不変部分空間

数学において、線型写像T : V → V 、すなわちあるベクトル空間Vからそれ自身への写像の不変部分空間とは、 Tによって保存されるVの部分空間Wのことである。より一般的には、線型写像の集合の不変部分空間とは、それぞれの写像によって個別に保存される部分空間のことである。

単一のオペレータの場合

ベクトル空間と線型写像を考える。部分空間はの不変部分空間と呼ばれる。あるいは、 $T が$ 任意のベクトルを $W$ に戻すとき、 $T$ 不変であるとも言う。式では、これは次のように書ける。^[1] $V$ $T:V\to V.$ $W\subseteq V$ $T$ $\mathbf {v} \in W$ $\mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W$ $TW\subseteq W{\text{.}}$

この場合、 $Tは$ $W$ の準同型に制限される：^[2] $T|_{W}:W\to W{\text{;}}\quad T|_{W}(\mathbf {w} )=T(\mathbf {w} ){\text{.}}$

不変部分空間の存在は行列定式化も持つ。Wの基底 Cを選び、それをVの基底 B に完成させる。B $に関して$ 、演算子 $T$ は何らかの $T$ $12$ および $T$ $22$ に対して形を持つ。ここでは基底Cに関するの行列を表す。 $T={\begin{bmatrix}T|_{W}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}$ $T|_{W}$ $T|_{W}$

例

任意の線型写像は次の不変部分空間を許容します。 $T:V\to V$

ベクトル空間は、内のすべてのベクトルをに写像するため、 $V$ $T$ $V$ $V.$
セット、なぜなら。 $\{0\}$ $T(0)=0$

これらはそれぞれ、真でない不変部分空間と自明な不変部分空間である。特定の線型作用素には、真でない自明な不変部分空間が存在しない。例えば、2次元実ベクトル空間の回転などである。しかし、3次元における回転の軸は常に不変部分空間となる。

1次元部分空間

$U$ がベクトル $v$ $\in$ $U$ $を持つ演算子T$ の1次元不変部分空間である場合、ベクトル $v$ と $T$ $v は$ 線型従属でなければならない。したがって、実際にはスカラー $α は$ $v$ に依存しない。 $\forall \mathbf {v} \in U\;\exists \alpha \in \mathbb {R} :T\mathbf {v} =\alpha \mathbf {v} {\text{.}}$

上記の式は固有値問題を定式化したものです。Tの任意の $固有ベクトル$ は1次元不変部分空間を張り、その逆も同様です。特に、非零不変ベクトル（つまりTの不動点）は1次元の不変部分空間を張ります。

代数学の基本定理の帰結として、零でない有限次元複素ベクトル空間上のすべての線型作用素は固有ベクトルを持つ。したがって、少なくとも2次元上のすべてのそのような線型作用素は、真に非自明な不変部分空間を持つ。

射影による対角化

与えられた部分空間WがTに関して不変であるかどうかを判断することは、一見すると幾何学的な性質の問題です。行列表現を用いることで、この問題を代数的に表現することができます。

$V を$ 直和 $W \oplus W'$ と書く。適切な $W' は常に$ $W$ の基底を拡張することで選択できる。Wへの射影演算子 P は行列表現で表すことができる。

P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.

簡単な計算により、PTP = TPの場合にのみWは $T$ 不変であることがわかります。

1 が恒等演算子ならば、 $1- Pは$ $W'$ への射影である。方程式 $TP = PT が$ 成立するのは、 im( P ) と im(1 − P ) がTのもとで不変である場合のみである。その場合、Tは行列表現を持つ。 $T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\;.$

口語的には、 Tと可換な射影はTを「対角化」します。

部分空間の格子

上記の例が示すように、与えられた線型変換Tの不変部分空間は、Tの構造を明らかにする。Vが代数閉体上の有限次元ベクトル空間である場合、 Vに作用する線型変換は（相似性を除き）ジョルダン標準形によって特徴付けられ、これはV をTの不変部分空間に分解する。T に関する多くの基本的な疑問は、Tの不変部分空間に関する疑問に置き換えることができる。

$Vの$ $T$ 不変部分空間の集合は、 $T$ の不変部分空間格子とも呼ばれ、 $Lat($ $T$ $)$ と表記される。その名の通り、これは（モジュラー）格子であり、交点と結線はそれぞれ集合積と線型範囲で与えられる。Lat $($ $T$ $)$ の極小元は極小不変部分空間と呼ばれる。

無限次元演算子の研究では、 $Lat(T)は$ 閉じた不変部分空間のみに制限されることがあります。

複数のオペレータの場合

演算子の集合 $T$ が与えられたとき、部分空間が各 $T$ $\in$ $Tに対して不変である場合、その部分空間は$ $T$ 不変であると呼ばれます。

単一演算子の場合と同様に、 $T$ $の不変部分空間格子（Lat(T)$ と表記）は、すべての $T$ 不変部分空間の集合であり、同じ交点演算と結合演算を持つ。集合論的には、それは交点である。 $\mathrm {Lat} ({\mathcal {T}})=\bigcap _{T\in {\mathcal {T}}}{\mathrm {Lat} (T)}{\text{.}}$

例

$End(V)を$ $V$ 上のすべての線型作用素の集合とする。このとき $Lat(End(V))={0, V}$ となる。

ベクトル空間V上の群Gの表現が与えられたとき、 Gの任意の元gに対して線型変換T ( g ) : V → Vが成り立つ。Vの部分空間Wがこれらの変換すべてに関して不変であれば、それは部分表現であり、群G はWに自然に作用する。同様の構成は代数の表現にも当てはまる。

別の例として、 $T \in End(V)$ と $Σ を{1,$ T }によって生成される代数（ 1 は恒等演算子）とすると、Lat( T ) = Lat(Σ) となります。

非可換代数の基本定理

代数の基本定理が有限次元複素ベクトル空間に作用するすべての線型変換が非自明な不変部分空間を持つことを保証するのと同様に、非可換代数の基本定理は、 Lat(Σ) が特定の Σ に対して非自明な元を含むことを主張します。

定理（バーンサイド）— $V$ は有限次元の複素ベクトル空間であると仮定する。End $($ $V$ $)$ の任意の真部分代数 $Σ$ に対し、 $Lat($ $Σ$ $)$ は非自明な元を含む。

一つの帰結として、 L ( V )の全ての可換族は同時に上三角化できる。これを理解するには、上三角行列表現が不変部分空間の旗に対応すること、可換族が可換代数を生成すること、そして $dim($ $V$ $) \geq 2の場合には$ $End(V)$ が可換ではないことに注意する必要がある。

左翼の理想

Aが代数ならば、 A上の左正規表現Φを定義できる。Φ( a ) b = abはAからL ( A )への準同型写像であり、 A上の線型変換代数である。

Φ の不変部分空間はまさにAの左イデアルである。 Aの左イデアルMはM上のAの部分表現を与える。

MがAの左イデアルならば、 M上の左正規表現 Φ は商ベクトル空間A / M上の表現 Φ' へと降下する。[ b ]がA / Mの同値類を表すならば、 Φ'( a )[ b ] = [ ab ] となる。表現 Φ' の核は集合 {すべてのbに対してa ∈ A | ab ∈ M } である。

表現 Φ' が既約となるのは、 M が最大左イデアルである場合に限ります。これは、部分空間V ⊂ A / Mが {Φ'( a ) | a ∈ A }の下で不変となるのは、その商写像V + Mの下での逆像がAの左イデアルである場合に限ります。

不変部分空間問題

不変部分空間問題は、 V が次元 > 1 の複素数上の可分ヒルベルト空間であり、Tが有界作用素である場合に関係する。問題は、そのような任意のT が、非自明で閉じた不変部分空間を持つかどうかを判定することである。これは未解決である。

Vがバナッハ空間であると仮定されるより一般的な場合において、Per Enflo (1976) は不変部分空間を持たない作用素の例を見出した。不変部分空間を持たない作用素の具体的な例は、1985年に Charles Readによって示された。

ほぼ不変な半空間

不変部分空間に関連するものとして、いわゆるほぼ不変半空間（AIHS ）がある。バナッハ空間の閉部分空間は、ある有限次元部分空間に対してが成り立つとき、作用素がほぼ不変であるという。同様に、となる有限階数作用素が存在するとき、つまりが（通常の意味で）に対して不変であるとき、はがほぼ不変である。この場合、（またはの階数）の最小可能次元は欠陥と呼ばれる。 $Y$ $X$ $T\in {\mathcal {B}}(X)$ $TY\subseteq Y+E$ $E$ $Y$ $T$ $F\in {\mathcal {B}}(X)$ $(T+F)Y\subseteq Y$ $Y$ $T+F$ $E$ $F$

明らかに、有限次元および有限余次元の部分空間は、あらゆる作用素に対してほぼ不変である。したがって、物事を非自明にするために、無限次元および無限余次元を持つ閉部分空間であるときはいつでも、半空間であると言う。 $Y$

AIHS問題は、すべての作用素がAIHSを許容するかどうかを問う問題である。複素数の設定では既にこの問題は解決されている。すなわち、が複素無限次元バナッハ空間である場合、AIHSの欠陥数は最大1である。が実バナッハ空間である場合に同じことが成り立つかどうかは、現在のところ分かっていない。しかしながら、いくつかの部分的な結果は確立されている。例えば、無限次元実ヒルベルト空間上の任意の自己随伴作用素はAIHSを許容し、実無限次元反射空間に作用する任意の厳密特異（またはコンパクト）作用素もAIHSを許容する。 $X$ $T\in {\mathcal {B}}(X)$ $T$ $X$

参照

参考文献

^ ローマン 2008、p. 73 §2
^ ローマン 2008、p. 73 §2

出典

アブラモビッチ、ユーリ・A.;アリプランティス、チャラランボス・D. (2002). 『作用素論への招待』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-2146-6。

ボーザミー、バーナード (1988).作用素論と不変部分空間入門. ノースホランド.

エンフロ、ペル；ロモノソフ、ヴィクター（2001年）「不変部分空間問題のいくつかの側面」『バナッハ空間幾何学ハンドブック』第1巻、アムステルダム：北ホラント、pp. 533– 559。

イスラエル・ゴーバーグ、ピーター・ランカスター、レイバ・ロッドマン (2006).行列の不変部分空間とその応用. 応用数学の古典. 第51巻（1986年Wiley版の再版、正誤表と新しい序文付き）. 工業応用数学協会 (SIAM). pp. xxii+692. ISBN 978-0-89871-608-5。

リュビッチ, ユーリイ・I. (1988). 『群のバナッハ表現理論入門』（1985年ロシア語版からの翻訳）ハリコフ（ウクライナ）：ビルクハウザー出版.

Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Invariant Subspaces (Updated of 1973 Springer-Verlag ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-42822-2。

ローマン、スティーブン（2008年）『上級線形代数』、大学院数学テキスト（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5。

[1] ローマン 2008、p. 73 §2

[2] ローマン 2008、p. 73 §2