収縮期幾何学

Form of differential geometry

超楕円の場合のグロモフの充填領域予想の証明を示す、フットボール上の測地線(下記の説明を参照)。

数学において、シストリック幾何学は、チャールズ・レーヴナーによって考案され、ミハイル・グロモフ、マイケル・フリードマン、ピーター・サーナク、ミハイル・カッツ、ラリー・ガスらによって数論的、エルゴード的、位相的な表現において発展させられた、多様体および多面体のシストリック不変量の研究分野です。シストリック幾何学入門も参照してください。

収縮期の概念

トーラス上の最短ループ

コンパクト計量空間Xのシストールは、 Xの計量不変量であり、 X内の縮約不可能なループ（つまり、周囲空間X内の点に縮約できないループ）の最小の長さとして定義されます。より技術的な言葉で言えば、 Xの基本群の非自明な共役類を表す自由ループ上の長さを最小化します。Xがグラフのとき、不変量は、1947 年のWT Tutteによる内周に関する論文以来、通常内周と呼ばれます。^[1] Tutte の論文に触発されたと思われる Loewner は、1940 年代後半に曲面上のシストールの問題について考え始め、 1950 年に学生のPao Ming Puによる学位論文につながりました。実際の「シストール」という用語は、25 年後のMarcel Bergerによって初めて作られました。

この研究の流れは、1961年から62年の学年度にストラスブール大学図書館でベルガーと会話した際、René Thomの発言によってさらに勢いづいたようです。これはR. Accola ^[2]とC. Blatter ^[3]の論文が発表された直後のことでした。Thomはこれらの収縮期不等式について、「Mais c'est fondamental! [これらの結果は根本的に重要である!]」 と叫んだと伝えられています。

その後、バーガーは一連の論文や書籍でこのテーマを広めた。^{[4] [5] [6]}

シストリック幾何学と位相幾何学のウェブサイトにある参考文献には、160以上の論文が掲載されています。シストリック幾何学は急速に発展している分野であり、主要な学術誌に最近多くの論文が掲載されています。例えば、シストリック圏とルスターニク・シュニレルマン圏との関連が浮上しています。^{[7]このような関連の存在は}、シストリック位相幾何 学における定理と考えることができます。

3次元空間における中心対称多面体の性質

R ³内の任意の凸対称多面体P は、2つの反対の点（対心点）と、それらを結ぶ長さ L のパスを持ち、そのパスはPの境界 ∂ P上にあり、

${\displaystyle L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {area} (\partial P).}$

別の定式化は以下の通りである。表面積Aの中心対称凸体は、長さ の輪に通すことができ、最もきつく通すのは球である。この性質は、最も初期のシストリック不等式の一つであるPuの不等式（下記参照）の特殊なケースに相当する。 ${\displaystyle {\sqrt {\pi A}}}$

概念

この分野の雰囲気を概観するために、次のような考察を述べることができる。上で引用したトムのバーガーへの発言の主旨は、以下の通りであるように思われる。幾何学的不変量に関する不等式に遭遇するたびに、それ自体が興味深い現象である。特に、不等式が鋭角（すなわち最適）である場合はなおさらである。古典的な等周不等式はその好例である。

トーラス

曲面に関するシストリックな問題では、積分幾何学的恒等式が特に重要な役割を果たします。大まかに言えば、一方では面積を、他方では適切なループ族のエネルギーの平均を関係付ける積分恒等式が存在します。コーシー・シュワルツの不等式により、エネルギーは長さの2乗の上限です。したがって、面積とシストリックの2乗の間には不等式が得られます。このようなアプローチは、ローヴナーの不等式にも適用できます。

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {area} }$

トーラスの場合、等号のケースは、デッキ変換がアイゼンシュタイン整数の格子を形成する平坦トーラスによって達成されます。

P ² ( R ) をR ³で表すローマン面のアニメーション

実射影平面 P ² ( R ) に対するPuの不等式については次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {area} }$、

定数ガウス曲率の計量特性を表す等式を有する。

実際に分散の計算式を適用すると、等収縮欠陥を伴う Loewner のトーラス不等式の次のバージョンが得られます。

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

ここで、f は、その共形類における単位面積平坦計量に対する計量の共形因子である。この不等式は、等周不等式の強化形である、等周欠陥を伴うボンネセンの不等式に類似していると考えられる。

この種の新しい不等式は最近いくつか発見されており、その中には普遍体積下限値も含まれています。詳細は曲面の収縮曲線をご覧ください。

グロモフのシストリック不等式

この分野における最も深い結果は、本質的なn多様体Mのホモトピー1シストールに対するグロモフの不等式である。

${\displaystyle \operatorname {sys\pi } _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

ここで、C _nはMの次元にのみ依存する普遍定数である。ここで、ホモトピーシストール sysπ _{1は定義により}Mにおける縮約不可能なループの最小の長さである。多様体は、その基本類[M] がその基本群のホモロジーにおいて非自明な類を表すとき、本質的と呼ばれる。証明には、グロモフによって導入された充填半径と呼ばれる新しい不変量を用いる。これは以下のように定義される。

Mが向き付け可能かどうかに応じて、係数環ZまたはZ _2をAで表す。すると、コンパクトn次元多様体Mの基本類[M]はの生成元となる。ユークリッド空間EへのMの埋め込みが与えられているとき、 ${\displaystyle H_{n}(M;A)=A}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},}$

ここで、ι _εは、 Eの ε 近傍U _ε MへのMの包含によって誘導される包含準同型です。

Mにリーマン計量gが備わっている状況で絶対充填半径を定義するために、グロモフは次のように進めます。C. クラトフスキーの埋め込みを利用します。M を、超ノルム を備えた、 M 上の有界ボレル関数のバナッハ空間 L ∞ ( M ) に埋め込みます。つまり、点x ∈ ^Mを、すべてのy ∈ M_について式f _x (y) = d(x,y)で定義される関数f x ∈ L ^∞ ( M )にマッピングします。ここで、d は計量によって定義される距離関数です。三角不等式により次の式が成り立ち、したがって埋め込みは、内部距離と周囲距離が一致するという正確な意味で、強等長です。このような強等長の埋め込みは、周囲空間がヒルベルト空間で、 Mがリーマン円であっても不可能です(反対の点間の距離は2 ではなくπでなければなりません)。次に、上記の式でE = L ^∞ ( M ) と設定し、 ${\displaystyle \|\;\|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty }(M)\right).}$

すなわち、グロモフは収縮期と充満半径の間に鋭い不等式があることを証明した。

${\displaystyle \mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),}$

全ての本質多様体Mに対して有効であり、不等式

${\displaystyle \mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),}$

すべての閉多様体Mに対して有効です。

S. Wengerによる幾何学的測度論の最近の成果に基づく証明の要約は、L. AmbrosioとB. Kirchheimによる以前の研究を基にしており、下記参照の書籍「Systolic geometry and topology」の12.2節に掲載されています。グロモフの不等式の証明に対する全く異なるアプローチは、最近Larry Guthによって提案されました。^[8]

グロモフの安定不等式

1-シストリック不変量（ループの長さで定義）と、高次のk-シストリック不変量（サイクルの面積などで定義）の間には重要な違いがあることに留意すべきである。1-シストリック不変量を含む最適なシストリック不等式はこれまでに数多く得られているが、高次のk-シストリック不変量のみを含む最適な不等式は、グロモフの最適安定2-シストリック不等式だけである。

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$

複素射影空間に対して、最適な境界は対称フビニ・スタディ計量によって達成され、量子力学との関連を示唆する。ここで、リーマン多様体Mの安定2-シストールは次のように定義される 。

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}=\lambda _{1}\left(H_{2}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} },\|\;\|\right),}$

ここでは安定ノルムであり、 λ ₁は格子の非ゼロ元の最小ノルムです。グロモフの安定不等式がいかに例外的であるかは、ごく最近になって明らかになりました。つまり、予想に反して、複素数の場合の 2 次元シストリックとは異なり、四元数射影平面上の対称計量はシストリック最適計量ではないことが発見されました。対称計量を持つ四元数射影平面の中次元安定シストリック比は 10/3 ですが、複素数射影 4 次元空間の対称計量の類似の比は 6 になります。一方、これら 2 つの空間での任意の計量のそのような比の最良の上限は 14 です。この上限はリー代数E7の特性に関連しています。例外的なSpin(7)ホロノミーと4次ベッティ数1を持つ8次元多様体が存在する場合、値14は実際には最適である。Spin (7)ホロノミーを持つ多様体は、ドミニク・ジョイスによって精力的に研究されてきた。 ${\displaystyle \|\;\|}$

2収縮期の下限

同様に、 k = 2のkシストールのほぼ唯一の非自明な下限は、ゲージ理論とJ-正則曲線に関する最近の研究から得られます。4次元多様体の共形 2 シストールの下限の研究は、ジェイク・ソロモンによる周期写像の像の密度の簡略化された証明につながりました。

ショットキー問題

おそらく、シストリックの最も印象的な応用の 1 つは、ショットキー問題の文脈で、P. Buser とP. Sarnakによって行われたものです。彼らは、主に分極されたアーベル多様体の中でリーマン面のヤコビアンを区別し、シストリック演算の基礎を築きました。

ルスターニク・シュニレルマン範疇

シストリックな問いを投げかけることは、しばしば関連分野における問いを刺激する。例えば、多様体のシストリック圏という概念が定義・研究され、ルスターニク・シュニレルマン圏（LS圏）との関連性が示されている。シストリック圏（およびLS圏）は、定義上、整数であることに注意されたい。この2つの圏は、曲面と3次元多様体の両方で一致することが示されている。さらに、有向4次元多様体の場合、シストリック圏はLS圏の下限となる。一旦関連性が確立されると、その影響は相互に作用する。すなわち、LS圏に関する既知の結果はシストリックな問いを刺激し、逆もまた同様である。

この新しい不変量はカッツとルディヤックによって導入されました（下記参照）。この不変量はルスターニク・シュニレルマン圏（LS圏）と密接に関連していることが判明したため、シストリック圏と呼ばれました。

多様体Mのシストリック圏は、 Mの様々なkシストリック項によって定義されます。大まかに言えば、考え方は以下のとおりです。多様体Mが与えられたとき、 Mの全体積（計量に依存しない定数）の「曲率のない」下限を与えるシストリック項の最長積を求めます。Mの被覆のシストリック不変量を定義に含めるのも自然です。このような「最長積」の因子の数は、定義によりMのシストリック圏となります。

例えば、グロモフは、本質的なn次元多様体は、ホモトピー 1-シストールの n 乗によって体積下限値を持つことを示した（上の節を参照）。したがって、本質的なn次元多様体のシストリック圏はまさにnとなる。実際、閉n次元多様体の場合、LS 圏とシストリック圏の両方の最大値は同時に達成される。

二つのカテゴリーの間に興味深い関係が存在することを示すもう一つのヒントは、カップ長と呼ばれる不変量との関係です。したがって、実カップ長は両方のカテゴリーの下限値となります。

シストリック カテゴリは、2 次元および 3 次元の多様体の場合を含め、多くの場合 LS カテゴリと一致します。4 次元では、シストリック カテゴリが LS カテゴリの下限であることが最近示されました。

シストリック双曲幾何学

双曲面のシストールの大きな種数gに対する漸近挙動の研究は、いくつかの興味深い定数を明らかにする。例えば、 (2,3,7)双曲三角形群の主合同部分群の塔によって定義されるフルヴィッツ面Σg_は、次の境界を満たす 。

${\displaystyle \mathrm {sys} \pi _{1}(\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}$

同様の境界は、より一般的な算術フックス群にも成り立つ。カッツ、シャップス、ヴィシュネによる2007年のこの結果^[9]は、ピーター・ブザーとピーター・サーナックによる1994年の論文^[10]で示された、Q上に定義された算術群の場合の結果を一般化したものだ。

双曲幾何学におけるシストールに関する参考文献は現在40件あります。興味深い例としては、ボルツァ面、クライン四次面、マクビース面、第一フルヴィッツ三重項などが挙げられます。

アベル・ヤコビ写像との関係

最適なシストリック不等式の族は、以下のように定義される 適切なアベル・ヤコビ写像を利用し、Burago と Ivanov の手法を応用して得られる。

M を多様体とし、その基本群を π = π ₁ ( M ) とし、そのアーベル化写像を f : π → π ab とする。torをπ ab^の捩れ部分^群とする。g : π ^ab → π ^ab / tor を捩れによる商とする。明らかに、 π ^ab / tor = Z ^b （ b = b ₁ ( M ) ）である。φ: π → Z ^bを合成準同型写像とする。

定義:部分群 Ker(φ) ⊂ π に対応する多様体Mの被覆は、普遍的(または最大)自由アーベル被覆と呼ばれます。 ${\displaystyle {\bar {M}}}$

ここで、 Mがリーマン計量を持つと仮定する。EをM上の調和 1-形式空間とし、双対E * はH ₁ ( M , R ) と正準同一視されるものとする。基点x ₀ ∈ Mからの経路に沿って、調和 1-形式を積分すると、円R / Z = S ¹への写像が得られる。

同様に、コホモロジーの基底を選ばずに写像M → H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _Rを定義するために、次のように論じる。 x をMの普遍被覆 内の点とする。したがって、xはMの点と、x ₀からそこへの経路cで表される。経路cに沿って積分すると、 E上の線型形式 が得られる。したがって、写像 が得られ、これはさらに写像 に降下する。 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle h\to \int _{c}h}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf {R} )}$

${\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),}$

普遍自由アーベル被覆はどこにありますか。 ${\displaystyle {\overline {M}}}$

定義: Mのヤコビ多様体（ヤコビ・トーラス）はトーラスJ ₁ ( M )= H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _{Rである。}

定義:アーベル・ヤコビ写像は 、上の写像から商を渡すことによって得られる。アーベル・ヤコビ写像は、ヤコビ・トーラスの平行移動を除いて一意である。 ${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

例として、D. Burago、S. Ivanov、M. Gromovによる次の不等式を挙げることができます。

M を第1ベッティ数nのn次元リーマン多様体とし、 Mからそのヤコビ・トーラスへの写像の次数が非零であるとする。このとき、M は最適安定シストリック不等式を満たす。

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma _{n}\mathrm {vol} _{n}(M),}$

ここで、 は古典的なエルミート定数です。 ${\displaystyle \gamma _{n}}$

関連分野、体積エントロピー

大きな種数の曲面の収縮に対する漸近現象は、興味深いエルゴード現象や算術群の合同部分群の特性と関連していることが示されています。

1983年にグロモフが示したホモトピー・シストール不等式は、特に、非球面の面積のシストールに関する一様な下限値を示唆する。この下限値は、最適ではないものの、ロウナーとプーの不等式を一般化する。

グロモフの 1983 年の独創的な論文には、収縮期と面積に関連する漸近境界も含まれており、これによって均一境界 (すべての次元で有効) が改善されます。

最近、体積エントロピー hが、A. Katok によるhの最適不等式とともに、大きな種数の曲面の収縮比に対する M. Gromov の漸近的限界の明確な証明における「正しい」媒介物であることが発見されました (下記の Katz と Sabourau の論文を参照)。

A. カトックの古典的な結果によれば、負のオイラー特性を持つ閉曲面M上のすべてのメトリックは、エントロピーと面積を関連付ける最適な不等式を満たします。

閉曲面の最小エントロピーは、その最適なシストリック比と関連していることが判明した。つまり、シストリック的に極限的な曲面のエントロピーには、そのシストリック比に関して上限が存在する。この上限と、体積に関してカトクが示した最適な下限値を組み合わせることで、大きな種数の曲面の最適なシストリック比に関するグロモフの漸近的推定値の、より簡略化された代替証明が得られる。さらに、このアプローチは、グロモフの定理における乗法定数の改善をもたらす。

この手法を応用すると、種数20以上の曲面上のあらゆる計量は、ローナーのトーラス不等式を満たすことが分かります。これは、グロモフの推定値から導かれた以前の最良の推定値50よりも優れています。

充填領域推測

グロモフの充填領域予想は超楕円の設定で証明されています (下記の Bangert らによる参考文献を参照)。

充填面積予想は、長さ2πのリーマン円を強等長性を持つ曲面で充填するあらゆる方法の中で、円形半球面が最小の面積を持つことを主張する。ここでリーマン円とは、全体積が2πでリーマン直径がπである唯一の1次元閉リーマン多様体を指す。

この予想を説明するために、まず単位 2 球面の赤道円S ² ⊂ R ³が、長さ 2π、直径 π のリーマン円S ^{1であるという観察から始めます。}

より正確には、 S ¹のリーマン距離関数は、球面上の周囲リーマン距離の制限である。この性質は、ユークリッド平面への単位円の標準的な埋め込みでは満たされない。この場合、対点間の距離はπではなく2である。

S ¹の曲面によるあらゆる充填について考察する。この場合、円を曲面の境界として包含することで定義される制限計量は、長さ 2π の円のリーマン計量となる。したがって、円を境界として包含することは、円の強等長埋め込みと呼ばれる。

1983 年、グロモフは、すべての充填面の中で、円形の半球が円を充填する「最良」の方法であると推測しました。

単連結な充填の場合はPu の不等式と等価である。最近、種数-1 の充填の場合も肯定的に解決された (下記の Bangert らの文献を参照)。つまり、積分幾何学における J. Hersch による半世紀も前の公式を利用できることが判明した。つまり、赤道に自己交差点があるフットボール上の 8 の字ループの族を考えてみる (記事冒頭の図を参照)。Hersch の公式は、フットボールの共形類における計量の面積を、族からの 8 の字ループのエネルギーの平均として表す。Hersch の公式をリーマン面の超楕円商に適用すると、この場合の充填面積予想が証明される。

超楕円度のその他の収縮期的影響は、属 2 で特定されています。

調査

この分野のサーベイとしては、M. Bergerのサーベイ（1993年）、Gromovのサーベイ（1996年）、Gromovの著書（1999年）、Bergerのパノラマブック（2003年）、そしてKatzの著書（2007年）などがあります。これらの参考文献は、初心者がこの分野に参入する際に役立つかもしれません。また、取り組むべき未解決の問題も含まれています。

参照

• 充填領域推測
• 最初のハーウィッツ三部作
• 胴回り（機能分析）
• 複素射影空間におけるグロモフの不等式
• グロモフの本質的多様体に対するシストリック不等式
• 微分幾何学のトピック一覧
• ローナーのトーラス不等式
• Puの不等式
• 表面の収縮
• 収縮期自由度

注記

1. Tutte, William T. (1947). 「立方体グラフの族」.ケンブリッジ哲学協会紀要. 43 (4): 459– 474. Bibcode :1947PCPS...43..459T. doi :10.1017/S0305004100023720. MR  0021678. S2CID  123505185.
2. R Accola (1960)「リーマン面上の微分と極値長」米国科学アカデミー紀要46:540–3
3. C. Blatter (1961) 「Uber extremalllängen auf geschossenen Flächen」、 Commentarii Mathematici Helvetici 35: 153–68
4. マルセル、バーガー (1992–1993)。 「グロモフの収縮と応用」(PDF)。セミネール・ブルバキ。35 : 279–310 .
5. Berger, M. (2003). リーマン幾何学のパノラマビュー. Springer. ISBN 978-3-642-18245-7。
6. Berger, M. (2008). 「収縮期とは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 55 (3): 374–6 .
7. Katz, M.; Rudyak, Y. (2006). 「低次元多様体のシストリックカテゴリーとルスターニク・シュニレルマンカテゴリー」. Communications on Pure and Applied Mathematics . 59 : 1433–56 . arXiv : math/0410456 . CiteSeerX 10.1.1.236.3757 . doi :10.1002/cpa.20146. S2CID  15470409. 
8. Guth, Larry (2011). 「大規模リーマン多様体における球体の体積」Annals of Mathematics . 173 (1): 51– 76. arXiv : math/0610212 . doi :10.4007/annals.2011.173.1.2. MR  2753599. S2CID  1392012.
9. Katz, Mikhail G. ; Schaps, Mary ; Vishne, Uzi (2007). 「合同部分群に沿った算術リーマン面のシストールの対数的増加」. Journal of Differential Geometry . 76 (3): 399– 422. arXiv : math.DG/0505007 . doi : 10.4310/jdg/1180135693 .
10. バザー、P. ; Sarnak、P. (1994)。 「大きな属種のリーマン面の周期行列について (JH Conway と NJA Sloane による付録付き)」。数学の発明。117 (1): 27–56。書誌コード:1994InMat.117...27B。土井：10.1007/BF01232233。ISSN  0020-9910。S2CID  116904696。

参考文献

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• Gromov, M. (1983). 「リーマン多様体の充填」J. Diff. Geom . 18 : 1– 147. CiteSeerX  10.1.1.400.9154 . doi :10.4310/jdg/1214509283.
• グロモフ、M. (1996)。 「収縮期と収縮期間の不平等」。Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy、1992)。セミン。会議Vol. 1.社会。数学。フランス。ページ 291 ～ 362。CiteSeerX  10.1.1.539.1365。
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• Katz, M. (2007). シストリック幾何学と位相幾何学. 数学概説とモノグラフ. 第137巻.アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4177-8。
• Katz, M.; Sabourau, S. (2005). 「シストリック極値面のエントロピーと漸近的境界」. Ergo. Th. Dynam. Sys . 25 (4): 1209–20 . arXiv : math/0410312 . CiteSeerX  10.1.1.236.5949 . doi :10.1017/S0143385704001014. S2CID  11631690.
• Pu, PM (1952). 「ある種の非向きリーマン多様体におけるいくつかの不等式」(PDF) . Pacific J. Math . 2 : 55–71 . doi :10.2140/pjm.1952.2.55.

外部リンク

• ミハイル・カッツの本の AMS ウェブページ。
• シストリック幾何学と位相幾何学のウェブサイト

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