Equation in Fluid Mechanics, relating density & pressure
流体力学 において 、 テイト方程式は液体の 密度 と静 水圧 を関連付ける 状態方程式 である。この方程式は、1888年に ピーター・ガスリー・テイトによって [1] の形で 最初に発表された。
V 0 − V P V 0 = A Π + P {\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}} ここで 、は大気圧に加えられる静水圧、は 大気圧 における体積 、 は付加圧力による体積 、そして は実験的に決定されるパラメータです。Tait方程式に関する非常に詳細な歴史的研究と、2つのパラメータの物理的解釈は 、参考文献 [2] に記載されています。 P {\displaystyle P} V 0 {\displaystyle V_{0}} V {\displaystyle V} P {\displaystyle P} A , Π {\displaystyle A,\Pi } A {\displaystyle A} Π {\displaystyle \Pi }
テイト・タマン状態方程式 1895年に [3] [4]、 元の等温テイト方程式はタマンによって次の式に置き換えられた。
K = − V 0 ( ∂ P ∂ V ) T = V 0 ( B + P ) C {\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}} ここで 、は等温混合体積弾性係数である。この式は一般に Taitの式 として知られている。積分形は一般に次のように表記される。 K {\displaystyle K}
V = V 0 − C log ( B + P B + P 0 ) {\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)} どこ
V {\displaystyle V\ } 物質の比容積（単位は ml / g または m 3 / kg） V 0 {\displaystyle V_{0}} 比容積は P = P 0 {\displaystyle P=P_{0}} B {\displaystyle B\ } （ と同じ単位 ）および （ と同じ単位 ）は 温度の関数である P 0 {\displaystyle P_{0}} C {\displaystyle C\ } V 0 {\displaystyle V_{0}}
圧力を比容積で表すと、
P = ( B + P 0 ) exp ( − V − V 0 C ) − B . {\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.} 2つの経験的パラメータとに関する物理的な解釈を伴うタイト・タンマン状態方程式に関する非常に詳細な研究は 、 参考文献の第3章に示されている。 [2] 2つの経験的パラメータとの温度関数としての表現は 、 臨界温度までの液体相全体における水、海水、ヘリウム4、ヘリウム3について与えられている 。水の過冷却相の特殊なケースについては、参考文献の付録Dで説明されている。 [5] 三重点 温度から148 Kまでの温度における液体アルゴンのケースについては、 参考文献の第6節で詳細に扱われている。 [6] C {\displaystyle C} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} B {\displaystyle B} T c {\displaystyle T_{c}}
テイト・マーナハン状態方程式 テイト・マーナガン状態方程式によって予測される圧力の関数としての比容積。 もう一つの一般的な等温状態方程式は「テイト方程式」 [7] [8] と呼ばれ、 マーナガンモデル [9] であり 、これは次のように表現されることもある。
V V 0 = [ 1 + n K 0 ( P − P 0 ) ] − 1 / n {\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}} ここで 、 は圧力 での比容積 、 は圧力 での比容積 、 は での体積弾性率 、 は材料パラメータです。 V {\displaystyle V} P {\displaystyle P} V 0 {\displaystyle V_{0}} P 0 {\displaystyle P_{0}} K 0 {\displaystyle K_{0}} P 0 {\displaystyle P_{0}} n {\displaystyle n}
この式は圧力の形で次のように表される。
P = K 0 n [ ( V 0 V ) n − 1 ] + P 0 = K 0 n [ ( ρ ρ 0 ) n − 1 ] + P 0 . {\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.} ここで、 はそれぞれ における質量密度です 。純水の場合、典型的なパラメータは = 101,325 Pa、 = 1000 kg/cu.m、 = 2.15 GPa、 = 7.15 です。 [ 要出典 ] ρ , ρ 0 {\displaystyle \rho ,\rho _{0}} P , P 0 {\displaystyle P,P_{0}} P 0 {\displaystyle P_{0}} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} K 0 {\displaystyle K_{0}} n {\displaystyle n}
この形式の Tait 状態方程式は Murnaghan 状態方程式 と同一であることに注意してください。
マクドナルド・テイトモデルによって予測される接線体積弾性率は
K = K 0 ( V 0 V ) n . {\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}
トゥムリルツ・タマン・テイト状態方程式 純水の実験データへの適合に基づく Tumlirz-Tammann-Tait 状態方程式。 液体をモデル化するために使用できる関連する状態方程式は、 トゥムリルツ 方程式（ タマン方程式 と呼ばれることもあり、もともとは1909年にトゥムリルツ、1911年にタマンが純水について提案した）である。 [4] [10] この関係式は次のようになる
。
V ( P , S , T ) = V ∞ − K 1 S + λ P 0 + K 2 S + P {\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}} ここで 、 は比容積、 は圧力、 は塩分濃度、 は温度、 の ときの比容積 、 および は 実験データに適合させることができるパラメータです。 V ( P , S , T ) {\displaystyle V(P,S,T)} P {\displaystyle P} S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} V ∞ {\displaystyle V_{\infty }} P = ∞ {\displaystyle P=\infty } K 1 , K 2 , P 0 {\displaystyle K_{1},K_{2},P_{0}}
淡水に対するテイト方程式のトゥムリルツ・タマン版、すなわち のとき 、 S = 0 {\displaystyle S=0}
V = V ∞ + λ P 0 + P . {\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.} 純水の場合、の温度依存性は次の 通りである。 [10] V ∞ , λ , P 0 {\displaystyle V_{\infty },\lambda ,P_{0}}
λ = 1788.316 + 21.55053 T − 0.4695911 T 2 + 3.096363 × 10 − 3 T 3 − 0.7341182 × 10 − 5 T 4 P 0 = 5918.499 + 58.05267 T − 1.1253317 T 2 + 6.6123869 × 10 − 3 T 3 − 1.4661625 × 10 − 5 T 4 V ∞ = 0.6980547 − 0.7435626 × 10 − 3 T + 0.3704258 × 10 − 4 T 2 − 0.6315724 × 10 − 6 T 3 + 0.9829576 × 10 − 8 T 4 − 0.1197269 × 10 − 9 T 5 + 0.1005461 × 10 − 11 T 6 − 0.5437898 × 10 − 14 T 7 + 0.169946 × 10 − 16 T 8 − 0.2295063 × 10 − 19 T 9 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}} 上記のフィットでは、温度 は摂氏、 はバール、 は cc/gm、は バール-cc/gm で表されます。 T {\displaystyle T} P 0 {\displaystyle P_{0}} V ∞ {\displaystyle V_{\infty }} λ {\displaystyle \lambda }
圧力と比容積の逆トゥムリルツ・タマン・テイト関係は、
P = λ V − V ∞ − P 0 . {\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}
純水の瞬間体積 弾性率 に対するトゥムリルツ・タマン・テイトの式は、 （別の式については [4]を 参照） の二次関数である。 P {\displaystyle P}
K = − V ∂ P ∂ V = V λ ( V − V ∞ ) 2 = ( P 0 + P ) + V ∞ λ ( P 0 + P ) 2 . {\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}
修正テイト状態方程式 特に水中爆発、特に放出される衝撃波の研究を受けて、JGカークウッドは1965年に [11]、 等エントロピー圧縮率係数を次のように表すことで高圧（>1 kbar）を記述するより適切な状態方程式を提案した。
− 1 V ( ∂ V ∂ P ) S = 1 n ( B + P ) {\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}} ここ で はエントロピーを表す。2つの経験的パラメータ と は、 エントロピーの関数となり、 S {\displaystyle S} n {\displaystyle n} B {\displaystyle B}
n {\displaystyle n\ } 無次元である B {\displaystyle B\ } 同じ単位を持つ P {\displaystyle P} 積分により、 等エントロピー方向の体積について次の式が得られる。 V ( P , S ) {\displaystyle V(P,S)} S {\displaystyle S}
V V 0 = ( 1 + P 0 B ) 1 / n ( 1 + P B ) − 1 / n {\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}} どこ 。 V 0 = V ( P 0 , S ) {\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}
等エントロピーに沿った比容積に関する 圧力の表現 は、 P ( V , S ) {\displaystyle P(V,S)} S {\displaystyle S}
P = ( B + P 0 ) ( V 0 V ) n − B . {\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.} 2つの経験的パラメータと物理的解釈を伴う修正Tait状態方程式に関する非常に詳細な研究は 、 参考文献の第4章に記載されています。 [2] 2つの経験的パラメータとに対するエントロピーの関数としての表現は、 水 、ヘリウム3、ヘリウム4について示されています。 n {\displaystyle n} B {\displaystyle B} n {\displaystyle n} B {\displaystyle B}
参照
参考文献 ^ Tait, PG (1888). 「淡水と海水の物理的性質に関する報告書」 『チャレンジャー号航海の物理化学』 第2巻、第4部。 ^ abc Aitken, Frederic; Foulc, Jean-Numa (2019). 深海から実験室へ 3: Taitの海水の圧縮性に関する研究から液体の状態方程式まで. ロンドン, イギリス: ISTE - WILEY. ISBN 9781786303769 。 ^ タマン、G. (1895)。 「Über die Abhängigkeit der volumena von Lösungen vom druck」。 物理化学の時代 。 17 : 620–636 . ^ abc Hayward, ATJ (1967). 液体の圧縮性方程式：比較研究. British Journal of Applied Physics, 18(7), 965. http://mitran-lab.amath.unc.edu:8081/subversion/Lithotripsy/MultiphysicsFocusing/biblio/TaitEquationOfState/Hayward_CompressEqnsLiquidsComparative1967.pdf ^ Aitken, F.; Volino, F. (2021年11月). 「200～1800 Kにおける水の全流体相の動粘性および自己拡散係数を記述する新たな単一状態方程式、新たな独自の微視的モデルに基づく」. Physics of Fluids . 33 (11): 117112. arXiv : 2108.10666 . Bibcode :2021PhFl...33k7112A. doi :10.1063/5.0069488. S2CID 237278734. ^ Aitken, Frédéric; Denat, André; Volino, Ferdinand (2024年4月24日). 「融点から2300 K、50 GPaまでの準安定状態を含むアルゴンの流体相に関する新たな非示量的状態方程式」. Fluids . 9 (5): 102. arXiv : 1504.00633 . doi : 10.3390/fluids9050102 . ^ Thompson, PA, & Beavers, GS (1972). 圧縮性流体力学. 応用力学ジャーナル, 39, 366. ^ Kedrinskiy, VK (2006). 爆発の流体力学：実験とモデル. Springer Science & Business Media. ^ マクドナルド, JR (1966). いくつかの簡単な等温状態方程式. 現代物理学レビュー, 38(4), 669. ^ ab Fisher, FH, OE Dial Jr. 純水と海水の状態方程式. No. MPL-U-99/67. SCRIPPS INSTITUTION OF OCEANOGRAPHY LA JOLLA CA MARINE PHYSICAL LAB, 1975. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a017775.pdf ^ コール、RH（1965年） 『水中爆発 』ニューヨーク：ドーバー出版。 
![{\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a792ef1b0a3bb29f077c3cdeffbcc0ce4a2043)
![{\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5888d0ba09b07f8942856a4a5afeb4eb3e58e634)
