パフォーマンス評価（チェス）

Player-level assessment

チェスにおけるパフォーマンスレーティング（略称：Rp）とは、トーナメントや試合におけるプレイヤーのパフォーマンスレベルであり、プレイしたゲーム数、それらのゲームでの合計スコア、そして対戦相手のイロレーティングに基づいて算出されます。これは、プレイヤーのパフォーマンスがネットレーティングの変化をもたらさなかった場合のイロレーティングです。

しかし、この方法でパフォーマンスレーティングを計算するのは困難であるため、線形法とFIDE法によるパフォーマンスレーティングの計算がより広く普及しています。これらのよりシンプルな方法では、個々の対戦相手のレーティングではなく、平均レーティング（Raと略記）のみが計算に使用されます。どちらの方法を用いる場合でも、パフォーマンスレーティングの算出には個々の試合結果ではなく、合計スコアのみが使用されます。FIDEパフォーマンスレーティングは、プレイヤーがグランドマスター（GM）などのFIDEタイトルの基準を達成したかどうかを判断するためにも使用されます。

意味

プレイヤーの連続試合におけるパフォーマンスレーティングとは、その試合で対戦した相手に対して、プレイヤーが実際に獲得するべき合計スコアを予測するために必要なEloレーティングです。パフォーマンスレーティングを理解するための実用的な方法は、プレイヤーの実際のレーティングが試合ごとに変化するという事実に基づいています。定義上、プレイヤーの実際のレーティングが連続試合後に変化しない唯一の状況は、これらの試合開始時のレーティングが、既にシリーズ全体のパフォーマンスレーティングである場合です。この定義では、個々の試合結果は計算に直接影響しません。ただし、線形法やFIDE法とは異なり、個々の対戦相手のレーティングは計算に影響を与えます。^{[1] [2]}

数学的な定義

一連のゲームの合計スコアと対戦相手の評価が与えられた場合、完璧なパフォーマンス評価は、予想スコア（対戦相手の評価から計算）が実際のスコアと一致する数値です。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{i}(R_{1},R_{2},...,R_{n})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s=f(R)=\sum _{i}{\frac {1}{1+10^{(R_{i}-R)/400}}}}$

2 つの限定的なケースでは次の点に注意してください。

• プレイヤーがすべてのゲームに負けた場合 ( )、そのパフォーマンス評価は になります。 ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle R=-\infty }$
• プレイヤーがすべてのゲームに勝った場合 ( )、そのパフォーマンス評価は になります。 ${\displaystyle s=n}$ ${\displaystyle R=\infty }$

計算

は単調増加関数なので、定義域全体で二分探索を行うことで見つけることができます。まず、レーティングの適切な下限と上限（ここでは0から4000）を設定し、中間点（2000）での期待スコアを確認します。実際のスコアがこの期待値よりも高ければ、プレイヤーのパフォーマンスは2000よりも優れていたことを示しているため、上位半分（2000から4000、中間点は3000）で探索を繰り返します。このプロセスは、 の正確な値が見つかるまで繰り返されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Pythonでのサンプル実装は次のとおりです。

def expected_score (対戦相手のレーティング:リスト[ float ],自身のレーティング: float ) -> float :       「これらの対戦相手とトーナメントで何ポイント獲得できると予想しますか？」  合計を返す（ 1  /  ( 1  +  10 ** ((対戦相手のレーティング - 自分のレーティング)  /  400 ))  対戦相手のレーティングの対戦相手のレーティング   ）def performance_rating (対戦相手の評価:リスト[ float ],スコア: float ) -> int :       「バイナリ検索を使用して数学的に完璧なパフォーマンス評価を計算する」 最低、 最高 =  0、4000​ ​  hi  -  lo  >  0.001の場合： 中音 =  (低音 + 高音)  /  2  expected_score (対戦相手のレーティング,  mid )  < スコア の場合: lo  =  mid それ以外： 高 = 中 リターン ラウンド（ミッド）print ( performance_rating ([ 1851 ,  2457 ,  1989 ,  2379 ,  2407 ],  4 ))  # 2551 になるはずです

FIDEパフォーマンス評価

FIDEはプレイヤーのパフォーマンスレーティングを として計算します。ここでは対戦相手のレーティングの平均であり、 はプレイヤーの合計スコアをプレイしたラウンド数で割った追加のレーティング差です。この小数点以下のスコアは と呼ばれます。の解析的な表現はありません。その代わりに、FIDEはの値を最も近い小数点第2位に丸めた値に基づいての値を参照する表を提供しています。一般的な長さのトーナメント（8ラウンドから11ラウンド）における の値は、以下のレーティング差の例に示されています。^{[3] [4]} ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle R_{p}=R_{a}+d_{p}}$ ${\displaystyle R_{a}}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d_{p}}$

真の定義と同様に、FIDE方式も個々の試合結果に依存しません。真の定義とは異なり、FIDE方式は個々の対戦相手のレーティングに依存しません。^[3]

評価差の例

注:スコアが 0 の場合は、スコアが偶数の場合は、スコアが 0 の場合は となります。 ${\displaystyle d_{p}=-800}$ ${\displaystyle d_{p}=0}$ ${\displaystyle d_{p}=800}$

8ラウンド

マイナススコア
スコア	1/2	1	1.5	2	2.5	3	3.5
${\displaystyle p}$	0.06	0.13	0.19	0.25	0.31	0.37	0.44
${\displaystyle d_{p}}$	−444	−322	−251	−193	−141	−95	−43
肯定的なスコア
スコア	4½	5	5½	6	6½	7	7.5
${\displaystyle p}$	0.56	0.63	0.69	0.75	0.81	0.87	0.94
${\displaystyle d_{p}}$	+43	+95	+141	+193	+251	+322	+444

9ラウンド

マイナススコア
スコア	1/2	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
${\displaystyle p}$	0.06	0.11	0.17	0.22	0.28	0.33	0.39	0.44
${\displaystyle d_{p}}$	−444	−351	−273	−220	−166	−125	−80	−43
肯定的なスコア
スコア	5	5½	6	6½	7	7.5	8	8½
${\displaystyle p}$	0.56	0.61	0.67	0.72	0.78	0.83	0.89	0.94
${\displaystyle d_{p}}$	+43	+80	+125	+166	+220	+273	+351	+444

10ラウンド

マイナススコア
スコア	1/2	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4½
${\displaystyle p}$	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
${\displaystyle d_{p}}$	−470	−366	−296	−240	−193	−149	−110	−72	−36
肯定的なスコア
スコア	5½	6	6½	7	7.5	8	8½	9	9½
${\displaystyle p}$	0.55	0.60	0.65	0.70	0.75	0.80	0.85	0.90	0.95
${\displaystyle d_{p}}$	+36	+72	+110	+149	+193	+240	+296	+366	+470

11ラウンド

マイナススコア
スコア	1/2	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4½	5
${\displaystyle p}$	0.05	0.09	0.14	0.18	0.23	0.27	0.32	0.36	0.41	0.45
${\displaystyle d_{p}}$	−470	−383	−309	−262	−211	−175	−133	−102	−65	−36
肯定的なスコア
スコア	6	6½	7	7.5	8	8½	9	9½	10	10.5
${\displaystyle p}$	0.55	0.59	0.64	0.68	0.73	0.77	0.82	0.86	0.91	0.95
${\displaystyle d_{p}}$	+36	+65	+102	+133	+175	+211	+262	+309	+383	+470

規範での使用

FIDEタイトルを標準的な方法で獲得するための要件の一つは、一定数のノルムを達成することです。チェスにおけるノルムは、プレイヤーがトーナメントで閾値以上のパフォーマンスレーティングを達成した場合に授与されます。例えば、グランドマスター（GM）のタイトルを獲得するには、平均レーティングが2380の相手に対して、少なくとも2600のパフォーマンスレーティングに相当する3つのGMノルムを達成し、さらに必要なピークライブレーティング2500に到達する必要があります。これらのノルムは、FIDEパフォーマンスレーティング方式によって算出されます。^[4]

線形性能評価

FIDEパフォーマンスレーティングにおけるレーティング差を計算するには参照テーブルが必要となるため、代わりによりシンプルな方法でレーティング差を （この場合 はパーセンテージスコア）として計算します。これにより、総合パフォーマンスレーティングは FIDE 方式と同様に （ ）として計算されます。 ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle d_{p}=800p-400}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R_{p}=R_{a}+d_{p}}$

このパフォーマンス評価を計算する同等の方法は、以下の平均を取ることです。

• 対戦相手のレーティング + 400 勝利ごとに
• 対戦相手の評価 - 敗北ごとに400
• 各ドローの対戦相手の評価のみ

このアプローチの顕著な欠点は、低評価のプレイヤーに勝つと、パフォーマンス評価が 実際に下がる可能性があることです。

この方法は、パーセンテージスコアへの線形依存性から、線形法と呼ばれることもあります。真の定義と同様に、線形法も個々の試合結果に依存しません。真の定義とは異なり、線形法は個々の対戦相手の評価に依存しません。^[5] ${\displaystyle p}$

方法の比較

パフォーマンス評価を計算する方法は様々ですが、一般的には同様の結果となります。すべての方法で全く同じ結果となるのは、対戦相手の平均評価から偏りがなく、かつスコアが均等な場合のみです。この場合、パフォーマンス評価は対戦相手の評価の平均となります。ゼロスコアや満点スコアに近い場合、あるいは個々の評価の分散が大きい場合（この場合、個々の評価の影響が大きくなります）は、パフォーマンス評価の真の定義は-∞、満点スコアの場合は∞となりますが、他の方法では有限の値となります。^[1]

具体的な例として、あるプレイヤーがレーティング2400、2500、2600の3人の対戦相手に対して2.5/3のスコアを獲得した場合、それぞれの評価方法は2785（真の定義）、2773（FIDE）、2767（リニア）となります。^[1]

参考文献

1. 「パフォーマンス計算機」Kivij . 2020年10月22日閲覧。
2. 「Elo Rating Performance Calculator」. Paxmans . 2020年10月22日閲覧。
3. 「B. 常設委員会 / 02. FIDEレーティング規則（資格委員会） / 2017年7月1日から発効するFIDEレーティング規則」。FIDE 。2020年10月22日閲覧。
4. 「B. 常設委員会 / 01. 国際タイトル規則（資格委員会） / FIDEタイトル規則（2017年7月1日から発効）」FIDE . 2020年10月22日閲覧。
5. 「パフォーマンス計算機」Kivij . 2020年10月22日閲覧。

外部リンク

FIDEハンドブック：レーティングシステム

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