T 1空間

すべてのシングルトン集合が閉じている位相空間

位相空間 における分離公理
コルモゴロフ分類
T 0	（コルモゴロフ）
T 1	（フレシェ）
T 2	（ハウスドルフ）
T 2 1/2	（ウリゾーン）
完全にT 2	（完全にハウスドルフ）
T 3	（正則ハウスドルフ）
T 3.5	（チコノフ）
T 4	（正規ハウスドルフ）
T 5	（完全正規  ハウスドルフ）
T 6	（完全正規  ハウスドルフ）
歴史

位相幾何学および関連する数学の分野において、T ₁空間は 、異なる点のすべての対に対して、それぞれが他方の点を含まない近傍を持つ位相空間である。 ^[1] R ₀ 空間は、位相的に区別可能な点のすべての対に対してこれが成り立つ空間である。T ₁と R ₀の性質は分離公理の例である。

定義

X を位相空間とし、x と y を X 内の点とする。xとy が他方の点を含まない近傍にある場合、xとyは分離されているという。

• X内の任意の2つの異なる点が分離されている場合、 XはT ₁空間と呼ばれる
• Xは、 X内の位相的に区別可能な任意の2 点が離れている場合、R ₀空間と呼ばれます。

R ₀空間は、アクセス可能な空間またはフレシェ位相を持つ空間とも呼ばれ、R _0空間は対称空間とも呼ばれます。(フレシェ空間という用語は、関数解析においては全く異なる意味を持ちます。このため、T ₁空間という用語が好まれます。また、シーケンシャル空間の一種としてフレシェ-ウリゾーン空間という概念もあります。対称空間という用語にも別の意味があります。)

位相空間が T ₁空間である場合、かつその場合のみ、R ₀空間とコルモゴロフ (または T ₀ ) 空間(つまり、異なる点が位相的に区別可能な空間) の両方です。位相空間が R ₀空間である場合、かつその場合のみ、そのコルモゴロフ商が T ₁空間です。

性質

が位相空間である場合、以下の条件は同値です ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$はT ₁空間です。
2. ${\displaystyle X}$はT ₀空間であり、かつR ₀空間です。
3. 点は において閉じています。つまり、任意の点に対して、単集合はの閉部分集合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$
4. のすべての部分集合は、それを含むすべての開集合の交差です。 ${\displaystyle X}$
5. すべての有限集合は閉じている。^[2]
6. のすべての余有限集合は開集合です。 ${\displaystyle X}$
7. すべての に対して、における固定された超フィルタはにのみ収束します。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
8. のすべての部分集合に対して、 のすべての点はの極限点であるため、 のすべての開近傍には の点が無限個含まれます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$
9. シェルピンスキー空間からへのすべての写像は自明です ${\displaystyle X}$
10. シェルピンスキー空間から一点への写像は、から一点への写像に関して持ち上げ特性を持つ。 ${\displaystyle X}$

が位相空間である場合、次の条件は同値である。^[3]（ただし はの閉包を表す） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$はR ₀空間である
2. 任意の に対して、の閉包はと位相的に区別できない点のみを含みます。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$
3. のコルモゴロフ商はT ₁です。 ${\displaystyle X}$
4. 任意のに対して がの閉包に存在し、かつ がの閉包に存在しうる場合と同値である。 ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
5. 上の特殊化順序は対称的である（したがって同値関係）。 ${\displaystyle X}$
6. の集合はの分割を形成する（つまり、任意の2つのそのような集合は同一か素である）。 ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$
7. が閉集合であり、 がに含まれない点である場合、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. 点のすべての近傍は を含む ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. すべての開集合は閉集合の和集合である。
10. すべての に対して、における固定された超フィルタは、位相的に と区別できない点にのみ収束する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

任意の位相空間において、任意の2点の性質として、以下の含意がある。

${\displaystyle {\text{separated}}\implies {\text{topologically distinguishable}}\implies {\text{distinct.}}}$

最初の矢印を反転できる場合、空間は R ₀である。2番目の矢印を反転できる場合、空間はT ₀である。合成矢印を反転できる場合、空間は T ₁である。空間が T _{1である必要十分条件は、それが R 0}と T ₀の両方である場合である。

有限 T ₁空間は必然的に離散的である（すべての集合が閉じているため）。

_{各点がT 1}近傍を持つという意味で局所的にT ₁である空間（部分空間位相が与えられた場合）は、T ₁でもある。^{[4]同様に、局所的にR} ₀ である空間もR _{0である。対照的に、対応する命題はT 2}空間には当てはまらない。例えば、2つの原点を持つ直線はハウスドルフ空間ではないが、局所的にハウスドルフである。

例

• シェルピンスキー空間は、T _{0であるがT 1}ではない、したがってR ₀でもない位相の簡単な例である。
• 重なり合う区間位相は、T _{0であるがT 1}ではない位相の簡単な例である。
• すべての弱ハウスドルフ空間はT ₁であるが、その逆は一般には真ではない
• 無限集合上のコ有限位相は、T _{1であるが}ハウスドルフ（T ₂）ではない位相の単純な例です。これは、コ有限位相の2つの空でない開集合が互いに素ではないことから成り立ちます。具体的には、整数の集合をとし、 の有限部分集合を除くすべてを含む の部分集合を開集合と定義します。次に、異なる整数とが与えられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• 開集合はを含みますが を含まず、開集合はを含みますが を含みません。 ${\displaystyle O_{\{x\}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle O_{\{y\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• 同様に、すべての単集合は開集合の補集合であるため、閉集合です。 ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle O_{\{x\}},}$

したがって、結果として得られる空間は上記の各定義によりT _{1です。この空間は T 2}ではありません。なぜなら、任意の2つの開集合と の交差はであり、これは決して空にならないからです。あるいは、偶数整数の集合はコンパクトですが は閉じておらず、これはハウスドルフ空間では不可能です ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle O_{B}}$ ${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• 上記の例を少し修正すると、二点共有限位相を作成できます。これは、T ₁でも R _{1でもない R 0}空間の例です。再び整数の集合を とし、前の例の定義を用いて、が偶数、が奇数の場合、任意の整数に対する開集合の部分基底を と定義します。すると、位相の基底は部分基底集合の有限交差によって与えられます。有限集合が与えられた場合、の開集合は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

結果として得られる空間は T ₀ではありません（したがって T ₁でもありません）。なぜなら、点と（偶数の場合）は位相的に区別できないからです。しかし、それ以外は本質的に前の例と同等です ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle x}$

• 代数多様体（代数的に閉体上）上のザリスキ位相はT ₁です。これを理解するには、局所座標を持つ点を含む単体が多項式の零点集合であることに注目してください。したがって、その点は閉じています。しかし、この例はハウスドルフ（T ₂ ） ではない空間としてよく知られています。ザリスキ位相は本質的に余有限位相の例です。 ${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• 可換環（つまり、環の素スペクトル）上のザリスキ位相はT ₀ですが、一般にはT _{1 で}はありません。^[5] これを理解するには、1点集合の閉包は、その点を含むすべての素イデアルの集合であることに注意してください（したがって、位相はT ₀です）。しかし、この閉包は最大イデアルであり、唯一の閉点は最大イデアルであるため、位相のどの開集合にも含まれず、したがって空間は公理T ₁を満たしませんこの例を明確にするために、可換環のザリスキー位相は次のように与えられます。位相空間はのすべての素イデアルの集合です。位相の基底はを含まない素イデアルの開集合によって与えられます。これが実際に基底を形成することは簡単に検証できます。したがって、およびです。ザリスキー位相の閉集合は を含む素イデアルの集合です。この例が上記の余有限位相の例と微妙に異なることに注目してください。位相内の点は一般に閉じていませんが、T ₁空間では点は常に閉じています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle O_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$ ${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle O_{1}=X.}$ ${\displaystyle a.}$
• すべての完全に切断された空間はT ₁です。なぜなら、すべての点は連結成分であり、したがって閉じているからです。

他の種類の空間への一般化

「T ₁」、「R _{0 」、およびそれらの同義語は、}一様空間、コーシー空間、収束空間といった位相空間のバリエーションにも適用できます。これらの例すべてにおいて概念を統一する特徴は、固定超フィルタ（または定数ネット）の極限が一意である（T ₁空間の場合）、または位相的判別不能性を除いて一意である（R ₀空間の場合）ことです。

結局のところ、一様空間、そしてより一般的にはコーシー空間は常にR ₀なので、これらの場合のT _{1条件はT 0}条件に帰着します。しかし、R _{0単独でも、}前位相空間などの他の種類の収束空間では興味深い条件となる可能性があります。

参照

• 位相的性質 - 空間の数学的性質

引用文献

1. Arkhangel'skii (1990)。2.6節を参照。
2. Archangel'skii (1990)命題13、2.6節を参照。
3. Schechter 1996, 16.6, p. 438.
4. "局所ユークリッド空間はT 1 空間を意味する". Mathematics Stack Exchange .
5. Arkhangel'skii (1990)。例21、2.6節を参照。

参考文献

• AVアルハンゲルスキー、LSポンチャギン（編）一般位相幾何学I（1990年）シュプリンガー・フェアラークISBN 3-540-18178-4。
• ジェラルド・フォーランド（1999年）『実解析：現代技術とその応用（第2版）』John Wiley & Sons, Inc. p. 116. ISBN  0-471-31716-0。
• エリック・シェヒター（1996年）解析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN   978-0-12-622760-4 OCLC  175294365
• リン・アーサー・スティーン、J・アーサー・シーバッハ・ジュニア著、『位相幾何学における反例』。シュプリンガー・フェアラーク、ニューヨーク、1978年。ドーバー出版、ニューヨーク、1995年再版。ISBN   0-486-68735-X（ドーバー版）
• ウィラード、スティーブン（1998年）『一般位相幾何学』。ニューヨーク：ドーバー。86  ～ 90ページ。ISBN   0-486-43479-6。

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