スキームで表される関数

代数幾何学において、スキーム Xで表される関数は、スキームのカテゴリ上の集合値反変関数であり、各スキームSにおける関数の値は（自然単射、つまり一対一対応を除き）すべての射の集合となる。このとき、関数FはXの点の関数と自然に同値であるとされ、スキームXは関数Fを表し、Fによって与えられるS上の幾何学的対象を分類すると言われる。^[1] $S\to X$

S上のある幾何学的対象を生成する関数は、スキームXで表される場合がある。例えば、S をS上のすべての直線束（より正確にはn次元線型システム）の集合に写す関数は、射影空間で表される。別の例として、スキームYのヒルベルトスキームXがある。これは、スキームSを、 S上の平坦族である閉部分スキームの集合に写す関数を表す。^[2] $X=\mathbb {P}^{n-1}$ $Y\times S$

応用によっては、与えられた関数を表すスキームが見つからない場合があります。このため、スタックという概念が生まれました。これは関数ではありませんが、幾何学的空間であるかのように扱うことができます。（ヒルベルトスキームはスタックではなくスキームです。これは、非常に大まかに言えば、閉じたスキームの方が変形理論が単純であるためです。）

いくつかのモジュライ問題は、（多項式代数解ではなく）形式解を与えることによって解かれ、その場合、結果として得られる関数は形式スキームによって表されます。そのような形式スキームは、ある同型を除いて同じ関数を表現できるスキームが存在する場合、代数化可能であると言われます。

モチベーション

この概念は代数位相幾何学における分類空間の類似物であり、空間S上の各主G束は（自然同型を除いて）普遍束を何らかの写像に沿って引き戻すものである。S上の主G束を与えることは、Sから分類空間への写像（分類写像と呼ばれる）を与えることと同じである。 $EG\to BG$ $S\to BG$ $BG$

代数幾何学における同様の現象は線型系によって与えられる。すなわち、基底多様体Sから射影空間への射を与えることは、 S上の基底点のない線型系（あるいは同値な直線束）を与えることと同値である。すなわち、射影空間X はS上のすべての直線束を与える関数を表す。 $X=\mathbb {P} ^{n}$

米田の補題によれば、スキームXは点の関数を決定し、またその関数によって決定される。^[3]

点の関手

Xをスキームとする。その点の関手は関手である

Hom(−, X ) : (アフィンスキーム) ^op ⟶ 集合

アフィンスキームYをスキームマップの集合に送信する。^[4] $Y\to X$

スキームは、その点の関数によって同型性を除いて決定される。これは、X はHom(−, X ) : Schemes ^op → Sets の写像によって決定されるという米田の補題のより強いバージョンである。

逆に、関数F : (アフィンスキーム) ^op → 集合が何らかのスキームの点の関数である場合、Fは(アフィンスキーム)上のザリスキ位相に関して層であり、Fはアフィンスキームによって開被覆を許容する。^[5]^[6]

例

点を指標として

X を基本環B上のスキームとする。xが X の集合論的点である場合、留数体は局所環の留数体（すなわち、最大イデアルによる商）である。例えば、Xがアフィンスキーム Spec( A )であり、 x が素イデアルである場合、 xの留数体は閉部分スキームの関数体である $k(x)$ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ${\mathfrak {p}}$ $\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})$

簡単にするために、と仮定する。すると、集合論的な点x をXに含めることは、環準同型に対応する。 $X=\operatorname {Spec} (A)$

A\to k(x)

(つまりの場合です。) $A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ $x={\mathfrak {p}}$

上記は可換バナッハ代数のスペクトルと比較する必要があります。

点を切断として

ファイバー積の普遍性により、スキームXの各R点はRスキームの射を決定する

\operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)

;

すなわち、射影の切断である。SがX ( R )の部分集合である場合、 Sの元によって決定される切断の像の集合について書く。^[7] $X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)$ $|S|\subset X_{R}$

二重数字リングの仕様

を体k上の双対数環の Spec とし、X をk上のスキームとします。すると、それぞれは写像の閉点の像である点におけるXの接ベクトルに相当します。 ^[1]言い換えれば、Xの接ベクトルの集合です。 $D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))$ $D\to X$ $X(D)$

普遍対象

をスキームで表される関手とする。同型写像のもとで、恒等写像に対応するの唯一の元が存在する。この唯一の元は普遍対象または普遍族（分類される対象が族である場合）として知られる。普遍対象は、任意のスキームにおけるの他のすべての元を、からへの射に沿った引き戻しによって導出するためのテンプレートとして機能し、[ ^1] $F$ $X$ $F(X)\cong {\text{Hom}}(X,X)$ $F(X)$ ${\text{id}}_{X}:X\to X$ $F(S)$ $S$ $S$ $X$

参照

注釈

^ abc Shafarevich 1994, Ch. VI § 4.1
^ シャファレビッチ 1994、Ch. VI § 4.4。
^ 実際、X はさまざまな環Rを持つR点によって決定されます。正確に言えば、スキームX、Yが与えられれば、関数から関数への任意の自然変換によって、スキームX → Yの射が自然に決定されます。 $R\mapsto X(R)$ $R\mapsto Y(R)$
^ スタックスプロジェクト、01J5
^ 点の関数、米田の補題、モジュライ空間、普遍性（ブライアン・オッサーマン）、Cor. 3.6
^ スキームとその点の関数（Alexander Lai de Oliveira）、定理1
^ これは標準的な表記法のようです。たとえば、「代数幾何学における非ベル的ポアンカレ双対性（講義 9）」（PDF）を参照してください。

参考文献

デイヴィッド・マンフォード(1999). 『多様体とスキームのレッドブック：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義 (1974) を含む』 . 数学講義ノート. 第1358巻 (第2版). シュプリンガー出版社. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X。
ルリー、ジェイコブ。「講義14：ボレル還元の存在（I）」（PDF）
Shafarevich, Igor (1994). 『基礎代数幾何学第2版改訂・拡張版』第2巻. Springer-Verlag.
シャファレヴィッチ、イゴール R. (2013)。基本的な代数幾何学 2．土井：10.1007/978-3-642-38010-5。ISBN 978-3-642-38009-9。

外部リンク

コンスタンチン・アーダコフ、サイモン・ワズリー著「アフィノイド包絡代数に対するキレンの補題」(PDF )

[Schemes_and_functors-1] Shafarevich 1994, Ch. VI § 4.1

[2] シャファレビッチ 1994、Ch. VI § 4.4。

[3] 実際、X はさまざまな環Rを持つR点によって決定されます。正確に言えば、スキームX、Yが与えられれば、関数から関数への任意の自然変換によって、スキームX → Yの射が自然に決定されます。 $R\mapsto X(R)$ $R\mapsto Y(R)$

[4] スタックスプロジェクト、01J5

[5] 点の関数、米田の補題、モジュライ空間、普遍性（ブライアン・オッサーマン）、Cor. 3.6

[6] スキームとその点の関数（Alexander Lai de Oliveira）、定理1

[7] これは標準的な表記法のようです。たとえば、「代数幾何学における非ベル的ポアンカレ双対性（講義 9）」（PDF）を参照してください。