ω r 2 d ϕ d t − d r 2 − r 2 d ϕ 2 − d z 2 . {\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-\Omega ^{2}r^{2})dt^{2}-2\Omega r^{2}d\phi dt-dr^{2}-r^{2}d\phi ^{2}-dz^{2}.} もちろん、回転座標系は、 この半径位置を超えると座標系速度が光速を超えるため、 に対してのみ有効である。計量テンソルの非ゼロ成分は、 であり、 任意 の開曲線に沿って、関係式は r < c / Ω {\displaystyle r<c/\Omega } g 00 = 1 − Ω 2 r 2 / c 2 , {\displaystyle g_{00}=1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2},} g 02 = − 2 Ω r 2 / c , {\displaystyle g_{02}=-2\Omega r^{2}/c,} g 11 = − 1 , {\displaystyle g_{11}=-1,} g 22 = − r 2 {\displaystyle g_{22}=-r^{2}} g 33 = − 1. {\displaystyle g_{33}=-1.}
Δ x 0 = − g 0 α g 00 d x α = Ω r 2 / c 1 − Ω 2 r 2 / c 2 d ϕ {\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}dx^{\alpha }={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\phi } 時計を同期させるために使用できる。しかし、閉曲線上では同期は不可能であるため、
∮ Δ x 0 = ∮ d ϕ Ω r 2 / c 1 − Ω 2 r 2 / c 2 ≠ 0. {\displaystyle \oint \Delta x^{0}=\oint {\frac {d\phi \Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.} 例えば、 の
とき、 Ω r / c ≪ 1 {\displaystyle \Omega r/c\ll 1}
∮ Δ x 0 = Ω c ∮ r 2 d ϕ = ± 2 Ω c S {\displaystyle \oint \Delta x^{0}={\frac {\Omega }{c}}\oint r^{2}d\phi =\pm {\frac {2\Omega }{c}}S} ここで 、回転軸に垂直な平面上の閉曲線の 投影面積 です（プラスまたはマイナスの符号は、回転方向の輪郭線の移動または反対方向に対応します）。 S {\displaystyle S}
回転フレームにおける固有時間要素は次のように与えられる。
d τ = 1 − Ω 2 r 2 / c 2 d t = 1 − Ω 2 r 2 / c 2 d τ a x i s {\displaystyle d\tau ={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {axis} }} 軸から離れるにつれて時間が遅くなることを示しています。同様に空間要素を計算すると、
d l = [ d r 2 + r 2 d ϕ 2 1 − Ω 2 r 2 / c 2 + d z 2 ] 1 / 2 . {\displaystyle dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi ^{2}}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}+dz^{2}\right]^{1/2}.} と の固定値において 、空間要素は となり、 これを円周にわたって積分すると、円周と半径の比は次のように表されることがわかる。 r {\displaystyle r} z {\displaystyle z} d l = ( 1 − Ω 2 r 2 / c 2 ) − 1 / 2 r d ϕ {\displaystyle dl=(1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2})^{-1/2}rd\phi }
2 π 1 − Ω 2 r 2 / c 2 {\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}}} これは よりも大きいです 。 2 π {\displaystyle 2\pi }
空間計量テンソル 式3は 次の形に書き直すことができる
。
d l 2 = γ α β d x α d x β , {\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },} 式6
どこ
γ α β = − g α β + g 0 α g 0 β g 00 {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}} 式7
は、空間の計量、すなわち幾何学的性質を決定する3次元計量テンソルです。 式7は、 3次元空間の計量 と4次元時空の計量との関係を示しています 。 γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} g i k {\displaystyle g_{ik}}
しかし、一般には x 0 に依存する ため、時間とともに変化します。したがって、 dl を積分することは意味がありません 。この積分は、積分が行われる2点間の世界線の選択に依存します。したがって、一般相対論では、2物体間の距離は一般に決定できず、この距離は無限に近い点についてのみ決定されます。有限空間領域の距離は、 g ik が 時間に依存せず、したがって 空間曲線に沿った積分が明確な意味を持つような基準系においてのみ決定できます。 g i k {\displaystyle g_{ik}} γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} ∫ d l {\textstyle \int dl}
テンソルは 反変3次元テンソルの逆テンソルです 。実際、方程式を 成分で書くと次のようになります。 − γ α β {\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }} g α β {\displaystyle g^{\alpha \beta }} g i k g k l = δ l i {\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}
g α β g β γ + g α 0 g 0 γ = δ γ α , {\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },} g α β g β 0 + g α 0 g 00 = 0 , {\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta 0}+g^{\alpha 0}g_{00}=0,} 式8
g 0 β g β 0 + g 00 g 00 = 1. {\displaystyle g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.} 2番目の式から 決定し、それを1番目の式に代入すると、次のことが証明される。 g α 0 {\displaystyle g^{\alpha 0}}
− g α β γ β γ = δ γ α , {\displaystyle -g^{\alpha \beta }\gamma _{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },} 式9
この結果は、 が計量 に対応する反変 3 次元テンソルの要素である と言い換えることもできます 。 g α β {\displaystyle g^{\alpha \beta }} γ α β {\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }}
γ α β = − g α β . {\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }=-g^{\alpha \beta }.} 式10
行列式 g と はそれぞれ 要素とから構成され 、 次の単純な関係で互いに関連しています。 γ {\displaystyle \gamma } g i k {\displaystyle g_{ik}} γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}
− g = g 00 γ . {\displaystyle -g=g_{00}\gamma .} 式11
多くの応用では、共変成分を持つ 3次元ベクトル gを定義すると便利である。
g α = − g 0 α g 00 . {\displaystyle g_{\alpha }=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}.} 式12
g を 計量 を持つ空間のベクトルと みなすと 、その反変成分は と書ける 。 式11と 式8 の2番目の式を用いると 、次のことが容易に分かる。 γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} g α = γ α β g β {\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}
g α = γ α β g β = − g 0 α . {\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }=-g^{0\alpha }.} 式13
式8 の3番目から次の 式が成り立つ
。
g 00 = 1 g 00 − g α g α . {\displaystyle g^{00}={\frac {1}{g_{00}}}-g_{\alpha }g^{\alpha }.} 式14
同期座標 式5 から結論されるように 、異なる空間点における時計同期を可能にする条件は、計量テンソル成分 g 0α がゼロであることである。さらに g 00 = 1の場合、時間座標 x 0 = tは各空間点（ c = 1）における固有時刻となる 。これらの条件を満たす基準フレームは、
g 00 = 1 , g 0 α = 0 , {\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0,} 式15
は 同期フレーム と呼ばれる。このシステムにおける間隔要素は次式で表される。
d s 2 = d t 2 − g α β d x α d x β , {\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },} 式16
空間計量テンソルの成分はgαβの 成分 と同一（符号は反対）である ：
γ α β = − g α β . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }.} 式17
図2.時間的超曲面 t = const（青緑色） を選択して構築された同期フレーム。空間座標 x 1 = x は1つだけ示されている。4人の観測者は、 局所的に平坦な時空（ 光円錐で示されている）において、超曲面に垂直な同じ固有時 x 0 = t を 持つ。単位ベクトル n 0 = u 0 = 1 は黄色で示されている。空間速度成分は存在しない（ u α = 0 ）ため、共通の固有時は超曲面を起点とし正方向（赤い矢印）の測地線となる。 同期フレーム時間では、タイムラインは超曲面 t = const に垂直です。実際、 このような超曲面に垂直な単位 四元ベクトル n i = ∂ t /∂ x i は共変成分 n α = 0, n 0 = 1 を持ちます 。式15の 条件を満たすそれぞれの反変成分も n α = 0, n 0 = 1です 。
単位法線の成分は、世界線 x 1 、 x 2 、 x 3 = const に接する4元ベクトル u i = dx i /dsの成分と一致します。u α = 0、 u 0 = 1の成分を持つ u i は、 自動的に 測地線方程式 を満たします。
d u i d s + Γ k l i u k u l = Γ 00 i = 0 , {\displaystyle {\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,} 式15の 条件から 、クリストッフェル記号 とが 同一に消えるからである。したがって、同期系では、タイムラインは時空における測地線となる。 Γ 00 α {\displaystyle \Gamma _{00}^{\alpha }} Γ 00 0 {\displaystyle \Gamma _{00}^{0}}
これらの特性は、任意の時空において同期フレームを構築するために利用できます（図2）。そのためには、 任意の空間的 超曲面を 原点として選び、その 超曲面上のすべての区間要素は空間的であり、すべての点において時間線に沿った法線 を持ちます。次に、この超曲面に垂直な測地線族を描きます。これらの線を時間座標線として選び、時間座標 t を、超曲面を始点として測地線の 長さ sとして定義します。その結果、同期フレームが得られます。
同期系への解析的変換は、ハミルトン・ヤコビ方程式 を用いることで行うことができる 。この方法の原理は、重力場における粒子の軌道が測地線となるという事実に基づいている。 重力場における粒子（質量を1とした場合）の ハミルトン・ヤコビ方程式は、
g i k ∂ S ∂ x i ∂ S ∂ x k = 1 , {\displaystyle g^{ik}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}=1,} 式18a
ここで S は作用である。その完全積分は次の形をとる。
S = f ( ξ α , x i ) + A ( ξ α ) , {\displaystyle S=f\left(\xi ^{\alpha },x^{i}\right)+A\left(\xi ^{\alpha }\right),} 式18b
完全積分 には独立変数の数と同じ数の任意定数が含まれることに注意してください。 この場合は です 。上記の式では、これらは3つのパラメータ ξ α と、3つのξ α の任意関数として扱われる 4番目の定数 Aに対応しています。S を このように表現すると、 粒子の軌道に関する式は、導関数 ∂S / ∂ξ α をゼロとすることで得られます。つまり、 4 {\displaystyle 4}
∂ f ∂ ξ α = − ∂ A ∂ ξ α . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \xi ^{\alpha }}}=-{\frac {\partial A}{\partial \xi ^{\alpha }}}.} 式18c
パラメータ ξ αに割り当てられた各値のセットに対して、式 18a-18c の右辺は 明確な定数を持ち、これらの式によって決定される世界線は粒子の可能な軌道の1つです。軌道に沿って定数である量 ξ α を新しい空間座標として、量 S を新しい時間座標として選択すると、同期フレームが得られます。古い座標から新しい座標への変換は、式 18b-18c によって与えられます。実際、このような変換では、時間線が測地線となり、超曲面S = 定数に垂直になることが保証されます 。後者の点は力学的なアナロジーから明らかである。 超曲面に垂直な 四元ベクトル ∂S / ∂x i は、力学的には粒子の四元運動量と一致し、したがってその方向は粒子の四元速度u i 、すなわち軌道に接する四元ベクトルと一致する。最後に、軌道に沿った作用の微分 − dS / dsは粒子の質量であり、これは1と設定されているため、条件 g 00 = 1 は明らかに 満たされる。したがって、| dS / ds | = 1 となる。
ゲージ条件 式15は 座標系を完全に固定するものではなく、したがって固定 ゲージ ではない。なぜなら、における空間的超曲面は任意に選択できるからである。それでもなお、3つの空間変数 x α に依存する4つの任意の関数を含む座標変換を自由に実行できる 。これらの関数は無限小形式で容易に計算できる。 t = 0 {\displaystyle t=0}
x i = x ~ i + ξ i ( x ~ ) . {\displaystyle x^{i}={\tilde {x}}^{i}+\xi ^{i}({\tilde {x}}).} 式18
ここで、4つの古い座標 ( t , x α ) と4つの新しい座標 の集合は、それぞれ 記号 x とで表されます 。これらの関数とその1次導関数 は、無限小量です。このような変換の後、4次元区間は次の形になります。 ( t ~ , x ~ α ) {\displaystyle ({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })} x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} ξ i ( x ~ ) {\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x}})}
d s 2 = g i k ( x ) d x i d x k = g i k (new) ( x ~ ) d x ~ i d x ~ k , {\displaystyle ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})d{\tilde {x}}^{i}d{\tilde {x}}^{k},} 式19
どこ
g i k (new) ( x ~ ) = g i k ( x ~ ) + g i l ( x ~ ) ∂ ξ l ( x ~ ) ∂ x ~ k + g k l ( x ~ ) ∂ ξ l ( x ~ ) ∂ x ~ i + ∂ g i k ( x ~ ) ∂ x ~ l ξ l ( x ~ ) . {\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})=g_{ik}({\tilde {x}})+g_{il}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{k}}}+g_{kl}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{i}}}+{\frac {\partial g_{ik}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tilde {x}}).} 式20
最後の式において、 は関数 g ik ( x ) と同じであり、 x は に置き換えられるだけです。 新しい座標における 新しい計量テンソルに対してもゲージ 方程式 15 を保存したい場合は 、関数 に以下の制限を課す必要があります 。 g i k ( x ~ ) {\displaystyle g_{ik}({\tilde {x}})} x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} g i k (new) ( x ~ ) {\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})} x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} ξ i ( x ´ ) {\displaystyle \xi ^{i}({\acute {x}})}
∂ ξ 0 ( x ~ ) ∂ x ~ = 0 , g α β ( x ~ ) ∂ ξ β ( x ~ ) ∂ t ~ − ∂ ξ 0 ( x ~ ) ∂ x ~ α = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}}}=0,\quad g_{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{\beta }({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{\alpha }}}=0.} 式21
これらの方程式の解は次のとおりです。
ξ 0 = f 0 ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) , ξ α = ∫ g α β ( x ~ ) ∂ f 0 ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) ∂ x ~ β d x ~ 0 + f α ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) , {\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}{\partial {\tilde {x}}^{\beta }}}d{\tilde {x}}^{0}}+f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),} 式22
ここで、 f 0 と f α は空間座標のみに依存する4つの任意の関数です 。 x ~ α {\displaystyle {\tilde {x}}^{\alpha }}
より基本的な幾何学的説明として、図2を考えてみましょう。まず、同期タイムライン ξ 0 = t は 任意に選択できます（ボブ、キャロル、ダナ、あるいは無限に多くの観測者のいずれか）。これにより、任意に選択された関数が1つ生成されます 。次に、初期超曲面は無限に多くの方法で選択できます。これらの選択はそれぞれ3つの関数を変化させます。つまり、3つの空間座標それぞれに対して1つの関数です 。合計で4つ（= 1 + 3）の関数が任意です。 ξ 0 = f 0 ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) {\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)} ξ α = f α ( x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) {\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}
同期ゲージにおける場の方程式の一般解g αβ について議論する場合 、重力ポテンシャル g αβ には、そこに含まれるすべての可能な任意の関数パラメータのうち、ゲージの自由度を表すだけの 3 次元空間の任意の関数が 4 つ含まれており、それらは直接的な物理的意味を持たないことに留意する必要があります。
同期系におけるもう一つの問題は、 コースティクスが 発生し、ゲージ選択が破綻する可能性があることです。これらの問題は、同期系における 宇宙論的摂動論の 計算にいくつかの困難をもたらしましたが、現在では十分に理解されています。同期座標は一般的に、計算を行うための最も効率的な参照系と考えられており、 CMBFASTなどの多くの現代の宇宙論コードで使用されています。同期座標は、空間的 特異点 など、空間的超曲面を固定する必要がある理論問題を解く際にも有用です 。
同期フレームにおけるアインシュタイン方程式 同期フレームの導入により、アインシュタイン場の方程式 における空間微分と時間微分の操作を分離することが可能になる 。より簡潔にするために、表記法は以下のようになる。
ϰ α β = ∂ γ α β ∂ t {\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}} 式23
は3次元計量テンソルの時間微分に対して導入されます。これらの量も3次元テンソルを形成します。同期フレームでは、は 2番目の基本形式 （形状テンソル）に比例します 。テンソルのインデックスシフトと共変微分のすべての操作は、計量 γ αβ を使用して3次元空間で行われます 。これは、4次元テンソル R ik 、 T ik の空間成分でのインデックスシフトの操作には適用されません。したがって、 T α β は g βγ T γα + g β 0 T 0 α と理解する必要があり 、これは g βγ T γα に簡約され、 γ βγ T γα とは符号が異なります 。合計は、 行列式 γ ≡ | γ αβ | = − gの 対数微分 です 。 ϰ α β {\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }} ϰ α β {\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }} ϰ α α {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}
ϰ α α = γ α β ∂ γ α β ∂ t = ∂ ∂ t ln ( γ ) . {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }{\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\ln {(\gamma )}.} 式24
すると、クリストッフェル記号 の完全な集合は 次のようになります。 Γ k l i {\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}
Γ 00 0 = Γ 00 α = Γ 0 α 0 = 0 , Γ α β 0 = 1 2 ϰ α β , Γ 0 β α = 1 2 ϰ β α , Γ α β γ = λ α β γ {\displaystyle \Gamma _{00}^{0}=\Gamma _{00}^{\alpha }=\Gamma _{0\alpha }^{0}=0,\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa _{\alpha \beta },\quad \Gamma _{0\beta }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\varkappa _{\beta }^{\alpha },\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }} 式25
ここで、γ αβ から構成される3次元のクリストッフェル記号は次のようになります 。 λ α β γ {\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}
λ α β γ = 1 2 γ γ μ ( γ μ α , β + γ μ β , β − γ α β , μ ) , {\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}\gamma ^{\gamma \mu }\left(\gamma _{\mu \alpha ,\beta }+\gamma _{\mu \beta ,\beta }-\gamma _{\alpha \beta ,\mu }\right),} 式26
ここで、コンマは それぞれの座標による 偏微分を表します。
クリストッフェル記号 式25 を用いると、リッチテンソル の 成分 R i k = g il R lk は次の形式で表すことができます。
R 0 0 = − 1 2 ϰ ˙ − 1 4 ϰ α β ϰ β α , {\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha },} 式27
R α 0 = 1 2 ( ϰ α ; β β − ϰ , α ) , {\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right),} 式28
R α β = − 1 2 γ ( γ ϰ α β ) ˙ − P α β . {\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }.} 式29
上の点は時間微分を表し、セミコロン (";") は共変微分を表します。共変微分は、この場合は3 次元のクリストッフェル記号 、を持つ 3 次元計量 γ αβ に関して実行され 、 P α β は から構築される 3 次元のリッチテンソルです 。 λ α β γ {\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }} ϰ ≡ ϰ α α {\displaystyle \varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }} λ α β γ {\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}
P α β = γ β γ P γ α , P α β = λ α β , γ γ − λ γ α , β γ + λ α β γ λ γ μ μ − λ α μ γ λ β γ μ . {\displaystyle P_{\alpha }^{\beta }=\gamma ^{\beta \gamma }P_{\gamma \alpha },\quad P_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha \beta ,\gamma }^{\gamma }-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta }^{\gamma }+\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu }^{\mu }-\lambda _{\alpha \mu }^{\gamma }\lambda _{\beta \gamma }^{\mu }.} 式30
式27～29 から、 アインシュタイン方程式 （エネルギー運動量テンソルの成分が T 0 0 = − T 00 、 T α 0 = − T 0α 、 T α β = γ βγ T γα ）は同期フレームになることがわかります。 R i k = 8 π k ( T i k − 1 2 δ i k T ) {\displaystyle R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)}
R 0 0 = − 1 2 ϰ ˙ − 1 4 ϰ α β ϰ β α = 8 π k ( T 0 0 − 1 2 T ) , {\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=8\pi k\left(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\right),} 式31
R α 0 = 1 2 ( ϰ α ; β β − ϰ , α ) = 8 π k T α 0 , {\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{\alpha }^{0},} 式32
R α β = − 1 2 γ ( γ ϰ α β ) ˙ − P α β = 8 π k ( T α β − 1 2 δ α β T ) . {\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T\right).} 式33
同期系の特徴は、それが静止していないことである。つまり、そのような系では 重力場は 一定ではない。一定場であれば、重力場 はゼロになる。しかし、物質が存在する場合、すべての重力場が消滅すると、 式31 （右辺がゼロではない）と 矛盾する。 式33 から、空の空間ではすべての P αβ と、それに伴う3次元曲率テンソルP αβγδ （ リーマンテンソル ）のすべての成分が消滅する。つまり、場は完全に消滅する（ ユークリッド空間計量 を持つ同期系では、 時空は平坦である）。 ϰ α β {\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }} ϰ α β {\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}
同時に、空間を満たす物質は、一般に同期系に対して静止していることはできない。これは、圧力がかかっている物質粒子が一般に測地線ではない線に沿って運動するという事実から明らかである。静止している粒子の 世界線 は時間線であり、したがって同期系においては測地線となる。例外は塵の場合（ p = 0）である。この場合、相互作用する粒子は測地線に沿って運動する。したがって、この場合、同期系となる条件は、物質と共動するという条件と矛盾しない。この場合でも、同期 共動系 を選択するためには、物質が回転せずに運動する必要がある。共動系においては、 速度の 反変成分は u 0 = 1、 u α = 0である。系も同期系である場合、共変成分は u 0 = 1、 u α = 0を満たす必要があり、その結果、4次元の 回転 は消滅する。
u i ; k − u k ; i ≡ ∂ u i ∂ x k − ∂ u k ∂ x i = 0. {\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.} しかし、このテンソル方程式は他のあらゆる基準系においても成立しなければなりません。したがって、同期系ではあっても共動系ではない系においては、 三次元速度 vに対して回転 v = 0という条件がさらに必要となります。他の 状態方程式 においては、同様の状況は、圧力勾配が全方向または特定の方向でゼロになる特殊な場合にのみ生じます。
同期フレームの特異点 宇宙論的問題において同期系を用いるには、その漸近的挙動を徹底的に検討する必要がある。特に、同期系を無限時間と無限空間に拡張し、この系におけるあらゆる点の座標による明確なラベル付けを常に維持できるかどうかを知る必要がある。
閉曲線に沿って時計を同期させることが不可能であるため、空間全体にわたる時計の明確な同期は不可能であることが示されました。無限時間にわたる同期に関しては、まず、すべての観測者の時間軸が選択された超曲面に垂直であり、この意味で「平行」であることを思い出しましょう。伝統的に、 平行性の概念は ユークリッド幾何学 において、 互いに等距離にある直線を意味するように定義されていますが、任意の幾何学においては、この概念は 測地 線である線を意味するように拡張できます。同期フレームにおいて、時間軸は測地線であることが示されました。本目的にとってより便利な別の平行線の定義は、すべての点が共通しているか、全く共通していないかのいずれかです。すべての点が共通している場合（明らかに同じ直線である場合）を除き、2つの時間軸が共通点を持たないという平行性の定義に到達します。
同期フレームにおける時間線は測地線であるため、生成超曲面上のすべての観測者にとってこれらの線は直線（光の軌跡）となる。空間計量は
d l 2 = γ α β d x α d x β {\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }} 。 計量テンソルの行列式は、 行列の行ベクトルの 三重積 の絶対値であり、これは ベクトル 、 、が張る 平行六面体 （つまり、隣接する辺がベクトル 、 、 である平行六面体） の体積でもあります 。 γ {\displaystyle \gamma } γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} γ → 1 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}} γ → 2 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}} γ → 3 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}} γ → 1 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}} γ → 2 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}} γ → 3 {\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}
γ = | γ → 1 ⋅ ( γ → 2 × γ → 3 ) | = | γ 11 γ 12 γ 13 γ 21 γ 22 γ 23 γ 31 γ 32 γ 33 | = V parallelepiped {\displaystyle \gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}} がゼロになる場合 、この平行六面体の体積はゼロです。これは、ベクトルの1つが他の2つのベクトルの平面上にあり、平行六面体の体積が底面積（高さがゼロになる）に変換される場合、あるいはより正式には、ベクトルのうち2つが線型従属関係にある場合に発生します。しかし、その場合、複数の点（交点）を同様にラベル付けすることができ、つまり、この計量は特異点を持ちます。 γ {\displaystyle \gamma }
ランダウ グループ は、同期フレームが必然的に時間特異点を形成すること、つまり有限時間内にタイムラインが交差する（そして、それぞれ計量テンソルの行列式がゼロになる）ことを発見しました。
これは次のように証明される。式31 の右辺には 物質と電磁場の 応力エネルギーテンソル が含まれており、
T i k = ( p + ε ) × u i u k + p δ i k {\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}} は強いエネルギー条件 のため正の数です 。これは成分で書くと簡単にわかります。
物質について T 0 0 − 1 2 T = 1 2 ( ε + 3 p ) + ( p + ε ) v 2 1 − v 2 > 0 {\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0} 電磁場用 T = 0 , T 0 0 = 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) > 0 {\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0} 上記を念頭に置いて、 式31 は不等式として書き直される
。
− R 0 0 = 1 2 ∂ ∂ t ϰ α α + 1 4 ϰ α β ϰ β α ≤ 0 {\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }\leq 0} 式34
空きスペースに関する平等性を伴う。
代数的不等式を使う
ϰ β α ϰ α β ≥ 1 3 ( ϰ α α ) 2 {\displaystyle \varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}} 式34 は
∂ ∂ t ϰ α α + 1 6 ( ϰ α α ) 2 ≤ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0} 。 両辺を 等式で
割ると ( ϰ α α ) 2 {\displaystyle \left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}
1 ( ϰ α α ) 2 ∂ ∂ t ϰ α α = − ∂ ∂ t 1 ϰ α α {\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}} 不等式に到達する
∂ ∂ t 1 ϰ α α ≥ 1 6 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}\geq {1 \over 6}} 。 式35
例えば、 ある瞬間に とします。導関数が正であるため、比は 時間の減少とともに減少し、常に有限の非ゼロ導関数を持ち、したがって、有限時間内に正の側からゼロになるはずです。言い換えると、 は となり 、 であるため 、これは行列式がゼロになることを意味します（ 式35 によれば、 より速く になることはありません ）。一方、 最初は、時間の経過に対しても同じことが当てはまります。 ϰ α α > 0 {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0} 1 ϰ α α {\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}} ϰ α α {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }} + ∞ {\displaystyle +\infty } ϰ α α = ∂ ln γ / ∂ t {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t} γ {\displaystyle \gamma } t 6 {\displaystyle t^{6}} ϰ α α < 0 {\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}
特異点における空間についてのアイデアは、 対角化された 計量テンソルを考慮することによって得られます。 対角化 により、行列の要素は、 3 つの 固有値 および を要素とする 主対角線 を除いて、どこでもゼロになります 。これらは、 特性多項式 の 判別式 がゼロ以上の場合は 3 つの実数値 、判別式がゼロ未満の場合は1 つの実数値と 2 つ の複素共役 値です。この場合、行列式は 3 つの固有値の積になります。これらの固有値のうち 1 つだけがゼロになる場合、行列式全体が 0 になります。たとえば、実固有値が 0 ( ) になるとします。この場合、対角化行列は、 (一般に複素共役な) 固有値を主対角線上に置く 2 × 2 行列になります 。ただし、この行列は、 という空間の対角化された計量テンソルです 。したがって、上記は、特異点（ ）において、1つの固有値のみがゼロになるときに空間が2次元であることを示唆しています。 γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}} γ {\displaystyle \gamma } λ 1 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=0} γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} λ 2 , λ 3 {\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0}
幾何学的には、 対角化と は、行列を構成するベクトルの基底を、基底ベクトルの方向が 固有ベクトル の方向と一致するように回転させることです。 が実 対称行列 である場合、固有ベクトルは、 長さ、幅、高さが 3 つの固有値の大きさである 直方体 を定義する 直交基底 を形成します。 この例は、平行六面体の体積でもある行列式が長さ × 幅 × 高さ、つまり固有値の積に等しいという点で特にわかりやすいものです。 平行六面体の体積を、たとえば高さを 0 にすることによって 0 にすると、平行六面体の 1 つの面、つまり面積が長さ × 幅である 2 次元空間だけが残ります。 消去を続けて幅を 0 にすると、長さの線、つまり 1 次元空間が残ります。さらに長さをゼロにすると、平行六面体があった場所を示す点、つまり 0 次元空間だけが残ります。 γ α β {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }} γ {\displaystyle \gamma }
図3. 幾何光学からのアナロジーとして、特異点とコースティクスの比較が挙げられます。例えば、図 3 の明るいパターンは、右側から照明されたコップの水によって形成されるコースティクスを示しています。光線は、同期した超曲面上に局在する自由落下する観測者のタイムラインのアナロジーです。コップによって投げかけられた影の輪郭のほぼ平行な辺から判断すると、光源はコップから実質的に無限遠にあると推測できます (太陽など)。しかし、写真には光源が写っていないため、これは確実ではありません。したがって、確実に証明されなくても、光線 (タイムライン) が平行であると仮定することは可能です。コップの水は、アインシュタイン方程式、もしくはタイムラインを曲げてコースティクス パターン (特異点) を形成する、その背後にあるエージェントのアナロジーです。後者は平行六面体の面ほど単純ではなく、さまざまな種類の交差が複雑に混ざり合ったものです。 2次元、1次元、または0次元空間の重なり、つまり面と線の混ざり合いを区別することができ、その一部は コースティックパターンの中心にある矢じりの形成のように点（ カスプ）に収束します。
時間的測地線ベクトル場は有限時間の後には必然的に特異点に到達するという結論は、 レイショードリー によって独立に別の方法によって到達されており、その方法から レイショードリー方程式 が導き出されました。この方程式は両研究者に敬意を表してランダウ・レイショードリー方程式とも呼ばれています。
参照
参考文献
参考文献 アーノルド六世 （1996年）。 Особенности каустик и волновых фронтов [ コースティクスと波面の特異点 ]。数学者の図書館（ロシア語）。 Vol. 1. モスクワ：ファジス。 ISBN 5-7036-0021-9 . OCLC 43811626。 ショーン・M・キャロル (2019). 「セクション7.2」. 時空と幾何学：一般相対性理論入門（第1版）. サンフランシスコ：ケンブリッジ大学出版局. Bibcode :2019sgai.book.....C. doi :10.1017/9781108770385. ISBN 978-1-108-48839-6 . S2CID 126323605。 Ma, C.-P. & Bertschinger, E. (1995). 「同期ニュートンゲージと共形ニュートンゲージにおける宇宙論的摂動論」. アストロフィジカルジャーナル . 455 : 7–25 . arXiv : astro-ph/9506072 . Bibcode :1995ApJ...455....7M. doi :10.1086/176550. S2CID 14570491. 
![{\displaystyle dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi^{2}}{1-\Omega^{2}r^{2}/c^{2}}}+dz^{2}\right]^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ee58b4e251db551072b78c199ed419368b0504)
