従順定理
数学において、従順性定理は、有限生成基本群を持つすべての完全な3 次元双曲多様体は位相的に従順である、つまり、コンパクトな3 次元多様体の内部に同相であるということを述べています。
従順定理はマーデン (1974) によって予想された。アゴル (2004) によって証明され、さらにダニー・カレガリとデイヴィッド・ガバイによって独立に証明された。これは、クライン群の密度定理や終結積層定理とともに、幾何学的に無限な3次元双曲多様体の基本的性質の一つである。また、アルフォース測度予想も導かれる。
歴史
位相的従順性は、多様体の端の性質、すなわち局所積構造を持つことと見なすことができます。同様の主張は2次元、すなわち曲面においてよく知られています。しかし、アレクサンダー角球の例が示すように、 3次元多様体の間にはワイルドな埋め込みが存在するため、この性質は自動的に得られるものではありません。
この予想は、アルバート・マーデンによって疑問の形で提起されました。マーデンは、幾何学的に有限な任意の3次元双曲多様体は位相的にテームであることを証明しました。この予想は、マーデン予想、あるいはテーム・エンド予想とも呼ばれています。
予想が解決される以前から、従順性の理解は着実に進展していた。サーストン、ブロック、ブロムバーグ、カナリー、エヴァンス、ミンスキー、大鹿によって部分的な結果が得られていた。[要出典]従順性の重要な十分条件は、基本群の分割の観点からボナホンによって得られていた。[要出典]
この予想は2004年にイアン・アゴルによって証明され、その後ダニー・カレガリとデイヴィッド・ガバイによって独立に証明された。アゴルの証明は、負の曲率を持つ多様体の使用と、圧縮端を非圧縮端に置き換えるカナリアの「ディスクバスティング」というトリックに基づいている。このトリックについては、この予想は既に証明されている。カレガリ＝ガバイの証明は、彼らが「シュリンクラップ」と呼ぶ、正曲率を持たない特定の閉曲面の存在を中心としている。
参照
参考文献
- Agol, Ian (2004),双曲型3次元多様体の Tameness、arXiv : math.GT/0405568、Bibcode :2004math......5568A。
- Calegari, Danny ; Gabai, David (2006)、「シュリンクラッピングと双曲型3次元多様体の制御」、Journal of the American Mathematical Society、19 (2): 385– 446、arXiv : math/0407161、doi :10.1090/S0894-0347-05-00513-8、MR 2188131。
- ガバイ, デイビッド(2009)「双曲幾何学と3次元位相幾何学」,ムロウカ, トマシュ S. ;オズヴァース, ピーター S. (編), 低次元位相幾何学, IAS/パークシティ数学シリーズ, 第15巻, プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会, pp. 73– 103, ISBN 978-0-8218-8696-0、MR 2503493
- マッケンジー、ダナ（2004）「双曲的なジャングルを刈り込み、その手に負えない境界線を手なずける」、サイエンス、306（5705）：2182–2183、doi：10.1126/science.306.5705.2182、PMID 15618501。
- マーデン、アルバート (1974)、「有限生成クライン群の幾何学」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、99 (3): 383– 462、doi :10.2307/1971059、ISSN 0003-486X、JSTOR 1971059、MR 0349992、Zbl 0282.30014
- マーデン、アルバート（2007年）、アウターサークル：双曲型3次元多様体入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83974-7、MR 2355387。
