サッペス・レモン記法

サッペス・レモン記法^{[ 1 ]}は、 EJレモンによって開発された自然演繹論理記法である。^[²^]サッペス法^[³^]から派生したこの記法は、自然演繹証明を正当化されたステップの列として表す。どちらの方法も、ゲンツェンの1934/1935年自然演繹体系^[⁴^]から派生した推論規則を用いており、ゲンツェンの自然演繹体系では、サッペスとレモンの表形式ではなく、樹形図形式で証明が提示された。樹形図形式は哲学的および教育的な目的には利点があるが、実用的には表形式の方がはるかに便利である。

クリーネも同様の表形式のレイアウトを提示している。^{[ 5 ]}主な違いは、クリーネは主張の左辺を行番号に省略せず、代わりに先行命題の完全なリストを示すか、あるいは依存関係を示すために表の左側にバーを走らせて左辺を示すことを好む点である。しかし、クリーネ版には、非常に概略的ではあるものの、厳密なメタ数学理論の枠組みの中で提示されているという利点がある。一方、サッペス^{[ 3 ]}とレモン^{[ 2 ]}の著書は、表形式のレイアウトを初等論理学の教育に応用したものである。

演繹システムの説明

Suppes-Lemmon 記法は等式を含む述語計算の記法であるため、その記述は一般的な証明構文とコンテキスト固有の規則の 2 つの部分に分けることができます。

一般的な証明構文

証明は4列と無制限の順序付き行を持つ表です。列は左から右へ、以下の式を保持します。

正の整数の集合（空の可能性あり）
正の整数
整形式の式（またはwff）
数字の集合（空の可能性あり）、規則、および別の証明への参照

次に例を示します。

仮定番号	行番号	式（wff）	使用中の行と位置合わせ
p → q , ⁄ q ⊢ ⁄ p [モーダストレンドトーレンス (MTT)]
1	（1）	p → q	あ
2	（2）	¬ q	あ
3	（3）	p	A（RAAの場合）
1、3	（4）	q	1、3、MPP
1、2、3	（5）	q ∧ ¬ q	2、4、∧I
1、2	（6）	¬ p	3、5、RAA
QED

2列目は行番号です。3列目は、4列目で保持されている規則によって正当化されるwffと、他の証明におけるwffに関する補足情報（場合によっては他の証明におけるwff）を示します。1列目は、wffの根拠となる仮定の行番号を表し、引用された規則を文脈に適用することで決定されます。有効な証明の任意の行は、引用された行のwffを前提として、その行のwffを結論として列挙することで、シークエントに変換できます。同様に、先行詞が接続詞である条件文に変換することもできます。これらのシークエントは、 Modus Tollensが上にあるように、証明の上に列挙されることがよくあります。

等式を用いた述語計算の規則

上記の証明は有効なものですが、証明は証明システムの一般的な構文に準拠する必要はありません。ただし、シークエントの有効性を保証するには、慎重に指定された規則に準拠する必要があります。規則は、命題規則 (1-11)、述語規則 (12-15)、等価規則 (15-16)、および置換規則(18) の 4 つのグループに分類できます。これらのグループを順番に追加することで、命題計算、述語計算、等価性を持つ述語計算、等価性を持つ述語計算の順に構築でき、新しい規則を導出できます。下の表では、導出された命題規則 (10-11) が強調表示されています。これらは、基本的な (強調表示されていない)ゲンツェン規則に従います。規則 8 (二重否定除去) と 9 (背理帰結) は同等です。そのうちの 1 つを削除できます (または派生したルールに同化できます)。

推論規則のリスト
	ルール名	注釈	説明	予測
1	仮定	あ	「A」はあらゆるwffを正当化します。唯一の前提は、それ自体の行番号です。	唯一の仮定は、独自の行番号です。
2	∧-はじめに	a,b ∧I	命題とが行aと行bにある場合、「a、b ∧I」はを正当化します。 $P$ $Q$ $P\wedge Q$	仮定は結合された命題の集合的なプールです。
3	∧除去	a ∧E	行a が接続詞である場合、「a ∧E 」を使用してまたはを結論付けることができます。 ∧I と ∧E は含意の単調性を可能にします。これは、命題が∧I で結合され、 ∧E で分離された場合、の仮定が保持されるためです。 $P\wedge Q$ $P$ $Q$ $P$ $Q$ $Q$	仮定は行aです。
4	∨-はじめに	a ∨I	命題aの行については、「a∨I」を引用して導入することができます。 $P$ $P\vee Q$	仮定はです。
5	∨消去	a,b,c,d,e ∨E	論理和について、とを仮定し、それぞれから別々にを結論づけると、を結論づけることができます。この規則は「a , b , c , d , e ∨E」と示されます。ここで、行aは最初の論理和、行bとdはそれぞれとを仮定し、行cとe はそれぞれの仮定プールにおいてとで結論づけられます。 $P\vee Q$ $P$ $Q$ $R$ $R$ $P\vee Q$ $P$ $Q$ $R$ $P$ $Q$	仮定は、、c、eを結論付ける 2 つの直線から、および、b、dを仮定する直線を除いた集合的なプールです。 $R$ $P$ $Q$
6	条件付き証明（→I）	b、a CP	命題の行aに命題の行bという仮定がある場合、「b、a CP」はを正当化します。 $P$ $Q$ $Q\to P$	bを除くaの仮定はすべて維持されます。
7	モダス・ポネンド・ポネンス(→E)	a,b MPP	証明に、それぞれa行とb行が含まれている場合、「a、b MPP」はを正当化します。 $P\to Q$ $P$ $Q$	仮定は、線aと線bの集合的なプールです。
8	二重否定（¬¬E）	DN	「a DN 」は、証明の前の行aで wff に 2 つの否定記号を追加または減算することを正当化し、この規則を双条件式にします。	仮定プールは引用された行の 1 つです。
9	アブスルドゥムの還元	b、a RAA	行aの命題が行bの仮定を引用している場合、「b、a RAA」を引用して、行aの仮定からb以外の仮定を導き出すことができます。 $P\wedge\neg P$ $Q$ $\neg Q$	b以外の行aの仮定。
10	選言三段論法	a,b DS	線aと線bの仮定集合の和集合	行aと行bから、を推論します。行aと行bから、を推論します。 $\varphi \lor \psi$ $\neg \varphi$ $\psi$ $\varphi \lor \psi$ $\neg \psi$ $\varphi$
11	モダス・トレンス	a,b MTT	命題aとbについて、「a , b MTT」を引用してを導くことができます。これは上記の他の規則から証明されています。 $P\to Q$ $\neg Q$ $\neg P$	仮定は線aと線bの仮定と同じです。
12	ユニバーサル導入	UI	行aの述語については、行a の仮定のどこにも項が含まれていない限り、「 UI」を引用して全称量化を正当化することができます。 $ラ$ $(\forall x)Rx$ $a$	仮定はa行の仮定と同じです。
13	普遍的な排除	UE	行aの普遍量化述語については、「 UE 」を引用してを正当化できます。 UEは、これらの規則を使用して量化変数と自由変数を切り替えることができるという点で、 UI と二重性があります。 $(\forall x)Rx$ $ラ$	仮定はa行の仮定と同じです。
14	実存的序論	EI	行 a の述語については、存在量化を正当化するために「 EI 」を引用することができます。 $ラ$ $(\exists x)Rx$	仮定はa行の仮定と同じです。
15	実存的排除	a、b、c EE	a行目の存在量化述語について、 b行目でが真であると仮定し、それを用いてc行目でを導出する場合、「a , b , c EE」を用いてを正当化できます。この項は結論、 b行目以外の仮定、またはa行目には出現できません。EE と EI は双対関係にあり、から EI を仮定し、それを用いて結論に至ることができます。 $(\exists x)Rx$ $ラ$ $P$ $P$ $a$ $P$ $ラ$ $(\exists x)Rx$	仮定は、行aの仮定と、行b以外の行cの仮定です。
16	平等入門	=私	いつでも、何の仮定もなしに「=I」を引用して導入することができます。 $a=a$	仮定はありません。
17	平等の排除	a,b =E	行aとbの命題とについては、「 a、b =E」を引用することで、の任意の項をに変更することを正当化できます。 $a=b$ $P$ $a$ $P$ $b$	仮定は、線aと線bのプールです。
18	置換インスタンス	a,b SI(S) X	証明 X で証明されたシークエントと、行aおよびb上のおよびの置換インスタンスについては、「a , b SI(S) X」を引用しての置換インスタンスを導入する正当化を行うことができます。 $P,Q\vdash R$ $P$ $Q$ $R$	線aと線bの仮定。

仮定は行aとbの仮定です。仮定のない導出規則は定理であり、いつでも仮定なしに導入できます。これを「定理」ではなく「シークエント」として「TI(S)」と引用する人もいます。また、置換例が必要ない場合は、どちらの場合も「SI」または「TI」のみを引用する人もいます。これは、彼らの命題が参照された証明の命題と完全に一致するためです。

例

シーケント（この場合は定理）の証明の例:

仮定番号	行番号	式（wff）	使用中の行と位置合わせ
⊢ p ∨ ¬ p
1	（1）	¬( p ∨ ¬ p )	A（RAAの場合）
2	（2）	p	A（RAAの場合）
2	（3）	（p ∨ ¬ p）	2、∨I
1、2	（4）	( p ∨ ¬ p ) ∧ ¬( p ∨ ¬ p )	3, 1, ∧I
1	（5）	¬ p	2、4、RAA
1	（6）	（p ∨ ¬ p）	5、∨I
1	（7）	( p ∨ ¬ p ) ∧ ¬( p ∨ ¬ p )	1、6、∧I
	（8）	¬¬( p ∨ ¬ p )	1、7、RAA
	（9）	（p ∨ ¬ p）	8、DN
QED

含意の単調性を用いた爆発原理の証明。3行目から6行目で示されている以下の手法を「前提の（有限）増加の規則」と呼ぶ人もいる。^[⁶^]

仮定番号	行番号	式（wff）	使用中の行と位置合わせ
p、 ¬ p ⊢ q
1	（1）	p	A（RAAの場合）
2	（2）	¬ p	A（RAAの場合）
1、2	（3）	p ∧ ¬ p	1、2、∧I
4	（4）	¬ q	A（DN用）
1、2、4	（5）	( p ∧ ¬ p ) ∧ ¬ q	3、4、∧I
1、2、4	（6）	p ∧ ¬ p	5, ∧E
1、2	（7）	¬¬ q	4、6、RAA
1、2	（8）	q	7、DN
QED

置換と∨Eの例:

仮定番号	行番号	式（wff）	使用中の行と位置合わせ
( p ∧ ¬ p ) ∨ ( q ∧ ¬ q ) ⊢ r
1	（1）	( p ∧ ¬ p ) ∨ ( q ∧ ¬ q )	あ
2	（2）	p ∧ ¬ p	A（∨Eの場合）
2	（3）	p	2 ∧E
2	（4）	¬ p	2 ∧E
2	（5）	r	3, 4 SI(S) 上記の証明を参照
6	（6）	q ∧ ¬ q	A（∨Eの場合）
6	（7）	q	6 ∧E
6	（8）	¬ q	2 ∧E
6	（9）	r	7, 8 SI(S) 上記の証明を参照
1	（10）	r	1、2、5、6、9、∨E
QED

表形式自然演繹システムの歴史

ルールベースで、先行命題を行番号（および縦棒やアスタリスクなどの関連方法）で示す、表形式レイアウトの自然演繹システムの歴史的発展には、次の出版物が含まれます。

^{1940年: クワイン[ 7 ]}は教科書の中で、先行する依存関係を角括弧で囲んだ行番号で示し、1957年のサッペスの行番号表記法を予期した。
1950年：クワイン（1982年、241～255ページ）は教科書の中で、証明の各行の左側に1つ以上のアスタリスクを付けて依存関係を示す方法を示した。これはクリーネの縦棒に相当する。（クワインのアスタリスク表記が1950年の初版に登場していたのか、それとも後の版で追加されたのかは完全には明らかではない。）
1957年：サッペス著の教科書『実用論理学の定理証明入門』（1999年、25～150ページ）に掲載。この教科書では、各行の左側に行番号を付して依存関係（つまり、先行命題）を示していた。
1963年：ストール（1979、pp. 183–190、215–219）は、自然演繹推論規則に基づく連続した論理議論の行の先行依存関係を示すために行番号のセットを使用しています。
1965年: Lemmon (1965)による教科書全体は、Suppes の方法に基づいた方法を使用した論理証明の入門書です。
1967年：教科書の中で、クリーネ（2002、pp.50–58、128–130）は2種類の実用的な論理証明を簡単に示しました。1つは各行の左側に先行命題を明示的に引用するシステムであり、もう1つは依存関係を示すために左側に縦線を使用するシステムです。^{[ 8 ]}

参照

注記

^ペルティエ＆ヘイゼン 2024 .
^ ^a ^b Lemmonの自然演繹体系の入門的説明については、Lemmon 1965を参照。
^ ^a ^b Suppesの自然演繹体系の入門的説明については、 Suppes 1999 、pp. 25–150を参照。
^ゲンツェン 1934 年、ゲンツェン 1935 年。
^クリーネ 2002、50–56、128–130頁。
^コバーン＆ミラー1977年。
^ Quine (1981) . Quineの先行詞依存関係の行番号表記については、特に91～93ページを参照。
^クリーネの表形式自然演繹体系の特に優れた点は、命題論理と述語論理の両方の推論規則の妥当性を証明していることである。クリーネ 2002、pp. 44–45, 118–119 を参照。

参考文献

コバーン、バリー；ミラー、デイヴィッド（1977年10月）「レモンの『Beginning logic』に関する二つのコメント」ノートルダム形式論理学ジャーナル18 ( 4): 607– 610. doi : 10.1305/ndjfl/1093888128 . ISSN 0029-4527 .
ゲンツェン、ゲルハルト・カール・エーリッヒ（1934年）。「Untersuchungen über das logische Schließen. I」。数学的ツァイシュリフト。39 (2): 176–210。土井: 10.1007/BF01201353。（英語訳：サボーの論理的演繹の研究）
ゲンツェン、ゲルハルト・カール・エーリッヒ（1935年）。「Untersuchungen über das logische Schließen. II」。数学的ツァイシュリフト。39 (3): 405–431 .土井: 10.1007/bf01201363。
クリーネ、スティーブン・コール(2002) [1967].数理論理学. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-42533-7。
レモン、エドワード・ジョン（1965年）『論理学入門』トーマス・ネルソン著、ISBN 0-17-712040-1。
ペルティエ、フランシス・ジェフリー；ヘイゼン、アレン（2024年）「論理における自然演繹体系」。ザルタ、エドワード・N；ノーデルマン、ウリ（編）『スタンフォード哲学百科事典』（2024年春版）。スタンフォード大学形而上学研究所。 2025年5月25日閲覧。
クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン(1981) [1940].数理論理学（改訂版）. マサチューセッツ州ケンブリッジ: ハーバード大学出版局. ISBN 978-0-674-55451-1。
クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン(1982) [1950]. 『論理学の方法』（第4版）. マサチューセッツ州ケンブリッジ: ハーバード大学出版局. ISBN 978-0-674-57176-1。
ストール、ロバート・ロス (1979) [1963].集合論と論理. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-63829-4。
サッペス、パトリック・コロネル(1999) [1957].論理学入門. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-40687-9。
サボ, ME (1969).ゲルハルト・ゲンツェン論文集. アムステルダム: 北ホラント.

外部リンク

ペレティエ、ジェフ、「自然演繹と初等論理学教科書の歴史」

[FOOTNOTEPelletierHazen2024-1] ペルティエ＆ヘイゼン 2024 .

[lemmon1965-2] Lemmonの自然演繹体系の入門的説明については、Lemmon 1965を参照。

[suppes1999-3] Suppesの自然演繹体系の入門的説明については、 Suppes 1999 、pp. 25–150を参照。

[4] ゲンツェン 1934 年、ゲンツェン 1935 年。

[FOOTNOTEKleene200250–56,_128–130-5] クリーネ 2002、50–56、128–130頁。

[FOOTNOTECoburnMiller1977-6] コバーン＆ミラー1977年。

[7] Quine (1981) . Quineの先行詞依存関係の行番号表記については、特に91～93ページを参照。

[8] クリーネの表形式自然演繹体系の特に優れた点は、命題論理と述語論理の両方の推論規則の妥当性を証明していることである。クリーネ 2002、pp. 44–45, 118–119 を参照。

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1940年: クワイン[ 7 ]

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