接線成分と法線成分

数学において、曲線上の点におけるベクトルは、曲線に接するベクトル（ベクトルの接線成分）と、曲線に垂直なベクトル（ベクトルの法線成分）の和として一意に分解できます。同様に、曲面上の点におけるベクトルも同様に分解できます。

より一般的には、多様体Mの部分多様体 Nと、Nの点におけるMの接空間内のベクトルが与えられた場合、それはNに接する成分とNに垂直な成分に分解できます。

正式な定義

表面

より正式には、を曲面とし、を曲面上の点とします。をにおけるベクトルとします。すると、はの和として一意に表すことができます。ここで、和の最初のベクトルは接線成分、2番目のベクトルは法線成分です。このことから、これら2つのベクトルは互いに直交していることが直ちに分かります。 $S$ $x$ $\mathbf {v}$ $x$ $\mathbf {v}$ $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }$

接線成分と法線成分を計算するには、面の単位法線、つまりにおいてに垂直な単位ベクトルを考えます。すると、となり、となります。ここで「」はの内積を表します。接線成分の別の式は、 ${\hat {\mathbf {n} }}$ $S$ $x$ $\mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}$ $\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }$ $\cdot$ $\mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),$

ここで、 " " は外積を表します。 $\times$

これらの式は、使用される特定の単位法線に依存しません(特定の点における任意のサーフェスには、反対方向を指す 2 つの単位法線が存在するため、一方の単位法線はもう一方の単位法線の負になります)。 ${\hat {\mathbf {n} }}$

部分多様体

より一般的には、多様体Mの部分多様体 Nと点が与えられると、接空間を含む短い正確なシーケンスが得られます。商空間は、法線ベクトルの一般化された空間です。 $p\in N$ $T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N$ $T_{p}M/T_{p}N$

Mがリーマン多様体の場合、上記のシーケンスはを分割し、pにおけるMの接空間は、 Nに接する成分とNに垂直な成分の直和として分解されます。したがって、すべての接ベクトルはとして分割されます。ここで、およびです。 $T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$ $v\in T_{p}M$ $v=v_{\parallel }+v_{\perp }$ $v_{\parallel }\in T_{p}N$ $v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$

計算

Nが非退化方程式によって与えられていると仮定します。

N が媒介変数方程式(媒介変数曲線など)を介して明示的に与えられている場合、導関数は接線バンドルのスパニングセットを与えます (媒介変数化が浸漬である場合に限り、それが基底となります)。

N がのレベルセットまたはのレベル曲面の交差として暗黙的に（上記の曲面の説明のように、またはより一般的には超曲面として）与えられている場合、の勾配は通常の空間を張ります。 $g_{i}$ $g_{i}$

どちらの場合も、ドット積を使用して計算できます。ただし、外積は 3 次元に特化しています。

アプリケーション

参考文献

ロジャンスキー、ウラジミール（1979年）『電磁場と電磁波』ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-63834-0。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
クロウェル、ベンジャミン（2003）『光と物質』