テイラー分散

Effective diffusion of a substance enhanced by shear flow, studied in fluid dynamics

テイラー分散またはテイラー拡散は、小規模で強く閉じ込められたゼロ平均せん断流の存在により、大規模で生じるスカラー場の見かけの拡散または有効拡散である。本質的に、せん断は流れの方向の濃度分布をぼかすように作用し、その方向への拡散速度を高める。^{[1] [2] [3]}この効果は、大きなペクレ数でのせん断誘起分散を説明したイギリスの流体力学者G.I.テイラーにちなんで名付けられた。この解析は後にラザフォード・アリスによって任意のペクレ数の値に対して一般化されたため、このプロセスはテイラー・アリス分散と呼ばれることもある。

典型的な例は、均一なポアズイユ流中の単純な拡散種が、無フラックス境界条件を持つ均一な円管を通過する例であるが、河川における汚染物質の拡散や、血流^[4]や小川流^{[5]における薬物の拡散など、他の多くの状況にも関連している。}

説明

z を軸座標、rを半径座標とし、軸対称性を仮定します。パイプの半径はa で、流体の速度は次のように表されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=w{\hat {\boldsymbol {z}}}=w_{0}(1-r^{2}/a^{2}){\hat {\boldsymbol {z}}}}$

拡散種の濃度はcで表され、その拡散係数はDである。濃度は線形移流拡散方程式に従うと仮定する。

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}c=D\nabla ^{2}c}$

濃度と速度は、断面平均 (オーバーバーで示される) と偏差 (プライムで示される) の合計として表されます。つまり、次のようになります。

${\displaystyle w(r)={\bar {w}}+w'(r)}$

${\displaystyle c(r,z)={\bar {c}}(z)+c'(r,z)}$

いくつかの仮定（下記参照）の下では、平均量だけを含む方程式を導くことが可能です。

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}+{\bar {w}}{\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial z}}=D\left(1+{\frac {a^{2}{\bar {w}}^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial z^{2}}}}$

有効拡散率に右側の導関数を掛けた値が、拡散係数 D の元の値よりも大きいことに注意してください。有効拡散率は次のように表されることが多いです。

${\displaystyle D_{\mathrm {eff} }=D\left(1+{\frac {{\mathit {Pe}}^{2}}{48}}\right)\,,}$

ここで、 はチャネル半径 に基づくペクレ数です。興味深い結果は、ペクレ数が大きい場合、有効拡散係数は分子拡散係数に反比例することです。したがって、テイラー分散の影響はペクレ数が高いほど顕著になります。 ${\displaystyle {\mathit {Pe}}=a{\bar {w}}/D}$ ${\displaystyle a}$

平均速度で移動するフレームでは、つまりを導入することによって、分散過程は純粋に拡散過程となり、 ${\displaystyle \xi =z-{\bar {w}}t}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {c}}}{\partial t}}=D_{\mathrm {eff} }{\frac {\partial ^{2}{\bar {c}}}{\partial \xi ^{2}}}}$

拡散率は有効拡散率によって与えられます。

仮定はが与えられた場合、 が成り立つというものです。これは、方向の長さスケールが 方向の勾配を平滑化するのに十分長い場合です。これは、 方向の長さスケールが以下の式を満たすという要件に言い換えることができます。 ${\displaystyle c'\ll {\bar {c}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle L\gg {\frac {a^{2}}{D}}{\bar {w}}=a{\mathit {Pe}}}$。

分散は流路の形状にも依存します。例えば、2枚の無限平板間の流れと、無限に薄い長方形流路の間の流れの分散は、約8.75倍も異なるという興味深い現象があります。この場合、長方形流路の非常に小さな側壁が分散に大きな影響を与えます。

より一般的な状況では正確な式は成立しませんが、メカニズムは依然として適用可能であり、ペクレ数が高いほどその効果は強くなります。テイラー分散は、ダルシーの法則によってモデル化された多孔質媒体中の流れにおいて特に重要です。^[6]

導出

平均法を用いてテイラー方程式を導くことができる。これはアリスによって初めて導入された。結果は、より直観的に明らかな、長時間漸近解析から導くこともできる。次元座標系 において、半径 のパイプ内を流れる完全に発達したポアズイユ流を考えてみよう。ここで は流体の平均速度である。任意の濃度分布を持つ種が、時刻 にパイプ内のどこかに放出される。この初期分布がコンパクトである限り、例えば種／溶質が有限の濃度レベルでどこにでも放出されるわけではない限り、種は平均速度 でパイプに沿って対流する。平均速度 で移動し、次の無次元スケール でスケーリングされたフレームにおいて、 ${\displaystyle (x',r',\theta )}$ ${\displaystyle u=2U[1-(r'/a)^{2}]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t'=0}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle t={\frac {t'}{a^{2}/D}},\quad x={\frac {x'-Ut'}{a}},\quad r={\frac {r'}{a}},\quad Pe={\frac {Ua}{D}}}$

ここで、 は種が半径方向に拡散するのに必要な時間、は種の拡散係数、 はペクレ数であり、支配方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle a^{2}/D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Pe}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

したがって、この移動フレームにおいて、 （次元変数において、 ）時、種は放射状に拡散します。したがって、（次元変数において、）のとき、種は依然として 方向に拡散していますが、放射状方向への拡散によってパイプ全体の濃度が均一になることは明らかです。テイラー分散は、 が大きい におけるこの軸方向拡散過程を定量化します。 ${\displaystyle t\sim 1}$ ${\displaystyle t'\sim a^{2}/D}$ ${\displaystyle t\gg 1}$ ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

（つまり、径方向拡散時間 と比較して 倍大きい）と仮定する。ここでは小さい数である。すると、これらの時間において、濃度は軸方向 まで広がる。長時間の挙動を定量化するために、以下の再スケーリングを行う^[7]。 ${\displaystyle t\sim 1/\epsilon \gg 1}$ ${\displaystyle a^{2}/D}$ ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle x\sim {\sqrt {t}}\sim {\sqrt {1/\epsilon }}\gg 1}$

${\displaystyle \tau =\epsilon t,\quad \xi ={\sqrt {\epsilon }}x}$

を導入することができる。すると方程式は次のようになる。

${\displaystyle \epsilon {\frac {\partial c}{\partial \tau }}+{\sqrt {\epsilon }}Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c}{\partial \xi }}=\epsilon {\frac {\partial ^{2}c}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c}{\partial r}}\right).}$

パイプ壁が化学種を吸収したり反応したりしない場合は、境界条件はで満たされる必要があります。対称性により、では です。 ${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \partial c/\partial r=0}$ ${\displaystyle r=0}$

なので、解は漸近級数展開できる。この級数を支配方程式に代入し、異なる次数の項を集めると、級数方程式が得られる。主要次数では、得られる方程式は以下のようになる。 ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}+\epsilon c_{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{0}}{\partial r}}\right)=0.}$

この方程式を先に定義した境界条件と積分すると、 が求まります。この次数では、はまだ未知の関数です。が に依存しないという事実は、既に述べたように、 の場合には最初に放射状拡散が支配的となり、パイプ全体の濃度が均一になるため、予想される結果です。 ${\displaystyle c_{0}=c_{0}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$

順序の条件は次の式を導き出す ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{1}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}.}$

この方程式を境界条件を用いて積分すると次のようになる。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ,r,\tau )=c_{1a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{8}}(2r^{2}-r^{4}){\frac {\partial c_{0}}{\partial \xi }}}$

ここでは、この次数では未知の関数である におけるの値です。 ${\displaystyle c_{1a}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle r=0}$

順序の条件は次の式を導き出す ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{2}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{1}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

この方程式は について積分することもできるが、必要なのは上式の可解条件である。可解条件は、上式に を乗じ、方程式全体を から まで積分することで得られる。これは、上式を動径方向で平均化することと同じである。境界条件と前の2つの順序で得られた結果を用いると、可解条件は次のようになる。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2rdr}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial \tau }}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial c_{0}}{\partial t}}=\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x^{2}}}.}$

これが必要な拡散方程式です。実験室のフレームと次元変数に戻ると、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial c_{0}}{\partial t'}}+U{\frac {\partial c_{0}}{\partial x'}}=D\left(1+{\frac {U^{2}a^{2}}{48D^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial x'^{2}}}.}$

この式が導かれる方法から、長さスケール（より正確にはスケール ）にわたって大きく変化するにおいて、が成り立つことが分かる。同時に、平均流とともに移動するある場所、例えば の周りの任意の小さな長さスケール、すなわち長さスケール では、濃度は とは独立ではなくなり、次のように与えられる。 ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle x'\gg a}$ ${\displaystyle x\sim {\sqrt {Dt'}})}$ ${\displaystyle t'\gg a^{2}/D}$ ${\displaystyle x'-Ut'=x_{s}'-Ut'}$ ${\displaystyle x'-x_{s}'\sim a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c=c_{0}+{\sqrt {\epsilon }}c_{1}.}$

高階漸近解析

得られた方程式を2次積分すると、

${\displaystyle c_{2}(\xi ,\tau )=c_{2a}(\xi ,\tau )+{\frac {Pe}{4}}\left(r^{2}-{\frac {r^{4}}{2}}\right){\frac {\partial c_{1a}}{\partial \xi }}+{\frac {Pe^{2}}{32}}\left({\frac {r^{2}}{6}}+{\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {5r^{6}}{8}}+{\frac {r^{8}}{8}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{0}}{\partial \xi ^{2}}}}$

この順序では不明な箇所がどこにありますか。 ${\displaystyle c_{2a}(\xi ,\tau )}$

注文条件をまとめると、 ${\displaystyle \epsilon {\sqrt {\epsilon }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial c_{3}}{\partial r}}\right)=Pe(1-2r^{2}){\frac {\partial c_{2}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial c_{1}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial ^{2}c_{1}}{\partial \xi ^{2}}}.}$

上記の式の可解条件から、次の式が得られる。 ${\displaystyle c_{1a}(\xi ,\tau )}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{1a}}{\partial \tau }}-\left(1+{\frac {Pe^{2}}{48}}\right){\frac {\partial ^{2}c_{1a}}{\partial \xi ^{2}}}=-{\frac {Pe^{3}}{2880}}{\frac {\partial ^{3}c_{0}}{\partial \xi ^{3}}}.}$

過冷却液体中

過冷却液体においては、分子拡散は単純な自由拡散として記述することはできない。なぜなら、分子または溶質は、最近傍分子のガラス状ケージによって表されるエネルギー障壁を乗り越えなければならないからである。同様に、移流が存在する場合の拡散も、分子の密集による根底にあるエネルギー障壁も考慮に入れて記述する必要がある。したがって、移流拡散方程式は、スモルホフスキー拡散対流方程式とも呼ばれる、移流を伴うスモルホフスキー拡散方程式となる。エネルギー障壁の存在は、有効拡散係数の解析解を変化させる。この場合、有効拡散係数は、テイラー・アリス解のようにせん断速度の2乗、あるいはペクレ数の2乗に比例して増加するのではなく、線形増加関数となる。有効拡散係数の解析式は以下の通りである。^[8]

${\displaystyle D_{\mathrm {eff} }=D\left(1+{\frac {\mu _{0}a\Delta r^{2}}{k_{B}T}}{\dot {\gamma }}\right)}$

ここで、は流れがない場合の液体の粘度、はせん断速度（流体力学的流量に関連）、はガラス状ケージの特性サイズ（典型的には分子半径の4倍程度）である。無次元群は修正ペクレ数である。拡散率とせん断速度の間の上記の関係は、非平衡分子動力学シミュレーションによって裏付けられている。 ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle {\frac {\mu _{0}a\Delta r^{2}}{k_{B}T}}{\dot {\gamma }}}$

参照

• エルドアン・チャトウィン方程式

参考文献

1. Probstein R (1994).物理化学流体力学.
2. Chang, HC, Yeo, L. (2009).電気運動駆動型マイクロ流体工学およびナノ流体工学.ケンブリッジ大学出版局.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. カービー、BJ（2010年）『マイクロ・ナノスケール流体力学：マイクロ流体デバイスにおける輸送』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-11903-0. 2019年4月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年1月9日閲覧。
4. Witelski, Thomas; Mark, Bowen (2015). Methods of Mathematical Modelling (第1版). スイス: Springer. p. 224. doi :10.1007/978-3-319-23042-9. ISBN 978-3-319-23041-2。
5. Al Mukahal, FHH; Duffy, BR; Wilson, SK (2017). 「小川流における移流とテイラー・アリス分散」Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 473 (2207) 20170524. Bibcode :2017RSPSA.47370524A. ​​doi :10.1098/rspa.2017.0524. PMC 5719634. PMID  29225503 . 
6. Hinton, Edward M.; Woods, Andrew W. (2020). 「多孔質媒体におけるせん断分散．第1部．安定した形状の侵入」. Journal of Fluid Mechanics . 899 A38. Bibcode :2020JFM...899A..38H. doi : 10.1017/jfm.2020.478 . hdl : 11343/274191 .
7. リニャン、アマブル;ラジャマニカム、プラバカラン。ワイス、アダム D.サンチェス、アントニオ L. (2020)。 「ダクト内でのテイラー拡散制御燃焼」。燃焼理論とモデリング。24 (6): 1054–1069。ビブコード:2020CTM....24.1054L。土井：10.1080/13647830.2020.1813335。S2CID  225262971。
8. Bhendale, Mangesh; Singh, Jayant K.; Zaccone, Alessio (2025). 「過冷却液体におけるせん断誘起拡散率」. Journal of Chemical Physics . 163 (14). AIP Publishing: 144502. doi :10.1063/5.0213055.

その他の情報源

• アリス, R. (1956). 「管内を流れる流体中の溶質の分散について」.ロンドン王立協会紀要, シリーズA. 235 ( 1200): 67– 77.書誌コード:1956RSPSA.235...67A. doi :10.1098/rspa.1956.0065. S2CID  95229777.
• Frankel, I.; Brenner, H. (1989). 「一般化テイラー分散理論の基礎について」. Journal of Fluid Mechanics . 204 : 97. Bibcode :1989JFM...204...97F. doi :10.1017/S0022112089001679. S2CID  123719494.
• テイラー、ジェフリー (1953). 「チューブ内をゆっくり流れる溶媒中の可溶性物質の分散」.ロンドン王立協会紀要, シリーズA. 219 ( 1137): 186– 203.書誌コード:1953RSPSA.219..186T. doi :10.1098/rspa.1953.0139. S2CID  97372019.
• テイラー、ジェフリー (1954). 「管内乱流における物質の分散」.ロンドン王立協会紀要, シリーズA. 223 ( 1155): 446– 468.書誌コード:1954RSPSA.223..446T. doi :10.1098/rspa.1954.0130. S2CID  96182418.
• テイラー、ジェフリー (1954). 「溶媒流中の溶質の分散条件を用いて分子拡散を測定できる条件」.ロンドン王立協会紀要, シリーズA. 225 ( 1163): 473– 477.書誌コード:1954RSPSA.225..473T. doi :10.1098/rspa.1954.0216. S2CID  97701431.
• ブレンナー, H. (1980). 「空間的に周期的な多孔質媒体を流れる流れから生じる分散」.ロンドン王立協会哲学論文集, シリーズA. 297 ( 1430): 81– 133.書誌コード:1980RSPTA.297...81B. doi :10.1098/rsta.1980.0205. S2CID  121853893.
• Mestel. J. Taylor分散—せん断増強拡散、インペリアルカレッジM4A33コースの講義資料。

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