ジャッキーウ・タイテルボイム重力

理論物理学において、ジャッキー・タイテルボイム重力（ Jackiw -Teitelboim Gravity）は、空間1次元と時間1次元（1+1D）におけるディラトンを持つ重力理論である。この理論は、ローマン・ジャッキーとクラウディオ・タイテルボイムによって初めて定式化された。 ^{[ 1 ]}この理論は、量子重力のおもちゃのモデルでありながら厳密に解けることで知られており、近極限ブラックホールやAdS/CFT対応の理解に応用されている。^{[ 2 ] [ 3 ]}

バルクにおけるJT重力のダイナミクスは比較的単純で、一定の負の曲率時空（反ド・ジッター空間）につながる。 ^{[ 4 ]}しかし、理論はこの時空境界上で興味深いダイナミクスを持ち、それはシュワルツ理論によって記述される。^{[ 5 ]}この境界理論は、量子カオスのモデルであるサチデフ・イェ・キタエフ（SYK）モデルの低エネルギー挙動を捉えている。^{[ 2 ]}

アクション

ジャッキーウ・タイテルボイム重力作用は、計量g _μνとディラトン場 Φ を持つ2次元多様体M上で定義され、以下のように与えられる。

${\displaystyle S_{JT}={\frac {1}{16\pi G_{N}}}\int _{M}d^{2}x{\sqrt {-g}}\Phi (R+2)+S_{boundary}}$

ここで、G _Nは2次元ニュートン定数、Rは計量g _μνのリッチスカラー、そして宇宙定数は運動方程式によって時空が常に曲がるように選ばれる。

境界条件

境界∂Mを持つ多様体Mに対して、適切に設定された変分問題を得るには作用に境界項を含める必要がある。 ^{[ 6 ]} JT重力の適切な境界項は、計量に対するギボンズ-ホーキング-ヨーク（GHY）項と、それに対応するディラトン場に対する項である。

${\displaystyle S_{boundary}={\frac {1}{8\pi G_{N}}}\int _{\partial M}dt{\sqrt {h}}(\Phi _{b}K-\Phi _{b})}$

ここで、hは境界上の誘導計量、Kは外在曲率、Φb_は境界におけるディラトンの値である。^{[ 7 ]} 2番目の項は作用を正規化する反項である。 ^{[ 8 ]}

したがって、境界を持つ Jackiw-Teitelboim 重力の完全な作用は次のようになります。

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G_{N}}}\left[\int _{M}d^{2}x{\sqrt {-g}}\Phi (R+2)+2\int _{\partial M}dt{\sqrt {h}}\Phi _{b}(K-1)\right]}$

シュワルツ境界理論

JT重力の重要な特徴は、そのダイナミクスが2次元時空の1次元境界上の理論に還元できることである。これは、バルク場（計量g _μνとディラトンΦ）を積分することで実現され、境界自由度に対する有効作用が残る。^{[ 9 ]}結果として得られる有効作用はシュワルツ作用であり、境界の再パラメータ化を記述する。

導出

シュワルツ境界理論の導出にはいくつかのステップが含まれます。

1. バルク運動方程式を解く：JT作用のディラトンΦに対する変化は、R = -2という制約を課し、これはバルク幾何学が反ド・ジッター空間（AdS ₂）のスライスであることを意味する。計量の運動方程式は、それをディラトンの応力エネルギーテンソルと結び付けている。^{[ 10 ]}
2. ゲージ固定と境界条件：便利なゲージ選択は、計量を の形に固定することです。この空間の境界は、ある小さな ε に対してz = ε に位置します。境界曲線は時間座標t (u)によってパラメータ化されます。ここでu は境界上の物理的な時間です。 ${\displaystyle ds^{2}={\frac {dz^{2}+dt^{2}}{z^{2}}}}$
3. オンシェル作用の評価：ディラトンの運動方程式により、オンシェル作用の体積項はゼロとなる。したがって、全体の作用は境界項によって与えられ、運動方程式の解に基づいて評価される。
4. シュワルツ微分: 課された境界条件とゲージ固定で境界項を慎重に評価した後、作用は次のように簡約されます:ここで、Cは Φ _b / G _Nに比例する定数、 β は境界時間座標の周期性、 { f , u } は関数fのuに関するシュワルツ微分を表します: ${\displaystyle S_{eff}=-C\int du\,\left\{\tan \left({\frac {\pi t(u)}{\beta }}\right),u\right\}}$ ${\displaystyle \{f,u\}={\frac {f'''(u)}{f'(u)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(u)}{f'(u)}}\right)^{2}}$

境界再パラメータ化t ( u )に対するこの有効な作用は、有名なシュワルツ作用である。 ^{[ 11 ]}この理論は、境界上での共形対称性の自発的かつ明示的な破れを記述しており、これはSYK模型の低エネルギー極限でも見られる特徴である。^{[ 2 ]}

参考文献

1. Jackiw, R. (1985). 「低次元重力」.核物理B. 252 : 343–356 . Bibcode : 1985NuPhB.252..343J . doi : 10.1016 /0550-3213(85)90448-1 .タイテルボイム, C. (1983). 「2次元時空における重力とハミルトン構造」. Physics Letters B. 126 ( 1–2 ) : 41–45 . Bibcode : 1983PhLB..126...41T . doi : 10.1016/0370-2693(83)90012-6 .
2. Maldacena, J.; Stanford, D.; Yang, Z. (2016). 「2次元近反ド・シッター空間における共形対称性とその破れ」.理論・実験物理学の進歩. 2016 (12): 12C104. arXiv : 1606.01857 . doi : 10.1093/ptep/ptw124 .
3. Almheiri, A.; Polchinski, J. (2015). 「AdS2反反応とホログラフィーのモデル」. J​​ournal of High Energy Physics . 2015 (11): 14. arXiv : 1401.4480 . doi : 10.1007/JHEP11(2015)014 .
4. Garcia-Garcia, AM; Godet, Victor (2021). 「Sachdev-Ye-Kitaev模型におけるユークリッドワームホール」 . Physical Review D. 103 ( 4) 046014. arXiv : 2010.11633 . Bibcode : 2021PhRvD.103d6014G . doi : 10.1103/PhysRevD.103.046014 .
5. Iliesiu, Luca V. (2019). 「Jackiw-Teitelboim重力における2次元ゲージ理論について」. arXiv : 1909.05253 [ hep-th ].
6. Regge, T.; Teitelboim, C. (1974). 「一般相対論のハミルトン定式化における面積分の役割」Annals of Physics . 88 (2): 286– 318. Bibcode : 1974AnPhy..88..286R . doi : 10.1016/0003-4916(74)90404-7 .
7. Brown, JD; York, JW (1993). 「重力作用から導かれる準局所エネルギーと保存電荷」. Physical Review D. 47 ( 4): 1407–1419 . arXiv : gr-qc/9209012 . Bibcode : 1993PhRvD..47.1407B . doi : 10.1103/PhysRevD.47.1407 . PMID 10015717 . 
8. Brown, AR; Gharibyan, H.; Lin, HW; Susskind, Leonard; Thorlacius, Larus; Zhao, Ying (2019). 「Jackiw-Teitelboim重力の複雑性」 . Physical Review D. 99 ( 4): 046016. arXiv : 1810.05109 . doi : 10.1103/PhysRevD.99.046012 .
9. Alkalaev, Konstantin; Joung, Euihun; Yoon, Junggi (2022). 「有色Jackiw-Teitelboim重力に対するシュワルツ的性質」Journal of High Energy Physics (9) 160. arXiv : 2204.09010 . Bibcode : 2022JHEP...09..160A . doi : 10.1007/JHEP09(2022)160 .
10. 「運動方程式を得るためのジャッキー・タイテルボイム（JT）重力に対する作用の変化」。
11. Monti, Federico; Otness, Karl; Bronstein, Michael M. (2018). 「シュワルツ理論 - 起源」. arXiv : 1802.01572 [ cs.LG ].

参照

• ディラトン § 量子重力におけるディラトン

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