総変動は減少している

Property of discretization schemes used to solve hyperbolic partial differential equations

数値解析において、全変動減少（TVD）は、双曲型偏微分方程式を解く際に用いられる特定の離散化スキームの特性です。この手法の最も顕著な応用は数値流体力学です。TVDの概念は、アミ・ハルテンによって提唱されました。^[1]

モデル方程式

次のような双曲型移流方程式のような偏微分方程式で記述されるシステムでは、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

総変動（TV）は次のように与えられる。

${\displaystyle TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,}$

離散ケースの全変動は、

${\displaystyle TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.}$

どこ。 ${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$

数値法が全変動減少法（TVD）と呼ばれるのは、

${\displaystyle TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).}$

特徴

以下の特性が維持される場合、数値スキームは単調性を保つと言われます。

• が空間内で単調に増加（または減少）する場合、 も同様です。 ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle u^{n+1}}$

Harten 1983は数値スキームについて以下の性質を証明した。

• モノトーンの配色はTVDであり、
• TVD 方式は単調性を維持します。

CFDへの応用

計算流体力学では、場の変数「」の変化が不連続な場合に、誤った振動を生じさせることなく、より鮮明な衝撃予測を得るために TVD スキームが採用されています。この変化を捉えるためには細かいグリッド（非常に小さい）が必要となり、計算が重くなり非経済的になります。 中心差分スキーム、風上スキーム、ハイブリッド差分スキーム、べき乗法則スキームで粗いグリッドを使用すると、誤った衝撃予測が得られます。TVD スキームは粗いグリッド上でより鮮明な衝撃予測を可能にし、計算時間を節約します。また、このスキームは単調性を維持するため、解に誤った振動は生じません。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta x}$

離散化

定常状態の1次元対流拡散方程式を考える。

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;}$、

ここで、 は密度、は速度ベクトル、は輸送される物性、は拡散係数、は物性の生成に関与する源項です。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

この特性のフラックスバランスを制御体積について計算すると、

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \;}$

ここはコントロールボリュームの表面の法線です。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$

ソース項を無視すると、方程式はさらに次のように簡略化されます。

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

面、ノード、およびそれらの間の距離における速度を示す制御ボリュームを示す図。ここで、「P」は中心のノードです。

仮定すると

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ そして ${\displaystyle A_{r}=A_{l},}$

この式は次のように要約される。

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.}$

言う、

${\displaystyle F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};}$

図から：

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};}$

方程式は次のようになります。この問題では、連続方程式も同等の形式のいずれかで満たされる必要があります。 $${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L});}$$

${\displaystyle (\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.}$

拡散率が均一な性質であり、格子間隔が等しいと仮定すると、

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,}$

となる。この式はさらに次のように書ける。上の式は次のように書ける。ここではペクレ数である。 $${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).}$$ $${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.}$

TVDスキーム

全変動減少法^{[2] [3]}では、離散化方程式に代入されるおよびの値について次のように仮定しています。 ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$

${\displaystyle \phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

ここでペクレ数であり、決定されるべき重み関数である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

ここで、は上流を指し、は の上流を指し、 は下流を指します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$

流れが正方向（つまり左から右）の場合、は重み関数であり、流れが負方向（右から左）の場合、は重み関数であることに注意してください。つまり、 ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f^{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

流れが正方向の場合、ペクレ数は正であり、項となるため、関数 はおよび の仮定において何ら役割を果たしません。同様に、流れが負方向の場合、は負であり、項 となるため、関数 はおよびの仮定において何ら役割を果たしません。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{-}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{l}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P+|P|)=0}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$ ${\displaystyle \phi _{r}}$

したがって、流れの方向に応じてプロパティの値を考慮し、重み付け関数を使用してソリューションの単調性を実現し、誤ったショックのない結果を生成します。

制限事項

単調法は非物理的な解を生成しないため、工学的および科学的問題を解く上で魅力的です。ゴドゥノフの定理は、単調性を保つ線形法はせいぜい1次の精度しか持たないことを証明しています。高次の線形法は滑らかな解に対してはより正確ですが、TVDではなく、不連続性や衝撃が生じる箇所で不要な振動（ウィグル）を引き起こす傾向があります。これらの欠点を克服するために、フラックス/スロープリミッターを用いた様々な高解像度の非線形手法が開発されてきました。

参照

• フラックスリミッター
• ゴドゥノフの定理
• 高解像度スキーム
• MUSCLスキーム
• セルゲイ・K・ゴドゥノフ
• 総変動

参考文献

1. Harten, Ami (1983), 「双曲型保存則のための高解像度スキーム」, J. Comput. Phys. , 49 (2): 357– 393, Bibcode :1983JCoPh..49..357H, doi :10.1016/0021-9991(83)90136-5, hdl : 2060/19830002586
2. Versteeg, HK; Malalasekera, W. (2007).数値流体力学入門：有限体積法（第2版）. ハーロウ：プレンティス・ホール. ISBN 9780131274983。
3. Blazek, Jiri (2001).数値流体力学：原理と応用（第1版）. ロンドン: Elsevier. ISBN 9780080430096。

さらに読む

• Hirsch, C. (1990)、「内部流れと外部流れの数値計算」、第 2 巻、Wiley。
• Laney, CB (1998)、「計算ガスダイナミクス」、ケンブリッジ大学出版局。
• Toro, EF (1999)、「Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics」、Springer-Verlag。
• Tannehill, JC、Anderson, DA、およびPletcher, RH (1997)、「計算流体力学および熱伝達」、第2版、Taylor & Francis。
• Wesseling, P. (2001)、「計算流体力学の原理」、Springer-Verlag。
• Anil W. Date著『計算流体力学入門』、ケンブリッジ大学出版局。

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